15.2 Exponenten, logaritmen, vergelijkingen >

We herhalen de regels voor het rekenen met met exponenten en logaritmen.

Afspraak
Voor de positieve getallen gehele $a$ , $m$ en $n$ , waarbij $m$ en $n$ geheel zijn spreken we af:
$a^{‐ n} = \frac{1}{a^{n}}$ en $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = {\sqrt[n]{a}}^{m}$ .
Dan geldt het volgende.

Regels voor het rekenen met machten

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
$a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$
${(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}$
${(a \cdot b)}^{p} = a^{p} \cdot b^{p}$ en ${(\frac{a}{b})}^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$
$g^{{}^{g} log (x)}$ $= x$ en ${}^{g} log (g^{x}) = x$

Deze regels gelden voor alle positieve getallen $a$ , $b$ , en willekeurige getallen $p$ en $q$ .
Verder: $x > 0$ en $g > 0$ , $g \neq 1$ .

Regels voor het rekenen met logaritmen

${}^{g} log (x) + {}^{g} log (y) = {}^{g} log (x \cdot y)$
${}^{g} log (x) - {}^{g} log (y) = {}^{g} log (\frac{x}{y})$
$r \cdot {}^{g} log (x) = {}^{g} log (x^{r})$
${}^{g} log (x) =$ $\frac{{}^{a} log (x)}{{}^{a} log (g)}$ (overstappen op een ander grondtal namelijk van $g$ op $a$ )

De regels gelden voor alle positieve getallen $x$ , $y$ , $a$ , $g$ en willekeurige getallen $r$ , waarbij $a$ en $g$ niet $1$ mogen zijn.

Opmerking:

Uit regel 3 voor het rekenen met machten volgt:
als $x^{\frac{2}{3}} = 5$ dan $x = 5^{\frac{3}{2}}$ .
Uit regel 5 volgt:
als $2^{x} = 5$ , dan $x = {}^{2} \log (5)$ .

Op de GR zitten twee logaritme-knoppen: ln voor de natuurlijke logaritme en log voor de logaritme met grondtal $10$ .
En op de GR kun je ook direct de logaritme met een andere grondtal berekenen: op de TI is dat logBASE en op de Casio is dat logab, maar daarbij wordt wel de internationale notatie gebruikt waarbij de grondtal van de logaritme niet 'linksboven' maar 'rechtsonder' staat.
(Dus ${}^{2} \log (3)$ wordt dan op de GR weergegeven als $\log_{2} (3)$ .)

Exponentiële functies en machtsfuncties

Exponentiële groei
Bij een verband van de vorm: $y = a \cdot g^{x}$ met $a$ en $g$ positief spreken we van exponentiële groei met groeifactor $g$ en beginhoeveelheid $a$ .

Voorbeeld:

Een goedje groeit exponentieel. Om te beginnen is er $12$ gram. Na $5$ minuten is er $18$ gram.
Een formule voor het verband tussen de hoeveelheid $H$ van het goedje $t$ minuten na begin vind je als volgt.
De groeifactor per minuut noemen we $g$ . De beginhoeveelheid $a = 12$ . Dan is de groeifactor in $5$ minuten $g^{5}$ , dus
$g^{5} = \frac{18}{12} = 1,5$ , dus $g = \sqrt[5]{1,5}$ .
Een formule is dus: $H = 12 \cdot {(\sqrt[5]{1,5})}^{t}$ , dus $H \approx 12 \cdot {(1,084)}^{t}$ .
De tijd die nodig is om de hoeveelheid tot $100$ gram te laten groeien vind je als volgt.
Noem die tijd $t$ . Dan ${(1,084 \dots)}^{t} = \frac{100}{12}$ , dus
$t = {}^{1,084...} \log (8,333...) = 26,146 \dots$ , in twee decimalen: $26,15$ minuten.

