1

Tanken
De onderstaande tekst is afkomstig uit een artikel uit een landelijk dagblad van augustus 1997.

Om meer inzicht te krijgen in de voor- en nadelen van „tanken in het buitenland‟ bekijken we in de vragen a en b een vereenvoudigd voorbeeld:
Jan gebruikt zijn auto voor het doen van boodschappen en voor het afleggen van familiebezoekjes in de directe omgeving. Jan woont op 200 km afstand van het dichtstbijzijnde buitenlandse tankstation. Hij maakt een aparte rit als hij in het buitenland gaat tanken. Als hij in Nederland tankt, hoeft hij daar niet extra voor te rijden. Hij rijdt $1$ op $10$ , dat wil zeggen dat zijn auto met $1$ liter benzine $10$ km rijdt. Als hij tankt, tankt hij altijd precies $50$ liter.

Ga uit van de in het artikel genoemde benzineprijzen.
Jan redeneert op de manier van het artikel: “mijn voordeel is $3$ gulden per liter; zelfs als ik daar de kosten van het heen en weer rijden van aftrek, heb ik nog voordeel”.

a

Laat met een berekening zien dat het voordeel van Jan per keer dat hij in het buitenland gaat tanken volgens deze redenering $70$ gulden bedraagt.

Jan merkt al snel dat er iets mis is met zijn redenering. Hij is meer geld kwijt dan toen hij in Nederland tankte. Om een eerlijke vergelijking te maken tussen tanken in Nederland en tanken in het buitenland moet hij voor beide situaties de kosten berekenen per gebruikskilometer. Een gebruikskilometer is elke afgelegde kilometer die niet gereden wordt om te tanken. In Jans geval is er dus sprake van het afleggen van gebruikskilometers bij bijvoorbeeld familiebezoekjes of boodschappen doen.

b

Hoe groot is het voordeel per gebruikskilometer bij tanken in Nederland vergeleken met tanken in het buitenland voor Jan? Licht je antwoord toe met een berekening.

We bekijken nu een wat algemenere situatie: de benzineprijs in Nederland noemen we $N$ (in gulden per liter), de benzineprijs in het buitenland noemen we $B$ (in gulden per liter) en de afstand tot het dichtstbijzijnde buitenlandse tankstation noemen we $x$ (in km). Voor het voordeel bij tanken in het buitenland $V$ (in gulden) per gebruikskilometer geldt dan:
$V = 0,08 N - \frac{25 \cdot B}{312,5 - x}$ .
Hierbij gaan we ervan uit dat:
- autos $1$ op $12,5$ rijden: elke auto rijdt $12,5$ km op $1$ liter benzine;
- een eigenaar van een auto bij een tankbeurt altijd $50$ liter tankt;
- een eigenaar van een auto altijd een aparte rit maakt om in het buitenland te tanken;
- een eigenaar van een auto niet extra hoeft te rijden om in Nederland te tanken.

c

Toon aan dat deze formule juist is.

Men wil de benzineprijs in Nederland zodanig vaststellen dat er geen voordeel bij tanken in het buitenland is voor mensen die $15$ kilometer of verder van het dichtstbijzijnde buitenlandse tankstation wonen. De benzineprijs in Nederland is dan een vast percentage hoger dan de benzineprijs in het buitenland ongeacht de benzineprijs in het buitenland.

d

Toon dat aan.

De literprijs van benzine verandert met grote regelmaat. Daarmee verandert ook de afstand tot het dichtstbijzijnde tankstation in het buitenland waarbij er geen voordeel of nadeel is om daar te gaan tanken.

e

Toon aan dat uit $V = 0,08 N - \frac{25 \cdot B}{312,5 - x}$ volgt dat deze afstand gelijk is aan $312,5 \cdot (1 - \frac{B}{N})$ .

2

Lawaaitrauma
Als je langdurig harde geluiden hoort, kunnen klachten ontstaan, zoals stress of gehoorbeschadiging. Men spreekt dan van een lawaaitrauma.

In Noorwegen bleek het aantal militairen met een lawaaitrauma tussen 1 januari 1982 en 1 januari 1988 te zijn verdubbeld.
Op 1 januari 1982 hadden $4500$ van hen een aantoonbaar lawaaitrauma.
Neem aan dat het aantal militairen met zo'n trauma in de periode 1982-1988 exponentieel toenam.

a

Bereken het aantal militairen dat op 1 januari 1985 een lawaaitrauma had. Rond je antwoord af op honderdtallen.

