1

Medicijnen
Een huisarts schrijft een patiënt een geneesmiddel voor. De patiënt moet dat geneesmiddel enkele weken achtereen gebruiken. Hij neemt één keer per week op maandagochtend één tablet van $500$ mg van het medicijn in. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam neemt exponentieel af. Na precies één week is nog $30$ % van de oorspronkelijke hoeveelheid medicijn aanwezig in zijn lichaam.
Uit de gegevens is te berekenen dat de groeifactor per $24$ uur ongeveer $0,842$ is.

a

Ga dat algebraïsch na.

b

Bereken algebraïsch in hoeveel tijd $40$ % van het toegediende medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken. Rond je antwoord af op een geheel aantal uren.

$M (t)$ is de hoeveelheid medicijn in mg in zijn lichaam, $t$ dagen nadat de eerste tablet is ingenomen.
Er geldt: $M (t) = 500 \cdot {(0,842)}^{t}$ , $0 \leq t < 7$ .
Het differentiequotiënt $\frac{Δ M}{Δ t}$ op het tijdsinterval $[0; 0,01]$ is een benadering van de snelheid waarmee direct na inname van de eerste tablet het medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken.

c

Benader met behulp van dit differentiequotiënt de snelheid waarmee direct na inname van de eerste tablet het medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken. Geef het antwoord in milligrammen per uur. Rond af op één decimaal.

d

Controleer het antwoord op de vorige vraag met behulp van $\frac{d M}{d t}$ .

De patiënt neemt elke week een nieuwe tablet van $500$ mg in. We nemen aan dat hij dat steeds na precies een week doet. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam neemt na inname weer exponentieel af met groeifactor $0,842$ per $24$ uur.
In de figuur hieronder is de grafiek van $M$ als functie van $t$ getekend van $t = 0$ tot $t = 9$ .

e

Bereken de hoeveelheid medicijn in het lichaam op tijdstip $t = 10$ . Rond je antwoord af op een geheel aantal milligrammen.

f

Stel een formule op voor $M (t)$ voor $14 < t < 21$ .

(hint)

Bereken algebraisch

M (14)

, het moment net na inname tweede medicijn.

2

Floris bouwt met legostenen (alle van hetzelfde formaat) piramides. Hieronder is een piramide met $3$ lagen afgebeeld.
Neem aan dat de piramides 'hol' zijn. Zo heeft de onderste laag $6$ stenen.
Het aantal stenen op de onderste laag van een piramide van $n$ lagen noemen we $a_{n}$ .
Dus $a_{3} = 6$ .

(hint)

a

Geef een formule voor $a_{n}$ .

b

Geef een formule voor het aantal stenen dat nodig is om een piramide van $n$ lagen te bouwen.

Floris heeft stenen in vijf verschillende kleuren, van elke kleur meer dan genoeg. Hij bouwt piramides met elke laag in één kleur. Elke laag heeft een andere kleur dan de laag er direct boven of direct onder (als die er is).

c

Hoeveel verschillende piramides van vijf lagen kan hij zo maken?

d

Hoeveel verschillende piramides van vijf lagen kan hij maken als de onderste laag ook nog dezelfde kleur als de bovenste laag moet hebben?

(hint)

Maak onderscheid tussen de geveallen waarbij de eerste, derde en vijfde laag dezelfde kleur hebben en waarbij dit niet het geval is.

3

Kunstwerk
Een kunstenaar maakt een kunstwerk volgens een vastgesteld stappenplan. Hij begint met een geheel wit vierkant doek. Dit is het kunstwerk in fase 0. Hij verdeelt dit doek in $9$ vierkanten (zie figuur). Het middelste vierkant geeft hij een andere kleur. Dit is het kunstwerk in fase 1.
De overige $8$ witte vierkanten verdeelt hij ieder opnieuw in 9 kleinere vierkanten en telkens geeft hij het middelste vierkant een door hemzelf gekozen kleur. Nu is het kunstwerk in fase 2.
De overgebleven witte vierkanten worden opnieuw in negenen verdeeld en opnieuw worden de middelste vierkantjes gekleurd. Daarmee is het kunstwerk in fase 3.

Het kunstwerk krijgt bij elke fase steeds meer gekleurde vierkantjes. Het aantal vierkantjes dat bij de overgang van fase $n - 1$ in de nieuwe fase $n$ gekleurd wordt noemen we $a_{n}$ , dus $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 8$ , ...

a

Geef een formule voor $a_{n}$ .

