Laat een punt zijn van de grafiek van functie . Veronderstel dat de grafiek van
glad is in .
Dan heeft de grafiek een raaklijn in .
De helling van de grafiek is de richtingscoëfficiënt van die raaklijn; die laat zich
benaderen met .
is de gemiddelde helling
van de grafiek van op het interval .
Hoe dichter je bij kiest, hoe beter je de helling
van de grafiek van in benadert.
De exacte waarde van de helling vind je uiteindelijk door de grenswaarde van
te bepalen als
steeds dichter bij (en dus steeds dichter bij ) komt.
noemen we
een differentiequotiënt;
is het bijbehorende
differentiaalquotiënt.
De helling in het punt met eerste coördinaat noteren we met .
De functie noemen we de
afgeleide functie.
Bij een gegeven functies zijn afgeleide bepalen , noemen we de functie differentiëren.
Een andere notatie voor de afgeleide functie is .
Je kunt de helling in een punt van de grafiek goed benaderen met een rekenschema. We geven een voorbeeld.
Gegeven is de functie met . De helling van de grafiek van in het punt met eerste coördinaat kun je goed benaderen met de gemiddelde helling op het interval , dus .
Regels voor differentiëren
Als ,
dan
.
Anders genoteerd:
gegeven de ketting , dan
.
, , en hierboven zijn functies en
een getal.
Functie |
Afgeleide functie |
|
, voor elke uit . |
|
, en |
|
, , |
Bij voorkeur nemen we voor het grondtal van de exponentiële en logaritmische functies het getal e, dan
|
|
|
|
Als , dan .
Als , dan , dus .
Als , dan is
de functie de ketting
, dus
.
Als , dan
,
met de somregel en voorbeeld 3.
Als , dan
,
met de productregel en voorbeeld 3
Als , dan
Als , dan , met de quotiëntregel.
Als , dan is
de functie de ketting , dus
.
Differentieer (van links naar rechts):
|
|
|
|
|
|
|
|
Gegeven is de functie .
Bereken de gemiddelde helling van de functie op het interval in twee decimalen.
Geef een formule voor .
Controleer met je formule uit onderdeel b je antwoord van onderdeel a.
Soorten groeisnelheid
Als groei niet lineair is, onderscheiden we vier soorten, hieronder in beeld gebracht.
Als de functie afnemend dalend is, dan is de helling in elk punt van de grafiek negatief, maar wel steeds minder negatief, dus , de hellingfunctie van is stijgend.
Bepaal in de andere drie gevallen in de figuur hierboven:
is positief of negatief;
is stijgend of dalend.
Licht je antwoord toe.
is een functie van , dan geldt:
afnemend dalend |
negatief |
stijgend |
afnemend stijgend |
positief |
dalend |
toenemend stijgend |
positief |
stijgend |
toenemend dalend |
negatief |
dalend |
Hiernaast staat de grafiek van een functie .
Lees af voor welke geldt: positief én stijgend.
Lees af voor welke geldt: negatief én dalend.
In een fabriek worden machines geproduceerd. Hiernaast zijn de grafieken van de kosten
, de opbrengst en de
winst getekend als functie van het aantal stuks
in honderdtallen.
, en zijn in miljoenen euro's.
zijn de
marginale kosten.
Lees de marginale kosten af bij een productie van stuks, in duizenden euro's per stuk. Licht je antwoord toe.
Gebruik het werkblad.
Er gelden de volgende formules.
,
en
.
Controleer je antwoord op onderdeel a met behulp van de formule voor .
Negatieve winst noemen we verlies.
Bereken langs algebraïsche weg bij welke productie het bedrijf verlies lijdt.
Bereken langs algebraïsche weg bij welke productie het bedrijf zijn grootste verlies maakt.
In een nationaal park is een bepaalde diersoort uitgezet. Het aantal exemplaren
jaar later noemen we .
Er geldt:
.
Hoeveel examplaren zijn er uitgezet?
Hoe kun je aan de formule voor zien dat het aantal exemplaren toeneemt, zonder te differentiëren?
Het aantal exemplaren bereikt op den duur een bepaalde grenswaarde.
Welke waarde is dat? Leg uit hoe dat uit de formule volgt.
Bereken langs algebraïsche weg in maanden nauwkeurig wanneer er exemplaren zijn.
Geef een formule voor en verklaar hiermee dat steeds minder sterk stijgt.