15.2  Exponenten, logaritmen, vergelijkingen >

We herhalen de regels voor het rekenen met met exponenten en logaritmen.

Afspraak
Voor de positieve getallen gehele a , m en n , waarbij m en n geheel zijn spreken we af:
a n = 1 a n en a m n = a m n = a n m .
Dan geldt het volgende.

Regels voor het rekenen met machten

  1. a p a q = a p + q

  2. a p : a q = a p q

  3. ( a p ) q = a p q

  4. ( a b ) p = a p b p en ( a b ) p = a p b p

  5. g g log ( x ) = x en g log ( g x ) = x

Deze regels gelden voor alle positieve getallen a , b , en willekeurige getallen p en q .
Verder: x > 0 en g > 0 , g 1 .


Regels voor het rekenen met logaritmen

  1. g log ( x ) + g log ( y ) = g log ( x y )

  2. g log ( x ) g log ( y ) = g log ( x y )

  3. r g log ( x ) = g log ( x r )

  4. g log ( x ) = a log ( x ) a log ( g ) (overstappen op een ander grondtal namelijk van g op a )

De regels gelden voor alle positieve getallen x , y , a , g en willekeurige getallen r , waarbij a en g niet 1 mogen zijn.

Opmerking:

Uit regel 3 voor het rekenen met machten volgt:
als x 2 3 = 5 dan x = 5 3 2 .
Uit regel 5 volgt:
als 2 x = 5 , dan x = 2 log ( 5 ) .

Op de GR zitten twee logaritme-knoppen: ln voor de natuurlijke logaritme en log voor de logaritme met grondtal 10 .

Exponentiële functies en machtsfuncties

Exponentiële groei
Bij een verband van de vorm: y = a g x met a en g positief spreken we van exponentiële groei met groeifactor g en beginhoeveelheid a .

Voorbeeld:

Een goedje groeit exponentieel. Om te beginnen is er 12 gram. Na 5 minuten is er 18 gram.
Een formule voor het verband tussen de hoeveelheid H van het goedje t minuten na begin vind je als volgt.
De groeifactor per minuut noemen we g . De beginhoeveelheid a = 12 . Dan is de groeifactor in 5 minuten g 5 , dus
g 5 = 18 12 = 1,5 , dus g = 1,5 5 .
Een formule is dus: H = 12 ( 1,5 5 ) t , dus H 12 ( 1,084 ) t .
De tijd die nodig is om de hoeveelheid tot 100 gram te laten groeien vind je als volgt.
Noem die tijd t . Dan ( 1,084 ) t = 100 12 , dus
t = log ( 8,333 ) log ( 1,084 ) = 26,146 , in twee decimalen: 26,15 minuten.

Opmerking:

Als een hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde percentage toeneemt, dan is de groei van de hoeveelheid exponentieel

Voorbeeld:

Een beleggingsmaatschappij belooft een rendement van 5 % per jaar.
Dan is de groeifactor per jaar 1,05 .
De groeifactor in 10 jaar is ( 1,05 ) 10 = 1,6288 , dus het rendement in 10 jaar is 62,9 %.

Voorbeeld
De beschikbare hoeveelheid van een bepaalde delfstof neemt met 7 % per jaar af.
Dan is de groeifactor per jaar 0,93 .
In 5 jaar is de groeifactor 0,93 5 = 0,695 , dus in 5 jaar neemt de beschikbare hoeveelheid met ongeveer 30 % af.

1

Een goedje groeit exponentieel. Na 2 weken is de hoeveelheid verdubbeld.

a

Bereken in twee decimalen met hoeveel procent de hoeveelheid per dag groeit.

b

Bereken in drie decimalen in hoeveel weken de hoeveelheid 20 keer zo groot wordt.

c

Bereken nu zonder GR met het antwoord op b in drie decimalen in hoeveel weken de hoeveelheid 10 keer zo groot wordt.
En ook 400 keer zo groot in twee decimalen.