$s_{n}$ is het totaal aantal gekleurde vierkantjes in fase $n$ .

b

Geef een recursieve betrekking voor $s_{n}$

c

Bereken met de GR het totaal aantal gekleurde vierkantjes van het kunstwerk in fase 10 met behulp van de recursieve formule van het vorige onderdeel. Bechrijf duidelijk je werkwijze.

4

Een dominosteen bestaat uit twee helften, op elke helft staan $0$ , $1$ , $2$ ,..,of $6$ ogen. In de figuur hiernaast zijn er drie afgebeeld. In een dominospel komen alle mogelijke stenen precies één keer voor.

a

Laat zien dat er $28$ verschillende stenen in een spel zitten.

Er zijn ook spellen met stenen waarbij op elk van de twee helften $0$ , $1$ , ... of $9$ ogen voorkomen.

b

Hoeveel verschillende stenen bevat zo'n spel? Schrijf je berekening op.

We bekijken een dominospel met op elk van de twee helften $0$ , $1$ , ... of $n$ ogen.
Het aantal stenen dat een spel bevat noemen we $a_{n}$ .
In de vorige twee onderdelen hebben $a_{6}$ en $a_{9}$ bekeken.

c

Geef een recursieve formule voor $a_{n}$ in de vorm: ${\begin{cases} a_{0} = \dots \\ a_{n} = a_{n - 1} + \dots \end{cases}$ . Licht je antwoord toe.

5

Voedsel zoeken

De meeste roofdieren proberen iedere dag hun voedsel zo snel mogelijk te vangen. Naarmate meer voedsel is gevangen, wordt het vaak moeilijker om nog nieuw voedsel te vangen. Deze opgave gaat over het wiskundige model dat daarbij gemaakt kan worden.
In dat model geeft de opbrengstfunctie het verband aan tussen de hoeveelheid voedsel (de voedselopbrengst) en de tijd die nodig is om die hoeveelheid voedsel te vangen.

In de figuur op de volgende baldzijde is de grafiek getekend van de opbrengstfunctie voor roofdiersoort A. De voedselopbrengst is uitgedrukt in energie-eenheden (ee) en de benodigde tijd in uren.
De figuur staat vergroot op het werkblad.

We bekijken een roofdier van soort A. Na $0,5$ uur heeft dit roofdier een bepaalde hoeveelheid energie aan voedsel gevangen. Om de dubbele hoeveelheid te vangen is meer dan het dubbele van $0,5$ uur nodig.

a

Bepaal met behulp van de figuur hoeveel maal zo groot de daarvoor benodigde tijd is.

Sommige roofdieren leven niet in hetzelfde gebied als hun prooidieren. Zulke roofdieren moeten zich eerst verplaatsen naar hun voedselgebied voordat ze met de jacht kunnen beginnen. De tijd die nodig is om een bepaalde hoeveelheid voedsel te vangen wordt daardoor uitgebreid met de tijd die nodig is om naar het voedselgebied te gaan. Dit heeft gevolgen voor de gemiddelde opbrengst per uur.
In de figuur hieronder is de grafiek van de opbrengstfunctie van roofdiersoort B getekend. Zoals je in de figuur kunt zien, is een roofdier van deze soort $2$ uur onderweg ( $1$ uur heen en $1$ uur terug). De figuur staat vergroot op het werkblad.

Op de grafiek van roofdiersoort B bevindt zich het punt $Q$ met coördinaten $(5,3)$ . Dat wil zeggen dat, als een roofdier van roofdiersoort B $5$ uur jaagt (inclusief verplaatsing), dan is zijn voedselopbrengst $3$ ee. De gemiddelde voedselopbrengst is dan $\frac{3}{5} = 0,6$ ee/uur.

b

Bepaal op het werkblad zonder te rekenen nog een punt $P$ met dezelfde gemiddelde opbrengst als $Q$ . Licht je werkwijze toe.

Op de grafiek van roofdiersoort B bevindt zich een punt waarbij de gemiddelde opbrengst per uur voor een roofdier van soort B maximaal is.

c

Bepaal met behulp van de figuur op het werkblad bij welke tijd de gemiddelde opbrengst per uur maximaal is. Licht je antwoord toe.

