In deze paragraaf leer je de oppervlakte onder een grafiek exact te berekenen. We gaan ook in op de betekenis van zo'n oppervlakte.
Jaap loopt uur,
het eerste uur met een snelheid van km/u,
de twee uren daarna met een snelheid van km/u en
het laatste uur met een snelheid van km/u.
In de figuur is de snelheid in km/u en de looptijd in uur.
Hoe lang is het traject?
De wandelaar heeft na uur lopen km afgelegd.
Teken de grafiek van als functie van .
Geef een formule voor :
|
als , |
|
als , |
|
als . |
Geef op elk tijdsinterval uit b de groeisnelheid van .
Een voorwerp valt van een toren van meter hoog. Na seconden vallen is het voorwerp meter gevallen en is zijn snelheid m/s. Hiernaast zijn de grafieken getekend van en , beide als functie van .
Druk de oppervlakte van de gekleurde driehoek in uit.
Wat is het verband tussen en de oppervlakte?
Een auto rijdt in vier uur een bepaald traject.
figuur 1
|
figuur 2
|
In figuur 1 en 2 is de snelheid in km/u en de tijd in uren. De totale lengte van het traject is km. In figuur 1 zijn, passend onder de grafiek, rechthoeken getekend. De som van de oppervlakten van die rechthoeken is km. Dat is een te lage schatting van : een zogenaamde onderschatting van .
Leg dat uit.
In figuur 2 zijn, passend boven de grafiek, rechthoeken getekend. De som van de oppervlakten van die rechthoeken in het tweede plaatje is . Dat is een bovenschatting van .
Hoe groot schat jij op grond van de onder- en bovenschatting?
Hoe zou je nog een betere schatting kunnen geven?
Hoe nauwkeurig een schatting is.
We nemen de functie op het interval . We verdelen het interval in tien gelijke delen. De verdeelpunten zijn
, ,
,...,
, . We maken een onderschatting en een bovenschatting van de oppervlakte onder de grafiek
van
met rechthoeken bij deze verdeling.
In de figuur hieronder zie je links de rechthoek van de onderschatting op het interval
met eindpunten
en
; rechts de rechthoek van de bovenschatting.
Bereken de oppervlakte van beide staven.
De onderschatting van de oppervlakte onder de grafiek van op het interval
is:
en van de bovenschatting:
.
Het verschil is .
Dat het verschil is, kun je ook met de figuur hiernaast zien.
Leg dat uit.
Wat is het verschil tussen de onder- en bovenschatting als de rechthoeken breedte hebben?
Jaap benadert de oppervlakte onder de grafiek van op met een onderschatting met twintig rechthoeken met breedte en ook met een bovenschatting.
Wat is het verschil tussen de onder- en bovenschatting?
Om de oppervlakte onder de grafiek van een positieve functie te benaderen, kun je
een onder-/overschatting met rechthoeken maken
zoals in opgave 3.
Zo'n onder-/overschatting wordt beter naarmate je met smallere rechthoeken werkt,
zie opgave 4.
Zodoende krijg je een steeds nauwkeuriger schatting van de oppervlakte onder de grafiek
van .
Bij de functies die wij behandelen kun je het verschil tussen ondersom en bovensom
zo klein maken als je maar wilt.
De oppervlakte onder de grafiek van is de grenswaarde of limiet van de ondersom (en van de bovensom) bij een steeds fijnere
verdeling.
Om de oppervlakte onder de grafiek te bepalen is het niet noodzakelijk een regelmatige
verdeling te nemen. Het doet er ook niet toe of je de grenswaarde van de boven- of
ondersom neemt. We spreken - dit alles in het midden latend - over (de grenswaarde
van) een Riemannsom.
De methode om de oppervlakte onder de grafiek met een steeds fijnere verdeling van
rechthoeken te benaderen is afkomstig van de Duitse wiskundige Bernhard Riemann.
Zo'n som wordt genoteerd met . Het sigma-teken geeft aan dat de som wordt
genomen, de rechthoeken hebben oppervlakte .
Conclusie
(opgave 3) is de oppervlakte onder de grafiek van .
Het bepalen van de oppervlakte onder de grafiek van een functie heet integreren, dat wil zeggen: het totaal nemen.
In de opgaven 1, 2 en 3 hebben we gezien dat de oppervlakte onder de snelheidsgrafiek van een functie
op een bepaald tijdsinterval gelijk is aan
de afgelegde weg op dat tijdsinterval.