2

Een band loopt leeg. De luchtdruk in de band neemt met 5 % per week af. Op tijdstip 0 is de druk 3 bar.
Na t weken is de druk D bar.

a

Geef een formule voor het verband tussen D en t .

b

Met hoeveel procent vermindert de druk in de band per dag? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

c

Na hoeveel dagen is de druk nog 2 bar?

Voorbeeld:

Formules met logaritmen herschrijven
De formule log ( y ) = 1 2 x + 2 schrijf je als volgt zonder logaritme.
log ( y ) = 1 2 x + 2 10 log ( y ) = 10 1 2 x + 2 y = 10 2 10 1 2 x .
Eventueel kun je dit nog schrijven als y = 100 10 x .

De formule log ( y ) = 2 log ( x ) 1 schrijf je als volgt zonder logaritmen.
log ( y ) = 2 log ( x ) 1 y = 10 2 log ( x ) 1
y = 10 1 ( 10 log ( x ) ) 2 = 1 10 x 2 .

3

Herschrijf volgende vier verbanden tussen x en y , met y positief, exact in de vorm: y = a b x , dus y als exponentiële functie van x .

a

log ( y ) = 2 x + 1

log ( y ) = x + 1

log ( y ) = 1 2 x + log ( 4 )

log ( y ) = 1 2 x log ( 4 )

Herschrijf volgende vier verbanden tussen x en y , met x en y positief, exact in de vorm: y = a x b , dus y als machtsfunctie van x .

b

log ( y ) = 2 log ( x ) + 1

log ( y ) = log ( x ) + 1

log ( y ) = 1 2 log ( x ) + log ( 4 )

log ( y ) = 1 2 log ( x ) log ( 4 )

4

Het gewicht G (in kg) van een massieve bol is evenredig met de derde macht van de straal r (in dm). De evenredigheidsconstante c hangt af van het materiaal waarvan de bol gemaakt is.
Neem c = 5,4 , dus G = 5,4 r 3 met G in kg en r in dm.

a

Bereken de straal van een bol van 10 kg in cm nauwkeurig.

Er geldt: r = a G b voor zekere getallen a en b .

b

Bereken b exact en a in twee decimalen.

Voor bollen van ander materiaal geldt: log ( G ) = 3 log ( r ) + 0,1 .

c

Bereken de straal van zo'n bol met gewicht van 11,0 kg in twee decimalen nauwkeurig.

d

Herschrijf de formule log ( G ) = 3 log ( r ) + 0,1 in de vorm G = c r 3 , met c in twee decimalen nauwkeurig.

(hint)
Schrijf 0,1 = log ( ) en gebruik de formules 3 en 1 voor het rekenen met logaritmen.
5

Gegeven is de formule log ( H ) = 1,3 + 1,1 t .

a

Bereken t in twee decimalen als H = 40,0 .

b

Bereken H in twee decimalen als t = 1,13 .

c

Laat zien dat: H = 10 1,3 ( 10 1,1 ) t .

6
Evolution of a Soccer Player,
afbeelding van 123RF

In De maat van het leven, een uitgave van Natuur & techniek wordt een formule gepresenteerd voor het verband tussen de borstomvang d in cm van primaten (mensen, apen en halfapen) en hun gewicht g in kg: d = 17,1 g 3 8 .

a

Wat is volgens deze formule het gewicht van een primaat met een borstomvang van 90 cm? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

b

Herschrijf de formule tot een formule van de vorm:
g = a d b met a in vier decimalen en b exact.

In De maat van het leven wordt afgeleid dat het verband tussen de gemiddelde snelheid v in km/u op een wedstrijd roeien over 2000 meter evenredig is met de 9 -de machtswortel van het aantal roeiers r in de boot.
Tijdens de Olympische spelen van Tokio was de tijd die een boot met 8 roeiers nodig had voor zo'n wedstrijd gemiddeld 5,87 minuten.

c

Geef een formule voor het verband tussen v en r . Geef de evenredigheidsconstante in twee decimalen.