6

Tandpasta
Drogisterijketen Haarsma verkoopt ‘Hagelwit’ tandpasta. Aan het eind van elke maand koopt Haarsma deze tandpasta in bij de groothandel. Haarsma moet daarvoor elke maand een schatting maken van het aantal tubes dat hij de volgende maand zal verkopen.
In de bedrijfskunde worden verschillende methoden gebruikt om zo’n schatting te maken. Een van die methoden komt in deze opgave aan de orde.

In zeker jaar heeft Haarsma in januari $5200$ tubes verkocht en in februari 4000. Een eenvoudig model om de verkoop voor de komende maanden te schatten is het volgende: neem het gemiddelde van de verkoop in de twee voorafgaande maanden. In een formule:
$V_{n + 2} = \frac{1}{2} V_{n + 1} + \frac{1}{2} V_{n}$ , met $V_{1} = 5200$ en $V_{2} = 4000$ .
Hierbij is $V_{n}$ het aantal verkochte tubes tandpasta in maand $n$ , waarbij $n = 1$ overeenkomt met januari.
Volgens dit model verwacht Haarsma in maart 4 $4600$ tubes te verkopen. Als we aannemen dat de schatting steeds de werkelijke verkoop in die maand is, kunnen we met dit model ook de verkoop van de volgende maanden uitrekenen.
Dat betekent hier dat er in maart inderdaad $4600$ tubes tandpasta verkocht worden. En met de getallen $4000$ van februari en $4600$ van maart kun je met de formule weer de verkoop van april berekenen, enzovoort.

a

Bereken het aantal tubes tandpasta dat volgens dit model in juni wordt verkocht.

Soms besluit men de laatste maand zwaarder te laten meetellen dan de voorlaatste maand. Bij de schatting voor de maand maart telt men bijvoorbeeld februari voor $60$ % mee en januari voor $40$ %. De formule wordt dan:
$V_{n + 2} = 0,6 V_{n + 1} + 0,4 V_{n}$ , met $V_{1} = 5200$ en $V_{2} = 4000$ .
Als met dit model een groot aantal maanden wordt doorgerekend, komen de waarden van $V$ steeds dichter bij de evenwichtswaarde $4343$ te liggen. Dat betekent dat na een aantal maanden de schattingen minder dan $1$ % van $4343$ zullen afwijken.

b

Bereken in welke maand de schatting voor het eerst minder dan $1$ % van $4343$ afwijkt.

Een algemene vorm van het model ziet er als volgt uit:
$V_{n + 2} = a \cdot V_{n + 1} + (1 - a) V_{n}$ , met $V_{1} = 5200$ en $V_{2} = 4000$ .
Hierbij is $a$ een getal tussen $0$ en $1$ .
Wanneer we $a = \frac{1}{2}$ kiezen, krijgen we het model uit het begin van deze opgave.
Als $a = 0,6$ hebben we het model van de vorige vraag.
De schatting van de verkoop voor de maanden na februari hangt nu af van de waarde van $a$ . Zo kunnen we bijvoorbeeld $V_{4}$ , de schatting voor april, uitdrukken in $a$ . Dat levert de volgende formule op:
$V_{4} = ‐ 1200 a^{2} + 1200 a + 4000$ .

c

Laat zien hoe deze formule uit de gegevens kan worden afgeleid.

d

Bereken algebraïsch voor welke waarden van $a$ de schatting voor april groter is dan $4260$ .

7

Genius
Genius is een bordspel voor $1$ tot en met $4$ spelers. Tijdens het spel moeten de spelers tegels op het speelveld plaatsen. Een tegel heeft de vorm van twee zeshoeken die met een zijde aan elkaar vast zitten. Deze tegels zitten in een zak.

Op elke tegel staan twee symbolen. Dat kunnen twee dezelfde symbolen of twee verschillende symbolen zijn. Er zijn zes verschillende symbolen: 12-puntige ster, cirkel, 6-puntige ster, zon, gevulde cirkel en zeshoek. In de figuur hieronder zijn vier tegels afgebeeld.
Elke mogelijke tegel met twee dezelfde symbolen komt $5$ keer voor. Tegel A in de figuur komt dus $5$ keer voor. Elke mogelijke tegel met twee verschillende symbolen komt $6$ keer voor. Dus bijvoorbeeld de tegel met een cirkel en een 12-puntige ster (tegel B in de figuur) komt $6$ keer voor.

a

Bereken het totale aantal tegels dat bij Genius wordt gebruikt.