Opmerking:

Als een hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde percentage toeneemt, dan is de groei van de hoeveelheid exponentieel

Voorbeeld:

Een beleggingsmaatschappij belooft een rendement van $5$ % per jaar.
Dan is de groeifactor per jaar $1,05$ .
De groeifactor in $10$ jaar is ${(1,05)}^{10} = 1,6288 \dots$ , dus het rendement in $10$ jaar is $62,9$ %.

Voorbeeld
De beschikbare hoeveelheid van een bepaalde delfstof neemt met $7$ % per jaar af.
Dan is de groeifactor per jaar $0,93$ .
In $5$ jaar is de groeifactor ${0,93}^{5} = 0,695 \dots$ , dus in $5$ jaar neemt de beschikbare hoeveelheid met ongeveer $30$ % af.

Een goedje groeit exponentieel. Na $2$ weken is de hoeveelheid verdubbeld.

Bereken in twee decimalen met hoeveel procent de hoeveelheid per dag groeit.

Bereken in drie decimalen in hoeveel weken de hoeveelheid $20$ keer zo groot wordt.

Bereken nu zonder GR met het antwoord op b in drie decimalen in hoeveel weken de hoeveelheid $10$ keer zo groot wordt.
En ook $400$ keer zo groot in twee decimalen.

Een band loopt leeg. De luchtdruk in de band neemt met $5$ % per week af. Op tijdstip $0$ is de druk $3$ bar.
Na $t$ weken is de druk $D$ bar.

Geef een formule voor het verband tussen $D$ en $t$ .

Met hoeveel procent vermindert de druk in de band per dag? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Na hoeveel dagen is de druk nog $2$ bar?

Voorbeeld:

Formules met logaritmen herschrijven
De formule $\log (y) = \frac{1}{2} x + 2$ schrijf je als volgt zonder logaritme.
$\log (y) = \frac{1}{2} x + 2 \Leftrightarrow 10^{\log (y)} = 10^{\frac{1}{2} x + 2}$ $\Leftrightarrow y = 10^{2} \cdot 10^{\frac{1}{2} x}$ .
Eventueel kun je dit nog schrijven als $y = 100 \cdot {\sqrt{10}}^{x}$ .

De formule $\log (y) = 2 \cdot \log (x) - 1$ schrijf je als volgt zonder logaritmen.
$\log (y) = 2 \cdot \log (x) - 1 \Leftrightarrow y = 10^{2 \cdot \log (x) - 1}$
$\Leftrightarrow y = 10^{‐ 1} \cdot {(10^{\log (x)})}^{2} = \frac{1}{10} \cdot x^{2}$ .

Herschrijf volgende vier verbanden tussen $x$ en $y$ , met $y$ positief, exact in de vorm: $y = a \cdot b^{x}$ , dus $y$ als exponentiële functie van $x$ .

$\log (y) = 2 x + 1$	$\log (y) = ‐ x + 1$
$\log (y) = \frac{1}{2} x + \log (4)$	$\log (y) = ‐ \frac{1}{2} x - \log (4)$

Herschrijf volgende vier verbanden tussen $x$ en $y$ , met $x$ en $y$ positief, exact in de vorm: $y = a \cdot x^{b}$ , dus $y$ als machtsfunctie van $x$ .

$\log (y) = 2 \log (x) + 1$	$\log (y) = ‐ \log (x) + 1$
$\log (y) = \frac{1}{2} \log (x) + \log (4)$	$\log (y) = ‐ \frac{1}{2} \log (x) - \log (4)$

Het gewicht $G$ (in kg) van een massieve bol is evenredig met de derde macht van de straal $r$ (in dm). De evenredigheidsconstante $c$ hangt af van het materiaal waarvan de bol gemaakt is.
Neem $c = 5,4$ , dus $G = 5,4 \cdot r^{3}$ met $G$ in kg en $r$ in dm.

Bereken de straal van een bol van $10$ kg in cm nauwkeurig.