De logaritmische schaal

Op een lineaire schaal staan de opeenvolgende gehele getallen op gelijke afstand van elkaar.
Op een logaritmische schaal staan de opeenvolgende machten van 10 op gelijke afstand van elkaar.

Als je één eenheid naar rechts gaat op een lineaire schaal, wordt het getal één groter.
Als je één eenheid naar rechts gaat op een logaritmische schaal, wordt het getal 10 keer zo groot.

Voorbeeld:

Het getal ( 160 ) staat op de logaritmische schaal log 160 2,20 eenheden rechts van 10 0 = 1 .
Als een getal op de logaritmische schaal 2,3 eenheden rechts van 10 0 = 1 staat, dan is dat getal 10 2,3 199,5 .

7

Hieronder zijn enkele getallen afgebeeld op een logaritmische schaal.

De afstand van 2 tot 1 noemen we p , dus log ( 2 ) = p . De afstand van 20 tot 10 is dan ook gelijk aan p .
Dat kun je met rekenregels voor logaritmen inzien:
log ( 20 ) log ( 10 ) = log ( 20 10 ) = log ( 2 ) = p .

a

Laat zo ook zien dat de afstand van 5 tot 10 ook p is.

b

Druk de afstand van 16 tot 10 in p uit.

c

Toon aan dat getal dat midden tussen 0,01 en 4 ligt gelijk is aan 0,2 .

8

De laagste galopsnelheid
Vierpotige dieren schakelen bij hogere snelheid over van draf naar galop. De snelheid waarbij dit gebeurt, noemen we de laagste galopsnelheid. Die snelheid hangt af van de pasgrootte, pasfrequentie en het lichaamsgewicht van het dier. In de grafieken in deze opgave uit De maat van het leven is een en ander weergegeven. De grafieken staan ook op het werkblad.

figuur 1

Een van de punten in figuur 1 geeft een dravende hond weer met een snelheid van 7 km/u en een pasfrequentie (het aantal passen per minuut) van 150 .

a

Wat is de pasgrootte van die hond in cm?

figuur 2

In figuur 2 staat de grafiek (een rechte lijn) van het verband tussen de pasfrequentie f (aantal passen per minuut) bij laagste galopsnelheid en de lichaamsmassa m in kg. Een formule voor het verband tussen f en m is van de vorm
f = a m b .

b

Bepaal a door de waarde van f af te lezen bij m = 1 .
Bepaal vervolgens het getal b door nog een ander punt van de grafiek te gebruiken.

figuur 3

De lijn in figuur 3 geeft een gemiddelde van het verband tussen m en de laagste galopsnelheid v G in km/u. Een formule voor deze lijn is v G = 5,5 m 0,25 .

c

Herschrijf deze formule met behulp van je formule uit b tot een formule voor m als functie van v G .

Onderzoek van Muybridge naar de beweging van paarden
Bron: Wikipedia
9

Hoge bomen
In Amerika zijn 576 verschillende soorten bomen onderzocht.Van elke soort is het hoogste exemplaar opgespoord en daarvan is de diameter van de stam op 1 meter boven de grond gemeten. Onderzocht is of er een verband bestaat tussen deze diameter D (in meters) en de hoogte H (in meters) van deze bomen. Om van alle bomen de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is D uitgezet tegen H , beide op een logaritmische schaal. Het resultaat is de puntenwolk in de figuur hieronder. Hierin is een rechte lijn k getekend die goed bij deze puntenwolk past.
De figuur staat ook op het werkblad.

Eén van de exemplaren is in de figuur aangegeven met de letter P .

a

Hoe groot is de diameter op 1 meter boven de grond van deze boom? Geef je antwoord in meters op één decimaal nauwkeurig en licht je werkwijze toe.