In de Verenigde Staten heeft men rond 1990 vastgesteld dat geluidssterktes van meer dan 90 dB (decibel) waaraan iemand langer dan $8$ uur per dag (een werkdag) wordt blootgesteld, een lawaaitrauma kunnen opleveren.
Ter bescherming van de werknemers is daarom de volgende norm ingevoerd:
- bij een voortdurende geluidssterkte van $90$ dB bedraagt de maximale werktijd 8 uur; - bij elke toename van de geluidssterkte met $5$ dB moet de maximale werktijd gehalveerd worden.

In de figuur hiernaast is een lijn getekend. Deze lijn geeft het verband weer tussen de geluidssterkte en de maximaal toegestane werktijd, zoals die gebruikt wordt voor industrielawaai in de VS. Op de horizontale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. $L$ is de geluidssterkte in dB en $t$ is de maximaal toegestane werktijd in uren.

De Europese norm is sinds enkele jaren strenger dan de norm van de VS:
- bij een voortdurende geluidssterkte van $80$ dB bedraagt de maximale werktijd 8 uur; - bij elke toename van de geluidssterkte met $3$ dB moet de maximale werktijd gehalveerd worden.
Op het werkblad is rechte de lijn, behorend bij de norm van de VS in een assenstelsel getekend.

b

Teken in dit assenstelsel de rechte lijn die bij de Europese norm hoort.

De formule die hoort bij de in de figuur getekende lijn is $L = ‐ 16,6 \cdot \log (t) + 105$ .

In Amerika en Europa staan twee fabrieken met voor de werknemers precies dezelfde geluidssterkte. In de Amerikaanse fabriek mag men vanwege de geluidssterkte maximaal $6$ uur per dag werken.

c

Onderzoek hoeveel tijd per dag men in de Europese fabriek maximaal zou mogen werken.

3

Sauna
Om 15.00 uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment wordt de sauna opgewarmd. Voor het opwarmen geldt de formule
$S = 200 - 180 \cdot e^{‐ 0,29 t}$ .
Hierin is $S$ de temperatuur in de sauna in graden Celsius en $t$ de tijd in uren vanaf 15.00 uur.
De thermostaat van de sauna is ingesteld op $100 °$ C. Zodra die temperatuur bereikt is, wordt het opwarmen gestopt. Vanaf dat moment wordt de temperatuur constant gehouden. In de figuur hoiernaast staat de grafiek van $S$ .

a

Bereken algebraïsch hoe laat het opwarmen wordt gestopt. Geef het tijdstip in minuten nauwkeurig.

Om na te gaan hoe de opwarming van de sauna verloopt, wil men kijken naar een toenamediagram dat hierbij hoort. In de figuur hieronder zie je vier toenamediagrammen, allemaal met een stapgrootte van een half uur, voor de periode van 15.00 uur tot 17.30 uur.

b

Welk van de geschetste diagrammen is het juiste toenamediagram? Licht je antwoord toe.

Als je in de grafiek van $S$ naar het opwarmen kijkt, lijkt de temperatuur afnemend te stijgen.

c

Onderzoek met behulp van differentiëren of deze conclusie juist is.

d

Bereken $S^{'} (1)$ , afgerond op $1$ decimaal en geef de betekenis ervan in deze situatie.

Om bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang de sauna nodig heeft om deze temperatuur te bereiken, kun je een formule gebruiken die $t$ uitdrukt in $S$ .

e

Druk $t$ uit in $S$ .

4

Lengte van jongetjes

Een onderzoeker heeft gegevens verzameld over de gemiddelde lengte van jongetjes van $0$ tot $10$ jaar in Nederland. In de figuur hiernaast zie je het verband tussen de gemiddelde lengte $L$ en de leeftijd $j$ .

De formule die het verband tussen $j$ en $L$ beschrijft is:
$L = p + q \sqrt{j}$ waarin $p$ en $q$ getallen zijn.

a

Bereken de waarden van $p$ en $q$ .

De onderzoeker is vooral geïnteresseerd in het verband tussen lengte en leeftijd in de eerste maanden na de geboorte. Zij maakt daartoe de grafiek van de tweede figuur hiernaast.

b

Teken met behulp van de formule een grafiek van het verband tussen de gemiddelde lengte $L$ en de leeftijd $m$ in maanden voor het eerste levensjaar.
Neem op de horizontale as $1$ cm voor elke maand en op de verticale as $1$ cm voor elke $5$ cm lengte (gebruik een scheurlijn).