Er geldt: $r = a \cdot G^{b}$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Bereken $b$ exact en $a$ in twee decimalen.

Voor bollen van ander materiaal geldt: $\log (G) = 3 \cdot \log (r) + 0,1$ .

Bereken de straal van zo'n bol met gewicht van $11,0$ kg in twee decimalen nauwkeurig.

Herschrijf de formule $\log (G) = 3 \cdot \log (r) + 0,1$ in de vorm $G = c \cdot r^{3}$ , met $c$ in twee decimalen nauwkeurig.

(hint)

Schrijf

0,1 = \log (\dots)

en gebruik de formules 3 en 1 voor het rekenen met logaritmen.

Gegeven is de formule $\log (H) = 1,3 + 1,1 \cdot t$ .

Bereken $t$ in twee decimalen als $H = 40,0$ .

Bereken $H$ in twee decimalen als $t = 1,13$ .

Laat zien dat: $H = 10^{1,3} \cdot {(10^{1,1})}^{t}$ .

Evolution of a Soccer Player,
afbeelding van 123RF

In De maat van het leven, een uitgave van Natuur & techniek wordt een formule gepresenteerd voor het verband tussen de borstomvang $d$ in cm van primaten (mensen, apen en halfapen) en hun gewicht $g$ in kg: $d = 17,1 \cdot g^{\frac{3}{8}}$ .

Wat is volgens deze formule het gewicht van een primaat met een borstomvang van $90$ cm? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

Herschrijf de formule tot een formule van de vorm:
$g = a \cdot d^{b}$ met $a$ in vier decimalen en $b$ exact.

In De maat van het leven wordt afgeleid dat het verband tussen de gemiddelde snelheid $v$ in km/u op een wedstrijd roeien over $2000$ meter evenredig is met de $9$ -de machtswortel van het aantal roeiers $r$ in de boot.
Tijdens de Olympische spelen van Tokio was de tijd die een boot met $8$ roeiers nodig had voor zo'n wedstrijd gemiddeld $5,87$ minuten.

Geef een formule voor het verband tussen $v$ en $r$ . Geef de evenredigheidsconstante in twee decimalen.

De logaritmische schaal

Op een lineaire schaal staan de opeenvolgende gehele getallen op gelijke afstand van elkaar.
Op een logaritmische schaal staan de opeenvolgende machten van $10$ op gelijke afstand van elkaar.

Als je één eenheid naar rechts gaat op een lineaire schaal, wordt het getal één groter.
Als je één eenheid naar rechts gaat op een logaritmische schaal, wordt het getal $10$ keer zo groot.

Voorbeeld:

Het getal $(160)$ staat op de logaritmische schaal $\log 160$ $\approx 2,20$ eenheden rechts van $10^{0} = 1$ .
Als een getal op de logaritmische schaal $2,3$ eenheden rechts van $10^{0} = 1$ staat, dan is dat getal $10^{2,3} \approx 199,5$ .

Hieronder zijn enkele getallen afgebeeld op een logaritmische schaal.

De afstand van $2$ tot $1$ noemen we $p$ , dus $\log (2) = p$ . De afstand van $20$ tot $10$ is dan ook gelijk aan $p$ .
Dat kun je met rekenregels voor logaritmen inzien:
$\log (20) - \log (10) = \log (\frac{20}{10}) = \log (2) = p$ .

Laat zo ook zien dat de afstand van $5$ tot $10$ ook $p$ is.

Druk de afstand van $16$ tot $10$ in $p$ uit.

Toon aan dat getal dat midden tussen $0,01$ en $4$ ligt gelijk is aan $0,2$ .

De laagste galopsnelheid
Vierpotige dieren schakelen bij hogere snelheid over van draf naar galop. De snelheid waarbij dit gebeurt, noemen we de laagste galopsnelheid. Die snelheid hangt af van de pasgrootte, pasfrequentie en het lichaamsgewicht van het dier. In de grafieken in deze opgave uit De maat van het leven is een en ander weergegeven. De grafieken staan ook op het werkblad.

figuur 1

Een van de punten in figuur 1 geeft een dravende hond weer met een snelheid van $7$ km/u en een pasfrequentie (het aantal passen per minuut) van $150$ .

