Gegeven is een functie .
De functie is
periodiek met periode als:
bij twee -waarden die verschillen precies dezelfde -waarden horen,
er geen kleiner positief getal dan is met deze eigenschap.
Als een periodieke functie is met periode
,
dan geldt voor elk getal :
Als je een formule kent om te berekenen voor waarden van in een zeker interval van lengte , dan kun je berekenen voor elke waarde van .
De standaard cirkelbeweging ontstaat als een kogeltje als volgt in een cirkelvormige baan draait:
de straal van de baan is cm;
het middelpunt is ;
het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);
de snelheid is cm/s: het kogeltje legt elke seconde een afstand van cm af langs de cirkel;
op tijdstip is het kogeltje in .
De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.
De tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip noemen we .
De grafiek van de sinusfunctie staat hieronder.
Gegeven een functie .
Neem aan: met .
De grafiek van krijg je dan door de grafiek van
horizontaal met te vermenigvuldigen.
Neem aan: .
De grafiek van krijg je dan door de grafiek van
verticaal met te vermenigvuldigen.
Neem aan: met .
Je krijgt de grafiek van door de grafiek van eenheden naar
links te schuiven.
Neem aan: met .
Je krijgt de grafiek van door de grafiek van eenheden naar rechts te schuiven.
Neem aan: met .
Je krijgt de grafiek van door de grafiek van eenheden naar
boven te schuiven.
Neem aan: met .
Je krijgt de grafiek van door de grafiek van eenheden naar beneden te schuiven.
De grafiek van een functie die door (herhaald) schuiven en/of rekken uit de grafiek van de sinus-functie ontstaat noemen we een sinusoïde.
De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de
evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de
amplitude.
De golf met evenwichtswaarde , amplitude
, periode die bij
waarde stijgend door de evenwichtslijn gaat, heeft formule:
.
Merk op: de sinusfunctie heeft amplitude ,
evenwichtswaarde en
periode .
Bij gaat de grafiek stijgend door de evenwichtslijn.
Voorbeeld 1
is de functie met
.
We bepalen langs algebraïsche weg de waarden van met .
Hieronder staat een schets van de grafiek van .
De periode van de functie is en
bij gaat de grafiek stijgend door het de evenwichtslijn. Dus de
grafiek heeft de lijn als symmetrie-as.
.
Met de GR kun je één oplossing vinden:
, dus
. Dit is het getal
in de schets.
Er geldt: , dus
.
In twee decimalen zijn de oplossingen:
en
, voor alle
gehele waarden van .
Voorbeeld 2
Gegeven is de functie met .
Er geldt: ,
dus de functie heeft periode
en gaat bij stijgend door de evenwichtslijn. Dus een symmetrie-as is de lijn .
Er geldt: .
Met de GR vind je één oplossing: , dus
. Dat is het nulpunt in de schets.
Er geldt: , dus
en
.