Uit de gegeven formule die het verband tussen $L$ en $j$ beschrijft, is een vergelijkbare formule af te leiden van het verband tussen $L$ en $m$ .

c

Stel een formule op die het verband tussen $L$ en $m$ beschrijft.

5

Onnodig ingewikkeld?

Een gezonde volwassene is 's morgens langer dan aan het einde van de dag. De Australische wetenschapper D. Burgess heeft dit verschijnsel onderzocht en publiceerde in 1999 de volgende formule voor de lengtefractie $S$ :
$S = \ln (‐ 0,00216 t + 2,7183)$ .
Hierin is $t$ het aantal uren nadat een persoon is opgestaan en $S$ de verhouding tussen de lengte $L$ van die persoon ten opzichte van zijn lengte $L_{0}$ bij het opstaan.
Dus $S = \frac{L}{L_{0}}$ .

Meneer Jansen heeft als hij uit bed komt een lengte van $170,0$ cm.

a

Bereken algebraïsch na hoeveel tijd meneer Jansen volgens de formule $2,0$ cm korter is geworden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

We gaan er in het vervolg van de opgave van uit dat een persoon na het opstaan $16$ uur actief is, dus na $16$ uur weer gaat slapen.
In de figuur hiernaast is de grafiek van $S$ als functie van $t$ getekend. Deze grafiek lijkt zo op het eerste gezicht een rechte lijn, maar door de formule is bekend dat dit niet zo is.

b

Stel de formule voor de afgeleide van $S$ op en toon met behulp van deze afgeleide aan dat er bij $S$ voor $0 \leq t \leq 16$ sprake is van daling. Onderzoek vervolgens of het hier om toenemende of afnemende daling gaat.

De grafiek van $S$ valt nagenoeg samen met de rechte lijn door de punten $(0; 1,0000)$ en $(16; 0,9872)$ .
Is de formule van $S$ met de natuurlijke logaritme, zoals gepubliceerd door de Australische wetenschapper, niet onnodig ingewikkeld? We zouden voor $S$ ook gewoon een lineaire functie van $t$ kunnen nemen.
We vergelijken daarom de formule $S = \ln (‐ 0,00216 t + 2,7183)$ met de formule $S = ‐ 0,0008 t + 1,0000$ die hoort bij de rechte lijn door de punten $(0; 1,0000)$ en $(16; 0,9872)$ . Om de twee formules met elkaar te vergelijken, wordt de verschilformule $V$ opgesteld.
$V = \ln (‐ 0,00216 t + 2,7183) - (‐ 0,0008 t + 1,0000)$

We nemen weer meneer Jansen, met een lengte van $170,0$ cm bij het opstaan, als voorbeeld. Met behulp van $V$ kun je op elk tijdstip $t$ (met $0 \leq t \leq 16$ ) het verschil tussen de uitkomsten van beide formules bekijken.

c

Bereken de maximale waarde van dit verschil.

6

Bij het ontwerpen van gebouwen besteedt men aandacht aan de mogelijke bezonning. Daarbij gaat men uit van een altijd wolkenloze hemel. In deze opgave beperken we ons tot gebouwen met rechte verticale gevels die niet in de schaduw van andere gebouwen staan. Verder gaan we uit van een jaar met $365$ dagen. In de tabel hieronder is af te lezen hoeveel dagen elke kalendermaand telt.

Hieronder is het dagelijks aantal uren zonneschijn $B$ bij een altijd wolkenloze hemel uitgezet tegen het nummer van de dag $n$ ; hierbij geldt $n = 1$ voor 1 januari.
Voor $B$ geldt de formule:
$B = 12,3 + 4,6 \cdot \sin (0,0172 \cdot (n - 80))$

Op 30 januari komt de zon op om 8:27u.

a

Bereken met behulp van de formule het tijdstip waarop de zon op 30 januari onder gaat in minuten nauwkeurig.

b

Toon door berekening aan dat 13 april de eerste dag van het jaar is dat de zon langer dan $14$ uur schijnt.

Er is een groot verschil tussen het maximale en het minimale dagelijkse aantal uren zonneschijn.

c

Bereken aan de hand van de formule voor $B$ dit verschil in minuten nauwkeurig.