Wat is de pasgrootte van die hond in cm?

figuur 2

In figuur 2 staat de grafiek (een rechte lijn) van het verband tussen de pasfrequentie $f$ (aantal passen per minuut) bij laagste galopsnelheid en de lichaamsmassa $m$ in kg. Een formule voor het verband tussen $f$ en $m$ is van de vorm
$f = a \cdot m^{b}$ .

Bepaal $a$ door de waarde van $f$ af te lezen bij $m = 1$ .
Bepaal vervolgens het getal $b$ door nog een ander punt van de grafiek te gebruiken.

figuur 3

De lijn in figuur 3 geeft een gemiddelde van het verband tussen $m$ en de laagste galopsnelheid $v_{G}$ in km/u. Een formule voor deze lijn is $v_{G} = 5,5 m^{0,25}$ .

Herschrijf deze formule met behulp van je formule uit b tot een formule voor $m$ als functie van $v_{G}$ .

Onderzoek van Muybridge naar de beweging van paarden
Bron: Wikipedia

Hoge bomen
In Amerika zijn $576$ verschillende soorten bomen onderzocht.Van elke soort is het hoogste exemplaar opgespoord en daarvan is de diameter van de stam op 1 meter boven de grond gemeten. Onderzocht is of er een verband bestaat tussen deze diameter $D$ (in meters) en de hoogte $H$ (in meters) van deze bomen. Om van alle bomen de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is $D$ uitgezet tegen $H$ , beide op een logaritmische schaal. Het resultaat is de puntenwolk in de figuur hieronder. Hierin is een rechte lijn $k$ getekend die goed bij deze puntenwolk past.
De figuur staat ook op het werkblad.

Eén van de exemplaren is in de figuur aangegeven met de letter $P$ .

Hoe groot is de diameter op $1$ meter boven de grond van deze boom? Geef je antwoord in meters op één decimaal nauwkeurig en licht je werkwijze toe.

Het verband tussen $D$ en $H$ voor bomen in de puntenwolk kan grofweg worden benaderd met een formule die past bij de lijn $k$ .
Een bijbehorende formule is: $\log (D) = ‐ 2 + 1,5 \cdot \log (H)$ .

Een boom heeft op $1$ meter hoogte een diameter van $2,5$ meter.

Bereken met behulp van de formule de hoogte van deze boom. Geef je antwoord in gehele meters nauwkeurig.

Herschrijf bovenstaande formule langs algebraïsche weg in de vorm $D = p \cdot H^{q}$ en geef de getallen $p$ en $q$ in twee decimalen.

Een bepaalde diersoort op een verlaten eilend neemt af. Het aantal dieren $t$ jaar na $2010$ is: $5000 \cdot {0,89}^{t}$ .

Met hoeveel procent per jaar neem het aantal per jaar af? En per $5$ jaar (in twee decimalen)?

In welk jaar is het oorspronkelijk aantal dieren gehalveerd?

Het eiland is $60$ km² groot. Het aantal m² dat per dier beschikbaar is noemen we $A$ .

Hoe groot is $A$ in 2010?

$A$ is een exponentiële functie, dus $A = a \cdot g^{t}$ voor zekere waarden van $a$ en $g$ .

Toon dat aan en bereken de getallen $a$ en $g$ , $g$ in drie decimalen.

Vergelijkingen

Er zijn drie manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen, zie ook Hoofdstuk 10.

Ontbinden
Kwadraatafsplitsen
De abc-formule, (wortelformule)

De abc-formule werkt als volgt.
Gegeven is de kwadratische vergelijking in $x$ : $a x^{2} + b x + c = 0$ met $a \neq 0$ .
De discriminant $D$ van de vergelijking is $D = b^{2} - 4 a c$ .