Elke speler heeft een scorekaart. Daarop wordt voor elk symbool de score, het behaalde aantal punten, bijgehouden. Hoe de punten worden behaald doet hier verder niet ter zake. In de figuur hieronder staan drie scorekaarten.
Bij Genius moet een speler proberen met alle symbolen zo veel mogelijk punten te halen. De eindscore is het aantal punten van het symbool waarmee de speler de minste punten heeft behaald. Winnaar is degene met de hoogste eindscore.
Als twee spelers dezelfde eindscore hebben, wordt gekeken naar de op een na laagste score, enzovoort.

In de figuur heeft speler A een eindscore van $10$ punten en de spelers B en C ieder $9$ punten. Speler A wint dus van de spelers B en C. Speler C wint van speler B omdat de op een na laagste score bij speler C $11$ punten is en bij speler B $10$ .
Op de scorekaarten is ook te zien dat voor elk symbool maximaal $18$ punten behaald kunnen worden.
Het spel werd gespeeld door vier spelers. De scorekaart van speler D is niet afgebeeld. Wel weten we dat de gemiddelde score van speler D voor de zes symbolen in dit spel precies $16$ punten is.

b

Leg met een getallenvoorbeeld uit dat het mogelijk is dat speler D niet de winnaar is.

Edwin en zijn vrienden zijn helemaal bezeten van dit voor hen nieuwe spel. Zij denken erover om een toernooi te houden. Zij laten daarbij steeds twee spelers tegen elkaar spelen. Aan deze competitie doen 16 spelers mee.
De spelers worden verdeeld over 4 poules van 4 spelers. In elke poule speelt elke speler één keer tegen elke andere speler. Na afloop van de poulewedstrijden gaan de beste twee spelers van elke poule door naar de kwartfinale. In de kwartfinale speelt elke speler maar tegen één andere speler. De winnaars van deze wedstrijden gaan door naar de halve finale.
In deze halve finale speelt weer elke speler één wedstrijd.
De winnaars spelen tenslotte de finale, die ook over één wedstrijd wordt beslist.

c

Bereken het aantal wedstrijden dat tijdens dit toernooi gespeeld moet worden.

8

Al doende leert men

In de Amerikaanse industrie is ooit onderzocht hoe snel werknemers leren wanneer zij een handeling vaker verrichten. Bij een groot aantal werknemers is bijgehouden hoeveel tijd ze nodig hadden om een bepaalde handeling voor de eerste keer te verrichten, hoeveel tijd voor de tweede keer, enz.
Zo bleken werknemers $16$ minuten nodig te hebben om handeling A voor de eerste keer te verrichten. Bij de tweede keer was die handelingstijd $12,8$ minuten. Dus wanneer een werknemer handeling A twee keer heeft uitgevoerd, is zijn gemiddelde handelingstijd $\frac{16 + 12,8}{2} = 14,4$ minuten. Deze $14,4$ minuten zie je in de tabel hieronder. De andere waarden in deze tabel zijn op een vergelijkbare manier berekend.

a

Bereken met behulp van de tabel hoeveel minuten een werknemer nodig heeft om handeling A voor de $5$ e keer te verrichten.

We kijken naar de tijd $T_{n}$ die een werknemer nodig heeft om handeling A voor de $n$ -de keer te verrichten. $T_{n}$ kan goed worden benaderd met de volgende formule:
$T_{n} = 6 + 10 \cdot {0,68}^{n - 1}$ .
In deze formule is $T_{n}$ in minuten.
Aan deze formule kun je zien dat de handelingstijd steeds korter wordt naarmate $n$ toeneemt. Toch zal er altijd enige tijd nodig blijven om handeling A uit te voeren. Dat betekent dat er op den duur vrijwel geen tijd meer wordt gewonnen.

b

Bepaal aan de hand van de formule hoeveel minuten de handelingstijd op den duur ongeveer korter zal worden dan de eerste handelingstijd, dus zonder gebruik te maken van GR. Licht je antwoord toe.

De gemiddelde handelingstijd na $n$ keer noemen we $H_{n}$ .

c

Stel een recursieve formule voor $H_{n}$ op en bereken hiermee op de GR $H_{10}$ in twee decimalen nauwkeurig.

Een directe formule voor $H_{n}$ is: $H_{n} = 6 + \frac{31,25 (1 - {0,68}^{n})}{n}$ .

We noemen een werknemer ervaren voor handeling A wanneer de gemiddelde handelingstijd minder dan $7$ minuten is.
In de industrie wil men graag weten hoe lang het duurt voordat een werknemer zo ver is gekomen.

d

Bereken hoeveel handelingen een werknemer achter elkaar moet uitvoeren volgens de formule voor $H_{n}$ voordat hij ervaren voor handeling A kan worden genoemd.