Gevels aan weerszijden van een rechthoekig gebouw kunnen niet tegelijkertijd door de zon beschenen worden. Ook is het zo dat, àls de zon schijnt, òf de noord-gevel òf de zuid-gevel zonlicht ontvangt.(Uiteraard geldt zoiets ook voor oost- en westgevel maar dat is hier niet van belang.)
In de grafiek hieronder is ook het dagelijks aantal bezonningsuren voor een noordgevel uitgezet; zie de grafiek $B_{noord}$ . Uit deze grafiek blijkt dat een noord-gevel slechts een gedeelte van het jaar beschenen wordt.

d

Teken op het werkblad de grafiek van $B_{zuid}$ voor het dagelijks aantal bezonningsuren voor een zuid-gevel.

7

Wereldbevolking
De wereldbevolking neemt steeds sneller toe. In de tabel hiernaast zijn schattingen van de Verenigde Naties en andere instanties gecombineerd.

Wetenschappers proberen formules op te stellen die $N$ uitdrukken als functie van de tijd $t$ . Een voor de hand liggend idee is om een exponentiële formule te gebruiken. Een exponentiële formule die redelijk past bij de gegevens in de tabel is:
$N = 0,0101 \cdot {1,0065}^{t}$
met $t$ het jaartal.
Voor de periode 1650-2000 geeft deze formule inderdaad aantallen die redelijk passen bij de tabel, maar vanzelfsprekend zijn ze niet precies kloppend. Zo geeft de formule voor de jaren 1850 en 1950 aantallen die meer dan $20$ % boven de werkelijke aantallen liggen.

a

Onderzoek voor welk van deze twee jaren de procentuele afwijking het grootst is.

Volgens sommige schattingen biedt de aarde ruimte en voedsel aan ten hoogste $20$ miljard mensen

b

Onderzoek vanaf welk jaar de aarde volgens de formule te “klein” zal zijn.

Schoksgewijs exponentieel
Sommige wetenschappers vragen zich af hoeveel mensen er ooit op aarde geleefd hebben.
De Amerikaan Carl Haub schatte in 2002 dat er tot en met dat jaar ruim $0$ miljard mensen op aarde geleefd hadden (of nog leefden). Hij ging daarbij uit van een rekenmodel met “schoksgewijs exponentiële toename” van de wereldbevolking. In de tabel hieronder zie je een gedeeltelijk overzicht van dit rekenmodel.

In deze tabel kun je onder andere aflezen dat volgens het model van Haub de wereldbevolking in de periode 1850-1900 jaarlijks toenam met $0,5401$ %, van $1265$ miljoen tot $1656$ miljoen. Hierbij wordt er dus van uit gegaan dat er binnen elke periode van de tabel een exponentiële groei plaatsvindt en de groeifactoren per periode kunnen verschillen.

c

Bereken het ontbrekende groeipercentage in vier decimalen nauwkeurig.

Volgens het model van Haub werd de grens van $1$ miljard mensen bereikt in de periode 1750-1850.

d

Bereken algebraïsch in welk jaar dit volgens het model van Haub gebeurde.

Om een schatting te krijgen van het aantal mensen dat ooit op aarde geleefd heeft, gebruikte Haub voor elke periode in de tabel schattingen van de aantallen geboortes. We bekijken de aanpak van Haub voor de periode van 1995 tot en met 2002. Voor die periode 1995-2002 kan de wereldbevolking bij benadering beschreven worden met de formule
$N = 5760 \cdot {1,01092}^{t}$ .
Hierbij is $t$ de tijd in jaren, waarbij $t = 0$ overeenkomt met het jaar 1995, en is $N$ de wereldbevolking in miljoenen.
Volgens redelijke schattingen werden er in deze periode jaarlijks per $1000$ mensen $23$ baby´s geboren. Dat betekent dat er in deze periode in totaal bijna $1$ miljard baby´s geboren werden.
Het aantal geboortes in het $n$ -de jaar na 1995 noemen we $a_{n}$ .
Het totale aantal geboortes in periode 1995-2002 kun je met de GR berekenen met een recursieve betrekking van de vorm:
${\begin{cases} s_{0} = a_{0} \\ s_{n} = s_{n - 1} + a_{n} \end{cases}, n = 1, 2, \dots$ .

e

Bereken dit aantal in miljoenen nauwkeurig.