Het verband tussen D en H voor bomen in de puntenwolk kan grofweg worden benaderd met een formule die past bij de lijn k .
Een bijbehorende formule is: log ( D ) = 2 + 1,5 log ( H ) .

Een boom heeft op 1 meter hoogte een diameter van 2,5 meter.

b

Bereken met behulp van de formule de hoogte van deze boom. Geef je antwoord in gehele meters nauwkeurig.

c

Herschrijf bovenstaande formule langs algebraïsche weg in de vorm D = p H q en geef de getallen p en q in twee decimalen.

10

Een bepaalde diersoort op een verlaten eilend neemt af. Het aantal dieren t jaar na 2010 is: 5000 0,89 t .

a

Met hoeveel procent per jaar neem het aantal per jaar af? En per 5 jaar (in twee decimalen)?

b

In welk jaar is het oorspronkelijk aantal dieren gehalveerd?

Het eiland is 60 km2 groot. Het aantal m2 dat per dier beschikbaar is noemen we A .

c

Hoe groot is A in 2010?

A is een exponentiële functie, dus A = a g t voor zekere waarden van a en g .

d

Toon dat aan en bereken de getallen a en g , g in drie decimalen.

Vergelijkingen

Er zijn drie manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen, zie ook Hoofdstuk 10.

  1. Ontbinden

  2. Kwadraatafsplitsen

  3. De abc-formule, (wortelformule)


De abc-formule werkt als volgt.
Gegeven is de kwadratische vergelijking in x : a x 2 + b x + c = 0 met a 0 .
De discriminant D van de vergelijking is D = b 2 4 a c .

  1. Als D > 0 , zijn er twee oplossingen:
    x = b + D 2 a en x = b D 2 a ,

  2. als D = 0 , is er één oplossing: x = b 2 a ,

  3. Als D < 0 , zijn er geen oplossingen.

Voorbeeld:

Gegeven zijn de volgende vergelijkingen in x .

  1. 2 x 2 x = 6

  2. 2 x 2 x + 12 = 0

  3. 11 x 3 x 2 = 6

Die kun je als volgt met de abc-formule oplossen.

  1. 2 x 2 x = 6 2 x 2 x 6 = 0 .
    Met de abc-formule:
    a = 2 , b = 1 en c = 6 , dus D = 49 , dus de oplossingen zijn: x = 1 + 49 4 = 2 en x = 1 49 4 = 1 1 2 .

  2. Deze vergelijking heeft D = 95 , dus er zijn geen oplossingen.

  3. 11 x 3 x 2 = 6 3 x 2 11 x + 6 = 0
    D = 49 , dus de oplossingen zijn: x = 11 + 7 6 = 3 of x = 11 7 6 = 2 3

11

Los de volgende vergelijkingen in x exact op.

2 x 2 3 x = 0

2 x 2 3 x = 2

3 x 1 2 x 2 = 4 1 2

1 3 x 2 x + 2 = 0

De vergelijking x p = a heeft als oplossing x = a 1 p .

Voorbeeld:

Gegeven zijn de volgende vergelijkingen in x , met x > 0 .

  1. 2 x 4 x = 0

  2. 2 x 2 x 5 2 = 0

  3. 2 x 2,6 x 0,3 = 0

Je kunt ze als volgt oplossen.

  1. 2 x 4 x = 0 x 3 = 0,5 x = 0,5 1 3 = 0,79

  2. 2 x 2 x 5 2 = 0 x 3 = 2 x = 2 1 3 = 1,12

  3. 2 x 2,6 x 0,3 = 0 2 x 2,3 = 0 x = 2 1 2,3 = 1,35

12

Los de volgende vergelijkingen langs algebraïsche weg op.

x + 2 = 5

5 x + 2 = 10

4 x 4 = 44

1 4 x 0,4 = 4,4

x 3 4 = 10

2 x 3 4 = 10

13

De oppervlakte van een bol
Voor de oppervlakte O (in cm2) van een bol met straal R cm geldt O = 4 π R 2 .

a

Bereken de straal van een bol met een oppervlakte van 100  cm2 in mm nauwkeurig.

