1

a

Voor $x = 1 + k \cdot 4$ en voor $x = ‐ 1 + k \cdot 4$ , met $k$ geheel.

b

Als $‐ 2 \leq x \leq 2$ , dan $f (x) = 1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$ , dus als $18 \leq x \leq 23$ , dan $20 + \sqrt{3}$ , $20 - \sqrt{3}$ en $24 - \sqrt{3}$

2

a

$k (x) = {(\frac{1}{2} x)}^{3} - 1 \frac{1}{2} x$ .

b

Horizontaal $1$ eenheid naar links, verticaal $2$ eenheden omhoog.

c

$f (x) = 4 - {(x - 8)}^{2}$

3

a

De periode van $f$ is $4$ , De maximale waarden worden bereikt voor $x = 2 + k \cdot 4$ met $k$ geheel, dus voor $x = 102, 106$ en $110$ .

b

De periode van $g$ is $5$ , De minimale waarden worden bereikt voor $x = ‐ \frac{1}{2} + k \cdot 5$ met $k$ geheel, dus voor $x = 104 \frac{1}{2}$ en $109 \frac{1}{2}$ .

c

$f (x) = ‐ 3 + 2 \sin (\frac{π}{2} (x - 1))$ ; $g (x) = 3 + 4 \sin (\frac{2π}{5} (x - 1))$ .

4

We bekijken de functie $y = 2 \sin (\frac{1}{2} x - 1)$ , zie figuur 1.
De periode is $4 π$ , de grafiek gaat door het evenwicht bij $x = 2$ , $x = 2 + 2 π$ , ...
Een symmetrieas is de lijn $x = 2 + π$ .
$2 \sin (\frac{1}{2} x - 1) = 1,34 \Leftrightarrow \sin (\frac{1}{2} x - 1) = 0,67$ ; één oplossing met de GR:
$\frac{1}{2} x - 1 = \sin^{‐ 1} (0,67) = 0,734 \dots$ , dus $x = 2 (1 + 0,734 \dots) = 3,468 \dots$ .
Een tweede oplossing uit symmetrie ten opzichte van de lijn $x = 2 + π$ is
$4 + 2 π - 3,468 \dots = 6,814 \dots$ . De andere oplossingen verschillen gehele periodes van deze twee oplossingen, de enige is nog: $6,814 \dots - 4 π = ‐ 5,751 \dots$ .
De oplossingen zijn dus: $‐ 5,75$ ; $3,47$ en $6,81$ .
We bekijken de functie $y = 1 - 3 \sin (π (x + 1))$ , zie figuur 2.
De periode is $2$ , de grafiek gaat door het evenwicht als $x = ‐ 1$ , $x = 0$ , ...
Een symmetrieas is de lijn $x = ‐ \frac{1}{2}$ .
$1 - 3 \sin (π (x + 1)) = 2 \Leftrightarrow \sin (π (x + 1)) = ‐ \frac{1}{3}$ .
De GR geeft: $\sin^{‐ 1} (‐ \frac{1}{3}) = ‐ 0,339 \dots$ .
Eén oplossing is $x = ‐ 1 + \frac{‐ 0,339 \dots}{π} = ‐ 1,108 \dots$ . Een tweede oplossing vind je met behulp van symmetrie: $x = ‐ 1 + ‐ 1,108 \dots = 0,108 \dots$ .
De andere oplossingen verschillen gehele periodes van deze twee oplossingen, dat zijn: $‐ 1,108 \dots$ , $0,892$ $0,108 \dots$ en $‐ 1,89 \dots$ .
De gevraagde oplossingen zijn: $‐ 1,89$ ; $‐ 1,11$ ; $0,11$ ; $0,89$ .
We bekijken de functie $y = 2 + \sin (2 x + 1)$ , zie figuur 3. $3$ is de maximale waarde van de functie, dus er is maar één oplossing per periode. De periode is $π$ . $2 + \sin (2 x + 1) = 3 \Leftrightarrow \sin (2 x + 1) = 1$ . Eén oplossing is $2 x + 1 = \frac{1}{2} π \Leftrightarrow x = \frac{\frac{1}{2} π - 1}{2} = 0,285 \dots$ .
De andere oplossingen verschillen gehele periodes van deze oplossing en zijn dus: $3,426 \dots$ , $6,568 \dots$ .
De gevraagde oplossingen zijn $0,29$ , $3,43$ en $6,57$ .

5

$5 + 5 \sin (0,1 π (b - 15)) = 8 \Leftrightarrow \sin (0,1 π (b - 15)) = 0,6$ ; de GR geeft: $\sin^{‐ 1} (0,6) = 0,643 \dots$ , een oplossing is dus: $b = \frac{0,643 \dots}{0,1 π} + 15 = 17,048 \dots$ . De andere oplossing vind je met behulp van symmetrie: $b = 20 - 17,048 \dots = 2,951 \dots$ , dus de breedte van de waterspiegel is $17,048 \dots - 2,951 \dots = 14,096 \dots$ , in één decimaal: $14,1$ .