(hint)

Er geldt:

a_{n} = 0,023 \cdot 5760 \cdot {1,01092}^{n}

.

8

Koolstofdatering
Koolstofdatering is een manier om de ouderdom van organisch materiaal te bepalen, bijvoorbeeld van hout, plantenresten of botten. In levende organismen komt naast de gewone, niet-radioactieve vorm van koolstof C-12 ook het radioactieve C-14 voor en wel in een bepaalde verhouding tot C-12. Na de dood van het organisme zal de hoeveelheid C-14 door radioactief verval exponentieel afnemen. Door te meten hoeveel C-14 er nog over is, kan men de ouderdom van het organische materiaal bepalen. Voor de afname van de hoeveelheid C-14 geldt de volgende formule:
$Q = 100 \cdot g^{t}$ .
Hierin is $Q$ de relatieve huidige hoeveelheid C-14 (als percentage van de oorspronkelijke hoeveelheid C-14), $g$ de jaarlijkse groeifactor en $t$ de ouderdom van het organische materiaal in jaren.
De halfwaardetijd, ook wel halveringstijd genoemd, van C-14 is $5730$ jaar. Hiermee kunnen we berekenen dat $g = 0,99988$ .

a

Bereken de waarde van $g$ in zes decimalen nauwkeurig.

De methode van koolstofdatering is niet bruikbaar voor materiaal ouder dan $600000$ jaar, omdat de hoeveelheid C-14 dan te klein is om te meten.

b

Bereken hoeveel procent van de oorspronkelijke hoeveelheid C-14 nog over is na $60000$ jaar. Rond je antwoord af op honderdsten van procenten.

De formule $Q = 100 \cdot {0,99988}^{t}$ kan, bij benadering, herschreven worden tot de volgende formule:
$t = \frac{\ln (Q) - 4,6052}{‐ 0,00012}$ .

c

Laat dit zien

De ouderdom die men met de formule $t = \frac{\ln (Q) - 4,6052}{‐ 0,00012}$ berekent, is niet de werkelijke ouderdom. In de figuur hiernaast zie je een gedeelte van de zogenoemde calibratiecurve, dat is een grafiek waarmee men de berekende ouderdom om kan zetten in de werkelijke ouderdom. Deze calibratiecurve is gemaakt door de hoeveelheid C-14 te bepalen in materiaal waarvan de ouderdom ook op een andere manier bekend was. De figuur staat vergroot op het werkblad.
Langs de verticale as is de berekende ouderdom uitgezet. Deze wordt uitgedrukt in jaren BP, “Before Present” (vóór heden). Hiermee wordt in dit verband altijd bedoeld: het aantal jaren vóór 1950, zodat het niet nodig is te weten in welk jaar het onderzoek is gedaan. Langs de horizontale as staat de werkelijke ouderdom, ook in jaren BP, dus in jaren vóór 1950.
Bij Vlaardingen is een kano gevonden, gemaakt van een uitgeholde boomstam. Om de ouderdom van deze kano te bepalen wordt de hoeveelheid C-14 gemeten. Het blijkt dat er nog $73,19$ % over is van de oorspronkelijke hoeveelheid C-14.

d

Bereken in welk jaar deze kano gemaakt is.

De curve van de figuur verloopt vooral rechtsonder grillig, doordat er voor deze periode veel materiaal beschikbaar was om de curve te maken. Voor het oudste deel van de calibratiecurve is niet zoveel materiaal beschikbaar. Voor een bepaald gedeelte heeft men alleen de volgende gegevens: bij een berekende ouderdom van $20 550$ BP hoort een werkelijke ouderdom van $22 650$ voor Chr. en bij een berekende ouderdom van $19 925$ BP hoort een werkelijke ouderdom van $21 925$ voor Chr. Men neemt aan dat de calibratiecurve tussen deze twee punten volgens een rechte lijn verloopt.

e

Bereken, uitgaande van die rechte lijn, de werkelijke ouderdom van een stuk hout waarvan de berekende ouderdom $20 100$ BP is. Rond je antwoord af op tientallen jaren.

9

Berlijnse klok
In Berlijn staat op de Wittenbergplatz een bijzondere klok. Als je weet hoe het werkt, kun je er prima de tijd op aflezen. In de figuur staat een foto.
Het aflezen werkt als volgt.