9

Grondstofverbruik
Ongeveer dertig jaar geleden verscheen het ‘Rapport van de Club van Rome’. Daarin wordt aandacht besteed aan het wereldwijd verbruik van veel grondstoffen. De schrijvers vreesden dat verschillende grondstoffen snel op zouden raken. Bij hun berekeningen hebben zij het begin van het jaar 1970 als uitgangspunt genomen.
Het rapport vermeldt dat begin 1970 de voorraad koper $313$ miljoen ton was en dat in 1970 het jaarverbruik van koper $8,7$ miljoen ton bedroeg.

De levensduur van de voorraad van een grondstof is het aantal jaren vanaf begin 1970 totdat de voorraad van deze grondstof is uitgeput. Daarbij gaan we ervan uit dat er in de tussentijd geen nieuwe voorraden worden ontdekt. Zo is volgens het rapport de levensduur van de voorraad chroom $420$ jaar, wanneer je aanneemt dat het jaarlijks verbruik van chroom steeds even groot is als in 1970, namelijk $1,9$ miljoen ton.

Als we aannemen dat in de jaren na 1970 ook het jaarlijks verbruik van koper steeds even groot is als dat in 1970, dan is de levensduur van de voorraad chroom veel groter dan die van de voorraad koper.

a

Hoeveel keer zo groot is dan de levensduur van de voorraad chroom, vergeleken met die van de voorraad koper? Licht je antwoord toe met een berekening.

In werkelijkheid was er ook destijds al sprake van een toenemende vraag naar grondstoffen. In het rapport heeft men hier aandacht aan besteed. Zo veronderstelde men dat vanaf 1970 het verbruik van koper jaarlijks zou groeien met $5,8$ % en het verbruik van chroom jaarlijks met $3,3$ %.

b

Bereken in dat geval algebraïsch vanaf welk jaar het jaarverbruik van koper minstens $6$ keer zo groot is als dat van chroom.

Wanneer het grondstofverbruik niet constant is maar jaarlijks groeit met een vast percentage, wordt de levensduur van de voorraad korter. Deze nieuwe levensduur geven we aan met $L^{*}$ . Om $L^{*}$ te berekenen gebruikt men de volgende formule:
$L^{*} = \frac{230 \cdot \log (L \cdot p + 100) - 460}{p}$ .
In deze formule is $p$ het percentage waarmee het verbruik jaarlijks groeit en $L$ de levensduur van de voorraad bij een constant jaarlijks verbruik.

c

Bereken in welk jaar de voorraad chroom is uitgeput indien het verbruik vanaf 1970 jaarlijks met $3,3$ % groeit.

Over de grondstof aluminium staat in het rapport het volgende te lezen:
‘Begin 1970 was de wereldvoorraad aluminium $1,19 \cdot 10^{9}$ ton. Bij een jaarlijkse groei van het verbruik met $6,1$ % zal deze voorraad uitgeput zijn in het begin van het jaar 2000.’

d

Bereken algebraïsch in welk jaar de voorraad aluminium uitgeput zou zijn indien het jaarverbruik vanaf 1970 constant was gebleven. Gebruik daarbij de formule voor $L^{*}$ .

Zoals hierboven al vermeld, was in 1970 het jaarverbruik van koper $8,7$ miljoen ton. Verder ging men ervan uit dat het verbruik van koper vanaf 1970 jaarlijks zou groeien met $5,8$ %.
Het totale verbruik in de eerste $n$ jaren na 1970 noemen we $T_{n}$ (in miljoenen tonnen).
Dan moet gelden: $T_{n} - T_{n - 1} = 8,7 \cdot {1,058}^{n - 1}$ , voor $n \geq 1$ .

e

Leg dat uit.

We definiëren $S_{n} = 150 \cdot {(1,058)}^{n} - 150$ .
We willen laten zien dat $S_{n} = T_{n}$ voor $n = 1, 2, \dots$ (dan hebben we ook een directe formule voor $T_{n}$ ).

f

Toon algebraïsch aan dat $S_{n}$ voldoet aan de gelijkheid
$S_{n} - S_{n - 1} = 8,7 \cdot {1,058}^{n - 1}$ .

Omdat $S_{1} = 8,7$ , geldt $S_{n} = T_{n}$ voor alle $n \geq 1$ .
Dus $T_{n} = 150 \cdot {1,058}^{n} - 150$ een directe formule voor $T_{n}$ .

