Laat $P (a, b)$ een punt zijn van de grafiek van functie $f$ . Veronderstel dat de grafiek van $f$ glad is in $P$ .
Dan heeft de grafiek een raaklijn in $P$ . De helling van de grafiek is de richtingscoëfficiënt van die raaklijn; die laat zich benaderen met $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - b}{x - a}$ .
$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - b}{x - a}$ is de gemiddelde helling van de grafiek van $f$ op het interval $[a, x]$ .
Hoe dichter je $x$ bij $a$ kiest, hoe beter je de helling van de grafiek van $f$ in $a$ benadert.
De exacte waarde van de helling vind je uiteindelijk door de grenswaarde van $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - b}{x - a}$ te bepalen als $Δ x$ steeds dichter bij $0$ (en dus $x$ steeds dichter bij $a$ ) komt.

$\frac{Δ y}{Δ x}$ noemen we een differentiequotiënt;
$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ is het bijbehorende differentiaalquotiënt.
De helling in het punt met eerste coördinaat $a$ noteren we met $f^{'} (a)$ .
De functie $f^{'}$ noemen we de afgeleide functie.
Bij een gegeven functies zijn afgeleide bepalen , noemen we de functie differentiëren.
Een andere notatie voor de afgeleide functie is $\frac{d f}{d x}$ .

Je kunt de helling in een punt van de grafiek goed benaderen met een rekenschema. We geven een voorbeeld.

Voorbeeld:

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = 2^{x}$ . De helling van de grafiek van $f$ in het punt met eerste coördinaat $3$ kun je goed benaderen met de gemiddelde helling op het interval $[3; 3,01]$ , dus $\frac{f (3,01) - f (3)}{0,01} = 5,56$ .

Regels voor differentiëren

Somregel

$(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$

Veelvoudregel

$(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$

Productregel

$(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}$

Quotiëntregel

${(\frac{t}{n})}^{'} = \frac{t^{'} \cdot n - n^{'} \cdot t}{n^{2}}$

Kettingregel

Als $x \to f (x) = u \to g (u) = f (g (x)) = y$ ,
dan $y^{'} (x) = g^{'} (u) \cdot f^{'} (x) = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)$ .
Anders genoteerd:
gegeven de ketting $x \to u \to y$ , dan $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .
$f$ , $g$ , $t$ en $n$ hierboven zijn functies en $c$ een getal.

De afgeleide van standaardfuncties

Functie	Afgeleide functie
$y = x^{s}$	$y^{'} = s \cdot x^{s - 1}$ , voor elke $s$ uit $ℚ$ .
$y = a^{x}$	$y^{'} = a^{x} \cdot \ln (a)$ , $a > 0$ en $a \neq 1$
$y = {}^{a} \log (x)$	$y^{'} = \frac{1}{x \cdot \ln (a)}$ , $a > 0$ , $a \neq 1$

Opmerking:

Bij voorkeur nemen we voor het grondtal van de exponentiële en logaritmische functies het getal e, dan

$y = e^{x}$	$y^{'} = e^{x}$
$y = \ln (x)$	$y^{'} = \frac{1}{x}$

Voorbeeld:

Als $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4$ , dan $f^{'} (x) = 4 x + 3$ .
Als $f (x) = x^{2} \sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ , dan $f (x) = x^{2 \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{‐ \frac{1}{2}}$ , dus $f^{'} (x) = 2 \frac{1}{2} x^{1 \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{‐ 1 \frac{1}{2}}$ $= 2 \frac{1}{2} x \sqrt{x} + \frac{1}{4 x \sqrt{x}}$ .
Als $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ , dan is de functie $f$ de ketting
$x \to x^{2} + 1 = u \to \sqrt{u}$ , dus
$\frac{d f}{d x} = \frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 2 x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .
Als $f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ , dan $f^{'} (x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ,
met de somregel en voorbeeld 3.
Als $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 1}$ , dan
$f^{'} (x) = 1 \cdot \sqrt{x^{2} + 1} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ $= \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ,
met de productregel en voorbeeld 3
Als $f (x) = x \cdot 2^{x}$ , dan
$f^{'} (x) = 1 \cdot 2^{x} + x \cdot 2^{x} \cdot \ln (2) = 2^{x} + x \cdot 2^{x} \cdot \ln (2)$
Als $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ , dan $f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - 1 \cdot \ln (x)}{x^{2}} = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ , met de quotiëntregel.
Als $f (x) = \log (2 x \sqrt{x} + 1)$ , dan is de functie $f$ de ketting $x \to 2 x \sqrt{x} + 1 = u \to \log (u)$ , dus
$\frac{d f}{d x} = \frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} =$ $\frac{1}{u \cdot \ln (10)} \cdot \sqrt{x} =$ $\frac{\sqrt{x}}{(2 x \sqrt{x} + 1) \cdot \ln (10)}$ .