De $4$ lampen in de bovenste balk staan elk voor $5$ uur;
de $4$ lampen in de tweede balk staan elk voor $1$ uur;
de $11$ lampen in de derde balk staan elk voor $5$ minuten;
de $4$ lampen in de onderste balk staan elk voor $1$ minuut.

(De ronde lamp helemaal bovenaan gebruiken we hier niet.) De lampen gaan van links naar rechts branden, telkens wanneer er een keer de bijbehorende tijdseenheid voorbij is, dus na één minuut gaat op de onderste balk de volgende lamp aan.
Wanneer er $5$ minuten voorbij zijn, gaan de lampen in de onderste balk uit en gaat in de balk erboven de volgende lamp aan. Zo ook in de andere balken. Op de klok in de figuur is het dus $(2 \times 5 + 4 \times 1)$ uur en $(11 \times 5 + 2 \times 1)$ minuten , oftewel 14:57u.

Om middernacht is het 00:00u. Dan zijn alle lampen uit. Het is nu 13:48u.

a

Bereken hoe vaak de meest rechtse lamp op de onderste balk sinds middernacht aan gegaan is

Deze Berlijnse klok was voor Jörg Pretz aanleiding om op zoek te gaan naar een (wiskundig) mooiere klok. Hij kwam uit op de klok in de tweede figuur. Dit is een $12$ -uurs-klok.
De klok in deze figuur werkt net zo als de Berlijnse klok, met kleine aanpassingen.

De lamp in de bovenste rij staat voor $6$ uur;
de lampen in de tweede rij staan elk voor $2$ uur;
de lampen in de derde rij staan elk voor $30$ minuten;
de lampen in de vierde rij staan elk voor $6$ minuten;
de lampen in de onderste rij staan elk voor $1$ minuut.

Ook op deze klok gaan de lampen van links naar rechts branden. Op de klok in de tweede figuur is het dus $2 \times 2$ uur en $(1 \times 30 + 3 \times 6 + 1 \times 1)$ minuten , oftewel 04:49u.

In de klok zie je $7$ lampen branden.

b

Onderzoek hoeveel tijdstippen er mogelijk zijn waarop er precies $2$ lampen branden.

Je kunt je de vraag stellen hoe het komt dat deze klok kan werken.
Bij het beantwoorden van die vraag is het volgende van belang: met de onderste rij van $5$ lampen zijn $6$ mogelijke 'minuut-tijdstippen weer te geven: 00:00, 00:01, 00:02, 00:03, 00:04 en 00:05. Dat principe geldt voor elke rij.

c

Toon door het berekenen van het aantal mogelijke 'minuut'-tijdstippen aan dat je op deze manier met $5$ rijen inderdaad precies een $12$ -uurs-klok kunt maken.

10

Sluipwespen

Larven kunnen grote schade toebrengen aan gewassen. Larven kunnen milieuvriendelijk bestreden worden met sluipwespen. Een sluipwesp legt een eitje in de larve waardoor de larve uiteindelijk doodgaat. Een onderzoeker wilde weten hoeveel larven één sluipwesp maximaal per dag kan bestrijden.
Om dit te onderzoeken werd één sluipwesp in een grote afgesloten ruimte met larven gezet. Na één dag werd geteld hoeveel larven er in totaal in de ruimte waren. Dit aantal noemen we $L$ . Ook werd geteld hoeveel larven er een eitje bevatten. Dit aantal wordt $E$ genoemd. Het experiment werd enkele malen uitgevoerd.
De resultaten zijn als stippen te zien in de figuur.

Het verband tussen $E$ en $L$ kan redelijk worden benaderd door de volgende formule:
$E = 64 \cdot (1 - e^{‐ 0,01 L})$ .

In de figuur is te zien dat het aantal larven met eitjes $E$ steeds minder snel toeneemt als het totale aantal larven $L$ toeneemt. Dit is ook in te zien met behulp van de afgeleide van $E$ .

a

Bepaal de afgeleide van $E$ en toon daarmee aan dat het aantal larven met eitjes volgens de formule steeds minder snel toeneemt bij toenemend aantal larven.

De formule is een hulpmiddel om te schatten hoeveel larven maximaal per dag door één sluipwesp kunnen worden bestreden. Volgens de formule kan het aantal larven met eitjes $E$ niet boven een bepaalde grenswaarde uitkomen.

b

Geef deze grenswaarde. Licht je antwoord toe.

c

Laat zien dat het verband tussen $E$ en $L$ te schrijven is als:
$L = ‐ 100 \cdot \ln (64 - E) + 41,6$ (ongeveer).