10

Hiernaast zie je enkele puzzelstukjes van een legpuzzel van Europa. Als je aan een puzzel begint, kan je besluiten om de puzzelstukjes eerst op soort te selecteren: de hoekstukjes, de randstukjes en alle andere stukjes.

Deze soorten kunnen verschillende vormen hebben.
Om te onderzoeken hoeveel verschillende vormen er eigenlijk zijn, voeren we een aantal regels in.

We beschouwen de puzzelstukjes als vierkantjes;
Een zijde kan recht zijn of met een inkeping of met een uitstulping;
Bij een hoekstukje heb je twee aan elkaar grenzende rechte zijden (zie het stukje rechtsonder op de foto), bij een randstukje is één zijde recht (zie het stukje linksonder op de foto) en bij de overige puzzelstukjes is er geen enkele zijde recht;
Twee stukjes hebben een gelijke vorm als ze door draaiing (over een kwart-, halve of driekwartslag) in elkaar overgaan. De twee puzzelstukjes linksboven en midden boven op de foto hebben beide twee inkepingen en twee uitstulpingen maar zijn toch verschillend van vorm;
Stukjes die alleen door op de kop te leggen en niet door draaiing in elkaar over kunnen gaan, noemen we wel verschillend van vorm aangezien er op de achterkant niet de kaart van Europa staat.

Bereken hoeveel verschillende vormen er in het totaal volgens bovenstaande regels zijn.

11

Fruitvliegjes (2)
Bij praktische opdrachten voor het vak biologie over kruisingen wordt vaak gebruik gemaakt van fruitvliegjes (Drosophila melanogaster). Deze fruitvliegjes zijn namelijk makkelijk te kweken en de ontwikkeling van ei tot fruitvliegje duurt maar negen dagen. Men kan dus in zeer korte tijd veel generaties kweken.
Het aantal fruitvliegjes neemt de eerste weken exponentieel toe. Bij een praktische opdracht tellen leerlingen uit 5vwo na $2$ weken $140$ fruitvliegjes en na $5$ weken $1065$ fruitvliegjes. Bij deze gegevens is een exponentiële formule te maken voor het aantal fruitvliegjes $F$ na $t$ weken.

a

Geef deze formule. Licht je antwoord toe.

In een kweekruimte kan het aantal fruitvliegjes niet onbeperkt toenemen. Het maximale aantal fruitvliegjes is afhankelijk van de grootte van de kweekruimte. Een ander experiment, dat werd gestart op 10 november 2011, werd in een kleinere kweekruimte uitgevoerd. Bij het vervolg van deze opgave gaan we uit van de volgende formule die het aantal fruitvliegjes bij dit experiment beschrijft:
$F = \frac{340}{1 + 54 \cdot e^{‐ 0,24 t}}$ .
Hierbij is $t$ de tijd in dagen na 10 november 2011 en $F$ het aantal fruitvliegjes.

b

Welke aantallen fruitvliegjes zijn volgens bovenstaande formule in de kweekruimte mogelijk? Licht je antwoord toe.

c

Bereken langs algebraïsche weg in één decimaal de waarde van $t$ waarvoor $F (t) = 300$ .

Fruitvliegjes zijn met een beetje etherdamp gemakkelijk te verdoven waarna je ze kan tellen en met een loep bestuderen. Op de dag dat er de meeste fruitvliegjes bijkomen wil Boris ze verdoven.

d

Toon aan dat de afgeleide van $F$ gelijk is aan
$F^{'} (t) = \frac{4406,4 \cdot e^{‐ 0,24 t}}{{(1 + 54 \cdot e^{‐ 0,24 t})}^{2}}$
en bereken met behulp van deze afgeleide op welke datum er de meeste fruitvliegjes bijkomen.

Een andere reden dat vaak gebruik gemaakt wordt van fruitvliegjes is dat een aantal eigenschappen goed zichtbaar zijn: oogkleur (rood/zwart), vleugelvorm (kort/lang) en huidskleur (donker/geel). Een fruitvliegje met zwarte oogkleur, korte vleugels en een gele huidskleur wordt getypeerd als: z-k-g. Op basis van deze eigenschappen zijn er acht typen mannetjes en acht typen vrouwtjes.