Er geldt R = a O , voor zeker getal a .

b

Bepaal a langs algebraïsche weg in twee decimalen.

Voorbeeld:

De vergelijking 3 x 2 + 1 = 2 x 2 kun je zo oplossen:
3 x 2 + 1 = 2 x 2 3 x 2 = 2 x 3
( 2 x 3 ) ( x 2 ) = 3 2 x 2 7 x + 3 = 0 ,
dus x = 7 ± 7 2 4 2 3 2 2 = 7 ± 5 4 , dus x = 3 of x = 1 2 .

De vergelijking x + 3 x + 1 = x + 2 x 2 kun je oplossen door kruislings te vermenigvuldigen, zie ook hoofdstuk 28, paragraaf 5 van Vwo3:
x + 3 x + 1 = x + 2 x 2 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = ( x + 3 ) ( x 2 ) , dus x 2 + 3 x + 2 = x 2 + x 6 3 x + 2 = x = 6 2 x = 8 ,
dus x = 4 .

14

Los de volgende vergelijkingen in x langs algebraïsche weg op.

8 x 2 + 1 = 4

3 x + 2 = 5 x

8 x + 2 = 2 ( x 1 )

10 3 x + 2 = 2 x + 9

(hint)
Pas de a b c -formule toe.
15

Jaap fietst een traject van 24 km heen en weer terug. Zijn gemiddelde snelheid op de heenweg is 24 km/u en op de terugweg 16 km/u.

a

Hoeveel tijd heeft hij voor de weg heen en weer terug nodig?
Wat is dus zijn gemiddelde snelheid over de weg heen en terug?

De gemiddelde snelheid op de heenweg noemen we v h , op de terugweg v t en heen en terug v .
Dan geldt: 24 v h + 24 v t = 48 v , dus 1 v h + 1 v t = 2 v .

b

Toon dat aan.

c

Als Jaap heen 15 km/u rijdt, hoe hard moet hij terug rijden om een gemiddelde van 20 km/u over de weg heen en terug te fietsen?

16

Een hogesnelheidstraject van 240 km wordt met gemiddeld 120 km/u afgelegd. Met nieuw materieel verwacht men sneller te zijn.
Er is een verband tussen de toename van de gemidddelde snelheid Δ v (in km/u) op het traject en de afname van reisduur A in minuten.

a

Bereken Δ v als A = 6 (minuten).

Er geldt: Δ v = 2 A 2 1 60 A .

b

Toon dat aan.

(hint)
De tijd dat de reis duurt wordt nu 2 1 60 A .
17

Vorig jaar heerste een bepaalde ziekte in het land. Het percentage P van de bevolking t weken nadat men met de registratie begon, wordt gegeven door de formule
P = 10 2 + 3 2 t .

a

Hoeveel procent van de bevolking had de ziekte toen men met de registratie begon?

b

Bereken langs algebraïsche weg in dagen nauwkeurig hoe lang het duurde tot dit percentage was opgelopen tot 4,5 %.

Het percentage dat de ziekte op den duur had, nadert een bepaalde grens.

c

Bepaal dat percentage langs algebraïsche weg.

18

In de figuur hieronder zie je de doorsnede van een glijbaan met platform. Voor de hoogte h van de baan op afstand x meter vanaf een punt links gemeten, geldt: h = 10 3 x + 1 meter, voor 1 x 7 .

a

Bereken langs algebraïsche weg in dm nauwkeurig op welke afstand vanaf links de hoogte 12 dm is.

Als je x meter vanaf links 1 meter verder naar rechts gaat, neemt h af. Die afname noemen we a meter.
Er geldt: a = 30 9 x 2 + 15 x + 4 .

b

Toon aan dat inderdaad a = 30 9 x 2 + 15 x + 4 .

c

Bereken langs algebraïsche weg voor welke x geldt: a = 1 . Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.