1

Van links naar rechts.

$y = x + 2 x^{1 \frac{1}{2}}$ , dus $\frac{d y}{d x} = 1 + 3 x^{\frac{1}{2}} = 1 + 3 \sqrt{x}$ ;
$y$ is de ketting $x \to x^{2} + 1 = u \to 2 \cdot \ln (u) = y$ , dus $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = \frac{2}{u} \cdot 2 x = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$
$y$ is de ketting $x \to ‐ x + 1 = u \to 2^{u} = y$ , dus $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = 2^{u} \cdot ‐ 1 = ‐ 2^{‐ x + 1}$
$y$ is de ketting $x \to 3 x + 1 = u \to \sqrt[3]{u} = y$ , dus
$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = 3 \cdot \frac{1}{3 \sqrt[3]{u^{2}}} =$ $= \frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x + 1)}^{2}}}$
$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x + 1)}^{2}}}$
$\frac{d y}{d x} = 1 \cdot \sqrt[3]{3 x + 1} + x \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x + 1)}^{2}}} =$ $\sqrt[3]{3 x + 1} + \frac{x}{\sqrt[3]{{(3 x + 1)}^{2}}}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (x + 1) - 1 \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x \sqrt{x}}$

2

a

$\frac{y (2,01) - y (2)}{0,01} = \frac{18,289 \dots - 18}{0,01} = 28,98$ .

b

$\frac{d y}{d x} = 3^{x} + x \cdot 3^{x} \cdot \ln (3)$

c

In $\frac{d y}{d x} = 3^{x} + x \cdot 3^{x} \cdot \ln (3)$ voor $x = 2$ invullen geeft: $28,775 \dots$ , dus in twee decimalen: $28,78$ , klopt redelijk met het antwoord in onderdeel a.

3

Als $h$ afnemend stijgend is, dan is de helling in elk punt positief, dus $h^{'}$ is positief, en wel steeds minder positief, dus de hellingfunctie $h^{'}$ is dalend.
Als $h$ toenemend stijgend is, dan is de helling in elk punt positief, dus $h^{'}$ is positief, en wel steeds meer positief, dus de hellingfunctie $h^{'}$ is stijgend.
Als $h$ toenemend dalend is, dan is de helling in elk punt negatief, dus $h^{'}$ is negatief, en wel steeds meer negatief, dus de hellingfunctie $h^{'}$ is dalend.

4

a

$x > 16$

b

$7 < x < 12$

5

a

Teken de raaklijn aan de grafiek van $K$ en lees de helling af. Die is ongeveer $0,8$ , dus $8000$ euro per stuk.

b

$\frac{d K}{d q} = 1,2 q^{‐ 0,4}$ , als je $q = 2,5$ invult, vind je $\frac{d K}{d q} = 0,83$ , dus $8300$ euro per stuk.

c

$q - 2 q^{0,6} = 0 \Leftrightarrow q^{0,4} - 2 = 0 \Leftrightarrow q = 2^{\frac{1}{0,4}} = 5,65 \dots$ , dus bij een productie tot $565$ stuks.

d

$\frac{d W}{d q} = 1 - 1,2 q^{‐ 0,4}$ , dus $\frac{d W}{d q} = 0 \Leftrightarrow q^{‐ 0,4} = \frac{1}{1,2} \Leftrightarrow q = {(\frac{1}{1,2})}^{‐ \frac{1}{0,4}} = 1,577 \dots$ , dus bij een productie van $158$ stuks.

6

a

Als $t = 0$ , dan $A = 120$ , dus $120$ stuks.

b

Als $t$ stijgt, dan daalt $e^{‐ t}$ , dus wordt de noemer $1 + 9 \cdot e^{‐ t}$ kleiner en dus $A$ groter.

c

De grenswaarde is $1200$ . Als $t$ erg groot is, dan is $e^{‐ t}$ bijna $0$ , dus dan $A = \frac{1200}{1}$ .

d

$\frac{1200}{1 + 9 \cdot e^{‐ t}} = 1000 \Leftrightarrow 1000 (1 + 9 \cdot e^{‐ t}) = 1200$ $\Leftrightarrow 9000 \cdot e^{‐ t} = 200$ $\Leftrightarrow e^{‐ t} = \frac{2}{90}$ , dus $t = \ln (45) = 3,8 \dots$ , dus na $46$ maanden.

e

$\frac{d A}{d t} = \frac{0 - 1200 \cdot ‐ 9 \cdot e^{‐ t}}{{(1 + 9 \cdot e^{‐ t})}^{2}} = \frac{9800 \cdot e^{‐ t}}{{(1 + 9 \cdot e^{‐ t})}^{2}}$ .
De afgeleide is positief (want zowel $9800 \cdot e^{‐ t}$ als ${(1 + 9 \cdot e^{‐ t})}^{2}$ zijn dat), dus de functie $A$ is stijgend.
De GR laat zien dat de functie $\frac{d A}{d t}$ (eerst toeneemt maar) voor grotere waarden van $t$ daalt, dus de helling wordt kleiner, dus de grafiek van $A$ is afnemend stijgend voor grotere $t$ .