11

Groenbelegging
Beleggingsmaatschappijen zoeken naar steeds nieuwe manieren om geld te beleggen. Eén van die manieren is beleggen in bomen.
Over het beleggen in bomen schrijft een beleggingsmaatschappij in een reclamefolder het volgende.

Onderzoek of deze laatste bewering klopt en bereken welk rentepercentage je op een spaarrekening zou moeten krijgen om na twintig jaar minstens een even hoge opbrengst te hebben als met deze groenbelegging.

12

Quadominos
Het spel Quadominos bestaat uit vierkante stenen. Zie hieronder links. Op elke steen staan vier cijfers, één cijfer bij elke hoek. Dit cijfer kan zijn een 0, 1, 2, 3, 4 of 5.
Doel van het spel is zoveel mogelijk stenen passend aan te leggen. Hieronder rechts zie je daar een voorbeeld van.

Alle stenen zijn verschillend. Alle mogelijke combinaties van cijfers komen voor, behalve één: er is geen steen met de cijfers 0, 2, 4 en 5. Je kunt de stenen in vijf soorten verdelen:
stenen met

vier dezelfde cijfers, bijvoorbeeld 3-3-3-3;
precies drie dezelfde cijfers, bijvoorbeeld 3-3-3-4;
twee keer twee dezelfde cijfers, bijvoorbeeld 0-0-2-2;
twee dezelfde en daarnaast twee verschillende cijfers, bijvoorbeeld 1-1-0-2;
vier verschillende cijfers, bijvoorbeeld 1-2-3-5

Van elke combinatie van vier toegestane cijfers zit er in het spel slechts één steen. Er zit bijvoorbeeld dus maar precies één steen in met de cijfers 1-1-0-2.

Onderzoek hoeveel stenen er in totaal zijn bij het spel Quadominos.

13

Productie en temperatuur
Op een industrieterrein wordt elke dag de maximumtemperatuur gemeten. In onderstaande grafiek zijn de meetresultaten voor juni 2010 weergegeven.

Een groot bedrijf op dit industrieterrein produceert materiaal. De productie van dit materiaal is afhankelijk van de buitentemperatuur. In onderstaande tabel kun je terugvinden hoeveel er per dag in diezelfde periode geproduceerd is (in tonnen).

Een medewerker van de afdeling planning wil het verband tussen de maximumtemperatuur $T$ en de productie $P$ bestuderen. Hij wil daarbij dit verband in een zo eenvoudig mogelijke en goed passende formule uitdrukken.

Stel een dergelijke formule op en licht je antwoord toe.

14

Elektriciteit
In november 2004 maakte energiebedrijf Essent de tarieven voor de levering van elektriciteit bekend voor het jaar 2005. Zie onderstaande tabel.

Zoals je kunt zien, kunnen klanten bij Essent kiezen uit drie tarieven.
Essent kent tarieven voor huishoudens die een elektriciteitsmeter gebruiken waarmee onderscheid wordt gemaakt tussen laagtarief en normaaltarief.
Het laagtarief wordt berekend voor elektriciteitsverbruik in het weekend en 's nachts van 23:00 tot 7:00 uur, het normaaltarief op de andere tijden.
Alle bedragen zijn inclusief BTW.
Een huishouden kan kiezen uit een van de drie tarieven. Afhankelijk van het verbruik en de momenten waarop verbruikt wordt, is voor het ene huishouden het ene keuzetarief het voordeligste en voor het andere huishouden het andere.

Een energieadviseur maakt een voorlichtingsfolder om daarbij met een figuur duidelijk te maken bij welke combinaties van laag- en normaaltariefverbruik (op jaarbasis) welk keuzetarief het voordeligst is. Hij wil daarin gebieden aangeven waar een bepaald tarief het voordeligst is. Hij gebruikt daarvoor het assenstelsel op de uitwerkbijlage. Hij heeft daarop al een lijnstuk getekend. Op dat lijnstuk liggen alle punten waarbij keuzetarief Budget en keuzetarief Standaard precies even duur zijn.

Geef in het assenstelsel op het werkblad drie gebieden aan waarin telkens één van de drie keuzetarieven het voordeligst is. Licht je antwoord toe.