Differentieer (van links naar rechts):

$y = x + 2 x \sqrt{x}$	$y = 2 \cdot \ln (x^{2} + 1)$
$y = 2^{‐ x + 1}$	$y = \sqrt[3]{3 x + 1}$
$y = x + \sqrt[3]{3 x + 1}$	$y = x \cdot \sqrt[3]{3 x + 1}$
$y = \frac{x}{x + 1}$	$y = 2 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

Gegeven is de functie $y = x \cdot 3^{x}$ .

Bereken de gemiddelde helling van de functie op het interval $[2; 2,01]$ in twee decimalen.

Geef een formule voor $\frac{d y}{d x}$ .

Controleer met je formule uit onderdeel b je antwoord van onderdeel a.

Soorten groeisnelheid
Als groei niet lineair is, onderscheiden we vier soorten, hieronder in beeld gebracht.

Als de functie $h$ afnemend dalend is, dan is de helling in elk punt van de grafiek negatief, maar wel steeds minder negatief, dus $h^{'}$ , de hellingfunctie van $h$ is stijgend.

Bepaal in de andere drie gevallen in de figuur hierboven:

is $h^{'}$ positief of negatief;
is $h^{'}$ stijgend of dalend.

Licht je antwoord toe.

$y$ is een functie van $x$ , dan geldt:

$y$ afnemend dalend	$y^{'}$ negatief	$y^{'}$ stijgend
$y$ afnemend stijgend	$y^{'}$ positief	$y^{'}$ dalend
$y$ toenemend stijgend	$y^{'}$ positief	$y^{'}$ stijgend
$y$ toenemend dalend	$y^{'}$ negatief	$y^{'}$ dalend

Hiernaast staat de grafiek van een functie $f$ .

Lees af voor welke $x$ geldt: $f^{'} (x)$ positief én $f^{'} (x)$ stijgend.

Lees af voor welke $x$ geldt: $f^{'} (x)$ negatief én $f^{'} (x)$ dalend.

In een fabriek worden machines geproduceerd. Hiernaast zijn de grafieken van de kosten $K$ , de opbrengst $O$ en de winst $W$ getekend als functie van het aantal stuks $q$ in honderdtallen. $K$ , $O$ en $W$ zijn in miljoenen euro's.
$\frac{d K}{d q}$ zijn de marginale kosten.

Lees de marginale kosten af bij een productie van $250$ stuks, in duizenden euro's per stuk. Licht je antwoord toe.
Gebruik het werkblad.

Er gelden de volgende formules.
$K = 2 q^{0,6}$ , $O = q$ en $W = O - K$ .

Controleer je antwoord op onderdeel a met behulp van de formule voor $K$ .

Negatieve winst noemen we verlies.

Bereken langs algebraïsche weg bij welke productie het bedrijf verlies lijdt.

Bereken langs algebraïsche weg bij welke productie het bedrijf zijn grootste verlies maakt.

In een nationaal park is een bepaalde diersoort uitgezet. Het aantal exemplaren $t$ jaar later noemen we $A$ .
Er geldt: $A = \frac{1200}{1 + 9 \cdot e^{‐ t}}$ .

Hoeveel examplaren zijn er uitgezet?

Hoe kun je aan de formule voor $A$ zien dat het aantal exemplaren toeneemt, zonder te differentiëren?

Het aantal exemplaren bereikt op den duur een bepaalde grenswaarde.

Welke waarde is dat? Leg uit hoe dat uit de formule volgt.

Bereken langs algebraïsche weg in maanden nauwkeurig wanneer er $1000$ exemplaren zijn.

Geef een formule voor $\frac{d A}{d t}$ en verklaar hiermee dat $A$ steeds minder sterk stijgt.