Voor een kruisingsexperiment moeten vier fruitvliegjes, twee mannelijke en twee vrouwelijke, in een kweekruimte worden geplaatst. Hierbij gelden twee eisen:

De twee mannelijke fruitvliegjes mogen niet van hetzelfde type zijn.
De twee vrouwelijke fruitvliegjes mogen niet van hetzelfde type zijn.

e

Bereken hoeveel verschillende samenstellingen in de kweekruimte mogelijk zijn.

12

Van een bepaald soort ééncellige algen (Gonyaulax polyedra) is het dag-ennachtritme onderzocht. De algen werden blootgesteld aan afwisselend $12$ uur licht en $12$ uur donker. Deze perioden noemen we respectievelijk dag en nacht. In de figuur zijn resultaten van dit onderzoek te zien. De figuur staat ook op het werkblad.

Eén van de gemeten activiteiten is fotosynthese, het opslaan van energie met behulp van (zon)licht. De intensiteit van de fotosynthese is weergegeven op de linker verticale as.
De grafiek voor de fotosynthese $F$ als functie van de tijd, kan benaderd worden door een formule van de vorm:
$F = a + b \sin (c (t - 3))$ .
Hierbij is $t$ de tijd in uren met $t = 0$ bij het begin van een dag.

a

Stel deze formule op. Licht je antwoord toe.

Sommige algen lichten vanzelf op in het donker. Dit verschijnsel, gloeien genaamd, is in de figuur ook met een grafiek weergegeven. De lichtintensiteit $G$ werd gemeten in eenheden die langs de rechter verticale as zijn uitgezet. Men kan de grafiek van het gloeien benaderen met de formule:
$G = 2,0 + 1,6 \sin (\frac{1}{12} π (t - 18))$ .
Hierin is $t$ weer de tijd in uren met $t$ bij het begin van een dag.
Tijdens iedere periode van $24$ uur is de lichtintensiteit van het gloeien gedurende een bepaalde tijd groter dan $3$ eenheden.

b

Bereken met behulp van de formule van $G$ hoe lang de lichtintensiteit van het gloeien in een periode van $24$ uur groter is dan $3$ eenheden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

De lichtintensiteit bij gloeien is na een maximum eerst toenemend dalend en daarna afnemend dalend.

c

Onderzoek met behulp van een raaklijn aan de grafiek op het werkblad met welke snelheid de lichtintensiteit maximaal afneemt bij gloeien.

13

Hooikoorts is een vervelende allergische aandoening waar veel mensen last van hebben. Iemand die last heeft van hooikoorts, reageert op zogenoemde pollen in de lucht, die afkomstig zijn van bomen en grassen die in bloei staan. De allergische reactie veroorzaakt naast irritatie aan ogen, neus en keel ook hoest- en niesbuien.

PharmaCie brengt een nieuw medicijn tegen hooikoorts op de markt. Het nieuwe medicijn van PharmaCie wordt in pilvorm verkocht.
Als een patiënt klachten krijgt, neemt hij een pil. De werkzame stof komt dan via de maag en de darm in de bloedbaan terecht. De hoeveelheid werkzame stof in de bloedbaan stijgt eerst en neemt daarna af omdat het door het lichaam wordt afgebroken. De concentratie van de werkzame stof in de bloedbaan noemen we $C$ . In de figuur hiernaast zie je een schets van de grafiek van $C$ (in mg/cm³ als functie van $t$ in uren.

Een onderzoeker van PharmaCie stelt de volgende formule op die dit verloop redelijk benadert:
$C_{1} (t) = \frac{16 t}{190 t^{2} + 60}$ .
Hierin is $C_{1}$ de concentratie werkzame stof in mg/cm³ en $t$ de tijd in uren na het innemen van de pil.

a

Bereken met behulp van de afgeleide van $C_{1}$ na hoeveel minuten, gerekend vanaf het moment dat de pil is ingenomen, de concentratie werkzame stof maximaal is.

Een andere onderzoeker stelt een geheel andere formule op voor het verband tussen de tijd na het innemen van de pil en de concentratie werkzame stof:
$C_{2} (t) = 0,13 (e^{‐ 0,65 t} - e^{‐ 3,9 t})$ .
Hierin is $C_{2}$ de concentratie werkzame stof in mg/cm³ en $t$ weer de tijd in uren na het innemen van de pil.

Aan de schets van de grafiek is te zien dat de werkzame stof na verloop van tijd nagenoeg uit het bloed verdwenen is. Met een redenering kun je aantonen dat elk van beide formules dit proces beschrijft.

b

Beredeneer aan de hand van de formules van $C_{1}$ en $C_{2}$ dat de werkzame stof volgens beide formules na verloop van tijd nagenoeg uit het bloed is verdwenen.