Als $D > 0$ , zijn er twee oplossingen:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{D}}{2 a}$ en $x = \frac{‐ b - \sqrt{D}}{2 a}$ ,
als $D = 0$ , is er één oplossing: $x = \frac{‐ b}{2 a}$ ,
Als $D < 0$ , zijn er geen oplossingen.

Voorbeeld:

Gegeven zijn de volgende vergelijkingen in $x$ .

$2 x^{2} - x = 6$
$2 x^{2} - x + 12 = 0$
$11 x - 3 x^{2} = 6$

Die kun je als volgt met de abc-formule oplossen.

$2 x^{2} - x = 6 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x - 6 = 0$ .
Met de abc-formule:
$a = 2$ , $b = ‐ 1$ en $c = ‐ 6$ , dus $D = 49$ , dus de oplossingen zijn: $x = \frac{1 + \sqrt{49}}{4} = 2$ en $x = \frac{1 - \sqrt{49}}{4} = ‐ 1 \frac{1}{2}$ .
Deze vergelijking heeft $D = ‐ 95$ , dus er zijn geen oplossingen.
$11 x - 3 x^{2} = 6$ $\Leftrightarrow 3 x^{2} - 11 x + 6 = 0$
$D = 49$ , dus de oplossingen zijn: $x = \frac{11 + 7}{6} = 3$ of $x = \frac{11 - 7}{6} = \frac{2}{3}$

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op.

$2 x^{2} - 3 x = 0$	$2 x^{2} - 3 x = 2$
$3 x - \frac{1}{2} x^{2} = 4 \frac{1}{2}$	$\frac{1}{3} x^{2} - x + 2 = 0$

De vergelijking $x^{p} = a$ heeft als oplossing $x = a^{\frac{1}{p}}$ .

Voorbeeld:

Gegeven zijn de volgende vergelijkingen in $x$ , met $x > 0$ .

$2 x^{4} - x = 0$
$2 x^{2} - x^{5} \sqrt{2} = 0$
$\frac{2}{x^{2,6}} - x^{‐ 0,3} = 0$

Je kunt ze als volgt oplossen.

$2 x^{4} - x = 0 \Leftrightarrow x^{3} = 0,5 \Leftrightarrow x = {0,5}^{\frac{1}{3}} = 0,79 \dots$
$2 x^{2} - x^{5} \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x^{3} = \sqrt{2} \Leftrightarrow x = {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} = 1,12 \dots$
$\frac{2}{x^{2,6}} - x^{‐ 0,3} = 0 \Leftrightarrow 2 - x^{2,3} = 0 \Leftrightarrow x = 2^{\frac{1}{2,3}} = 1,35 \dots$

Los de volgende vergelijkingen langs algebraïsche weg op.

$\sqrt{x + 2} = 5$	$5 \sqrt{x} + 2 = 10$
$4 x^{4} = 44$	$\frac{1}{4} x^{0,4} = 4,4$
$\sqrt[4]{x^{3}} = 10$	$\sqrt[4]{2 x^{3}} = 10$

De oppervlakte van een bol
Voor de oppervlakte $O$ (in cm²) van een bol met straal $R$ cm geldt $O = 4 π R^{2}$ .

Bereken de straal van een bol met een oppervlakte van $100$ cm² in mm nauwkeurig.

Er geldt $R = a \sqrt{O}$ , voor zeker getal $a$ .

Bepaal $a$ langs algebraïsche weg in twee decimalen.

Voorbeeld:

De vergelijking $\frac{3}{x - 2} + 1 = 2 x - 2$ kun je zo oplossen:
$\frac{3}{x - 2} + 1 = 2 x - 2 \Leftrightarrow$ $\frac{3}{x - 2} = 2 x - 3 \Leftrightarrow$
$(2 x - 3) (x - 2) = 3 \Leftrightarrow$ $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ ,
dus $x = \frac{7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$ , dus $x = 3$ of $x = \frac{1}{2}$ .

