1

Voor tunnels in het Europese wegennet geldt de richtlijn dat de afstand tussen nooduitgangen ten hoogste $500$ meter mag bedragen (richtlijn 2004/54/EG).
In geval van nood hoeft een automobilist dan hoogstens $250$ meter te lopen om bij een nooduitgang te komen.
We gaan in deze opgave uit van een rensnelheid van $15$ km/u.
Over $250$ meter doe je dan dus $60$ seconden.

Stel dat een zich bij een automobilist een noodgeval voordoet op plaats $x$ , dat wil zeggen $x$ meter vanaf het begin van de tunnel.
(De eerste nooduitgang is dus de ingang van de tunnel.)

Hij rent naar de dichtstbijzijnde nooduitgang.
De benodigde tijd om deze te bereiken noemen we $T (x)$ (in seconden).
Voorbeeld: $T (750) = 60$ .

a

Bepaal $T (100)$ , $T (300)$ , $T (1000)$ , $T (1750)$ en $T (2050)$ .

b

Teken de grafiek van $T$ als functie van $x$ .
Neem hierbij $0 \leq x \leq 1500$ .

c

Wat is de periode van $T$ ?

d

Geef een formule voor $T (x)$ als $0 \leq x \leq 250$ .
Ook als $250 \leq x \leq 500$ . Ook als $1000 \leq x \leq 1250$ . Ook als $1250 \leq x \leq 1500$ .

2

Temperatuurverloop
Het verloop van de temperatuur kan gedurende de 24 uren van een dag nogal grillig zijn. In vereenvoudigde vorm is het temperatuurverloop gedurende een dag redelijk te benaderen door een sinusoïde met een periode van $24$ uur.
Het KNMI hanteert voor De Bilt voor de dagen in de maand juni de volgende waarden: de maximumtemperatuur is $21,0$ °C, deze wordt bereikt om $3$ uur ’s middags; de minimumtemperatuur is $12,2$ °C. $T$ is de temperatuur in graden Celsius op een dag in juni en $u$ het aantal uren na middernacht.

a

Teken in een assenstelsel de grafiek van $T$ als functie van $u$ .

b

Stel een formule op van het verband tussen $T$ en $u$ .

Voor een dag in april geldt bij benadering de volgende formule voor het verband tussen $T$ en $u$ :
$T = 7,6 + 4,3 \sin (\frac{π}{12} (u - 10))$ .

c

Bereken hoe lang het volgens deze formule op een dag in april warmer is dan 10 °C. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.

3

De voorband van Annekes fiets is een beetje poreus. Ze moet hem elke week oppompen. Er is een vaste regelmaat ontstaan. 's Maandags 's ochtends pompt ze de band hard op: tot een spanning van $4$ atmosfeer. Vooral in het begin van de week verliest de band veel lucht, later in de week minder. Na het weekend is de bandenspanning teruggelopen tot $2$ atmosfeer. Anneke pompt de band 's maandags 's ochtends op, en alles begint weer van voren af aan.

a

Verklaar waarom de band meer lucht verliest als hij net is opgepompt dan later in de week.

De bandenspanning noemen we $P$ (in atmosfeer). De tijd $t$ rekenen we in dagen.

b

Wat is de periode van $P$ als functie van $t$ ?

Hieronder staat de grafiek van $P$ in de eerste zeven dagen van 2010.

c

Bepaal met behulp van deze grafiek op welke dag het in 2010 nieuwjaar was.

d

Neem de grafiek over en vul de grafiek aan met de twee volgende weken.

e

Wat is de bandenspanning op 12 februari rond het middaguur?

f

Lees uit de grafiek af hoeveel procent van de tijd de bandenspanning hoger is dan $3$ atmosfeer.

4

Geef een formule voor elk van de volgende sinusoïden.

5

Bioritme
Op een pagina op internet staat te lezen dat ons leven beheerst wordt door een drietal toestanden, namelijk door onze fysieke, onze emotionele en onze intellectuele toestand. Op de ene dag voel je je fysiek (lichamelijk) beter dan op een andere dag. Deze ’fysieke toestand’ kunnen we weergeven op een schaal van $‐ 50$ (fysiek op dieptepunt) tot $+ 50$ (fysiek opperbest). Deze fysieke toestand varieert in de tijd volgens een sinusoïde. Ook de ’emotionele toestand’ en de ’intellectuele toestand’ variëren op een schaal van $‐ 50$ tot $+ 50$ volgens een sinusoïde.

Bij de geboorte van een mens zou elke cyclus zich in dezelfde begintoestand bevinden, zoals is weergegeven in de figuur.
Tezamen bepalen de drie cycli het zogenaamde bioritme van een mens. Sommigen beweren dat het bioritme volledig vastlegt tot welke prestaties een mens op een bepaald moment in staat is. Zo zou je bijvoorbeeld kunnen uitrekenen op welke dag je het best kunt solliciteren.
Voor de fysieke cyclus is de periode $23$ dagen, voor de emotionele cyclus 28 dagen en voor de intellectuele cyclus is de periode $33$ dagen. Het bioritme in de figuur betreft een pasgeboren baby.
$E$ is de emotionele toestand van de baby $t$ dagen na de geboorte. Hierbij hoort een formule van de vorm
$E = a \cdot \sin (b t)$ .

a

Geef de waarden van $a$ en $b$ .

Zodra de emotionele toestand beneden $‐ 25$ komt, zou het moeilijker worden om de emoties onder controle te houden.

b

Hoeveel procent van een periode heeft de emotionele toestand een waarde die kleiner is dan $‐ 25$ ? Licht je antwoord toe.

$F$ is de fysieke toestand van de baby.

c

Onderzoek of $F$ op de eerste verjaardag een dalend of een stijgend verloop heeft.

Annelies is op 1 januari 1983 geboren. Op 1 januari 2001 wordt ze dus 18 jaar. Vanaf die dag mag ze rijexamen doen. Ze wil dat doen op een dag waarop zowel haar fysieke als haar intellectuele toestand positief is. (De jaren 1984, 1988, 1992, 1996 en 2000 hebben een dag extra, dus 366 dagen.)

d

Onderzoek welke de eerste drie dagen van januari 2001 zijn die voor het rijexamen in aanmerking komen.

6

De grafiek van de functie $f$ hieronder is een sinusoïde.

a

Geef een formule voor $f (x)$ .

b

Bereken op algebraïsche wijze in twee decimalen voor welke $x$ tussen $‐ π$ en $π$ geldt: $f (x) = 1,5$ .

c

Voor welke $x$ tussen $100$ en $105$ is $f (x)$ maximaal?
Geef je antwoord in twee decimalen.

De grafiek van $g$ ontstaat uit die van $f$ door in de $x$ -as te spiegelen.

d

Geef een formule voor $g (x)$ .

De grafiek van $h$ ontstaat uit die van $f$ door in de lijn $y = ‐ \frac{1}{2}$ te spiegelen.

e

Geef een formule voor $h (x)$ .