Hoewel de grafieken van $C_{1}$ en $C_{2}$ beide erg op de grafiek in de figuur lijken, verschillen de momenten waarop het maximum bereikt wordt wel van elkaar.

c

Onderzoek met behulp van de afgeleide $\frac{d C_{2}}{d t}$ of het maximum van $C_{1}$ eerder of later dan het het maximum van $C_{2}$ optreedt.

14

De gulden snede

In de wiskunde is de volgende rij getallen erg bekend: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ .
Deze rij getallen staat bekend als de rij van Fibonacci (Pisa, 1170-1250). Elk getal in deze rij is te berekenen door de twee voorgaande getallen op te tellen. In formulevorm ziet dit er als volgt uit: $u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$ , met $u_{1} = u_{2} = 1$ .
Je kunt dit eenvoudig narekenen bij het begin van de rij:
$2 = 1 + 1$ ,
$3 = 2 + 1$ ,
$5 = 3 + 2$ ,
$8 = 5 + 3$ ,
enzovoort.
Het is duidelijk dat de getallen in de rij van Fibonacci steeds groter worden.

a

Bereken hoeveel getallen in de rij van Fibonacci een waarde hebben tussen $100$ en $500$ .

De rij van Fibonacci heeft veel bijzondere eigenschappen. Zo heeft de rij die je krijgt door steeds de verhouding van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci te nemen een grenswaarde $G$ . Het gaat dan om de rij $\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \dots$ enzovoort. De waarde van deze breuken is op den duur ongeveer gelijk aan $1,618$ . Vanaf een zeker moment ligt deze verhouding tussen $1,6180$ en $1,6181$ . Deze grenswaarde $G$ is, met name in de kunst, bekend geworden als de gulden snede.

b

Bereken vanaf welk tweetal opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci de verhouding ligt tussen $1,6180$ en $1,6181$ .

In de 19e eeuw deed Fechner onderzoek naar de esthetische waarde die door velen aan de gulden snede wordt toegekend. Hij liet een aantal mensen rechthoeken zien waarvan de verhouding tussen de lengte en de breedte telkens verschillend was. Aan deze mensen werd gevraagd welke rechthoek zij het mooist vonden. Uit het onderzoek bleek dat rechthoeken waarvan de verhouding van de lengte en de breedte ongeveer de gulden snede opleverde, het meest werden uitgekozen. Mede op grond van deze resultaten stelde Petrov een formule op waarmee hij deze voorkeur wilde uitdrukken in een getal. Hij noemde dit de appreciatiewaarde $A$ van de rechthoek en kwam met de volgende formule:
$A = (\frac{1}{v} - 1) \cdot \log (1 - \frac{1}{v})$ .
In deze formule is $v$ de verhouding tussen de langste zijde en de kortste zijde van de rechthoek, dus
$v = \frac{verhouding langste zijde}{verhouding kortste zijde}$ .

De afmetingen van het schilderij „De Nachtwacht‟ van Rembrandt van Rijn zijn $363$ cm bij $437$ cm. De afmetingen van „Oog‟, een litho van M.C. Escher, zijn $141$ cm bij $198$ cm.

c

Bereken welk van deze twee kunstvoorwerpen de grootste appreciatiewaarde heeft volgens de formule van Petrov.

Het schilderij „Moment‟ van Barnet Newman heeft een appreciatiewaarde van $0,1544$ en de langste zijde van dit schilderij is $762$ cm. Die langste zijde is meer dan $3$ meter langer dan de kortste zijde.

d

Bereken de lengte van de kortste zijde van „Moment‟.

De formule van Petrov werd oorspronkelijk op een iets andere manier opgeschreven dan hierboven vermeld. Hieronder staan drie verschillende mogelijkheden A, B en C voor die oorspronkelijke schrijfwijze. Slechts één van de drie komt overeen met de formule die hierboven vermeld wordt.
A. $A = (\frac{v - 1}{v}) \cdot \log (\frac{v}{v - 1})$
B. $A = (\frac{1 - v}{v}) \cdot \log (\frac{v}{v - 1})$
C. $A = (\frac{v}{v - 1}) \cdot \log (\frac{v - 1}{v})$ .

e

Welke van deze formules komt overeen met de formule van Petrov? Licht je antwoord toe.