De vergelijking $\frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 2}{x - 2}$ kun je oplossen door kruislings te vermenigvuldigen, zie ook hoofdstuk 28, paragraaf 5 van Vwo3:
$\frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 2}{x - 2} \Leftrightarrow (x + 1) (x + 2) = (x + 3) (x - 2)$ , dus $x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + x - 6$ $\Leftrightarrow 3 x + 2 = x = 6 \Leftrightarrow 2 x = ‐ 8$ ,
dus $x = ‐ 4$ .

Los de volgende vergelijkingen in $x$ langs algebraïsche weg op.

$\frac{8}{x^{2} + 1} = 4$	$\frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x}$
$\frac{8}{x + 2} = 2 (x - 1)$	$10 - \frac{3}{x + 2} = 2 x + 9$ (hint) Pas de $a b c$ -formule toe.

Jaap fietst een traject van $24$ km heen en weer terug. Zijn gemiddelde snelheid op de heenweg is $24$ km/u en op de terugweg $16$ km/u.

Hoeveel tijd heeft hij voor de weg heen en weer terug nodig?
Wat is dus zijn gemiddelde snelheid over de weg heen en terug?

De gemiddelde snelheid op de heenweg noemen we $v_{h}$ , op de terugweg $v_{t}$ en heen en terug $v$ .
Dan geldt: $\frac{24}{v_{h}} + \frac{24}{v_{t}} = \frac{48}{v}$ , dus $\frac{1}{v_{h}} + \frac{1}{v_{t}} = \frac{2}{v}$ .

Toon dat aan.

Als Jaap heen $15$ km/u rijdt, hoe hard moet hij terug rijden om een gemiddelde van $20$ km/u over de weg heen en terug te fietsen?

Een hogesnelheidstraject van $240$ km wordt met gemiddeld $120$ km/u afgelegd. Met nieuw materieel verwacht men sneller te zijn.
Er is een verband tussen de toename van de gemidddelde snelheid $Δ v$ (in km/u) op het traject en de afname van reisduur $A$ in minuten.

Bereken $Δ v$ als $A = 6$ (minuten).

Er geldt: $Δ v = \frac{2 A}{2 - \frac{1}{60} A}$ .

Toon dat aan.

(hint)

De tijd dat de reis duurt wordt nu

2 - \frac{1}{60} A

Vorig jaar heerste een bepaalde ziekte in het land. Het percentage $P$ van de bevolking $t$ weken nadat men met de registratie begon, wordt gegeven door de formule
$P = \frac{10}{2 + 3 \cdot 2^{‐ t}}$ .

Hoeveel procent van de bevolking had de ziekte toen men met de registratie begon?

Bereken langs algebraïsche weg in dagen nauwkeurig hoe lang het duurde tot dit percentage was opgelopen tot $4,5$ %.

Het percentage dat de ziekte op den duur had, nadert een bepaalde grens.

Bepaal dat percentage langs algebraïsche weg.

In de figuur hieronder zie je de doorsnede van een glijbaan met platform. Voor de hoogte $h$ van de baan op afstand $x$ meter vanaf een punt links gemeten, geldt: $h = \frac{10}{3 x + 1}$ meter, voor $1 \leq x \leq 7$ .

Bereken langs algebraïsche weg in dm nauwkeurig op welke afstand vanaf links de hoogte $12$ dm is.

Als je $x$ meter vanaf links $1$ meter verder naar rechts gaat, neemt $h$ af. Die afname noemen we $a$ meter.
Er geldt: $a = \frac{30}{9 x^{2} + 15 x + 4}$ .

Toon aan dat inderdaad $a = \frac{30}{9 x^{2} + 15 x + 4}$ .

Bereken langs algebraïsche weg voor welke $x$ geldt: $a = 1$ . Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.