In het hoofdstuk Inleiding differentiëren van 4vb heb je gezien dat de hellingfunctie van de afgelegde-weg-grafiek de snelheidsgrafiek oplevert.
Differentiëren en integreren hebben omgekeerde werking.
De oppervlakte van gebieden met kromme grenzen is in het algemeen niet zo gemakkelijk
te bepalen. Het bekendste voorbeeld is de cirkel. Daarvan was de oppervlakte al in
de Griekse oudheid bekend. Archimedes wist ook de exacte oppervlakte onder de grafiek
van op
op het interval exact te berekenen.
Hoe Archimedes de oppervlakte van een cirkel benaderde kun je vinden op de website
van
Dick Klingens.
In de volgende opgave bekijken we hoe hij de oppervlakte van een paraboolsegment bepaalde.
In de 16de eeuw, met de uitvinding van de differentiaal- en integraalrekening, is
het berekenen van de oppervlakte van "kromme" gebieden sterk vereenvoudigd.
Gegeven is de functie op het interval . Links is de grafiek getekend in een rooster met hokjes van bij . Hiermee kun je een schatting maken van de oppervlakte onder de grafiek. In opgave 4 hebben we gezien dat die oppervlakte tussen en ligt.
Maak een schatting van de oppervlakte onder de grafiek.
In het midden is een parabool getekend met daarop de punten en
. Het vlakdeel begrensd door en
lijnstuk noemen we een paraboolsegment.
Volgens Archimedes is de oppervlakte van het segment
maal de oppervlakte van
driehoek , waarbij
het snijpunt is van met de lijn
door het midden van lijnstuk evenwijdig aan de as van de parabool, zie de tekening rechts.
Zie B.L. van der Waerden: "Ontwakende wetenschap", blz 238, P. Noordhoff nv, Groningen.
Bereken de oppervlakte onder de parabool op het interval volgens de werkwijze van Archimedes.
We bekijken de oppervlakte onder de grafiek van de functie op het interval , met . We noemen die oppervlakte , zie de figuur hieronder links. We laten zien dat een primitieve van is.
Laat met de methode van Archimedes (zie opgave 5) zien dat .
Geef .
is de oppervlakte onder de grafiek van de functie op het interval
met , zie de figuur hierboven midden.
Je kunt met de methode van Archimedes een formule voor geven. Maar eenvoudiger
is het om te gebruiken.
Laat zien hoe en geef ook .
De oppervlakte onder de grafiek van de functie op het interval met , noemen we , zie de figuur hierboven rechts.
Geef een exacte formule voor met behulp van de formule voor die je gevonden hebt.
Wat is ?
Een functie heet primitieve functie van de functie als voor alle .
In opgave 6 heb je gezien dat de functie
als primitieve de functie met heeft,
als primitieve de functie met heeft.
Niet alleen (onderdeel 6a is een primitieve van , maar ook
onderdeel 6c.)
Stelling 1
Gegeven is een functie op het interval .
Als een primitieve van is, dan is de functie
ook een primitieve van voor elke constante .
Omgekeerd: als en
primitieven zijn van
, dan is
constant.
Het eerste deel van de stelling is waar. Dat het omgekeerde ook waar is, bewijzen we niet.
Een voorwerp beweegt. De afgelegde weg meter (kilometer,...,...) na
seconden (uren,...,...) is een primitieve van de snelheid in m/s (km/u,...,...).
De afgelegde weg gedurende het tijdsinterval is de oppervlakte onder grafiek van .
Een automobilist laat zijn auto uitlopen bij het naderen van de 30km-zone.
Zijn snelheid na seconden is:
m/s.
De grafiek van op het tijdsinterval staat hieronder.
Bereken de snelheid van de auto op en in km/u.
De afgelegde weg na seconden is primitieve functie van .
Ga na dat de functie een primitieve is van .
Dus volgens de stelling geldt: , voor een of
ander constante .
Het getal kun je vinden omdat je
kent.
Wat is ? Bereken hieruit exact.
Bereken exact hoeveel meter de auto heeft afgelegd op het tijdsinterval . Geef ook een benadering in twee decimalen.
Wat is de gemiddelde snelheid van de auto (in km/u) op het tijdsinterval . Geef je antwoord in één decimaal.
Als de snelheid van een auto niet constant is, kun je de gemiddelde snelheid van de auto op een bepaald tijdsinterval uitrekenen door de oppervlakte onder de grafiek op dat interval te delen door de lengte van het interval.
De figuur links gaat over een race tussen twee auto's, is de snelheid en de tijd. Op is de start.
Welke auto ligt voor op ? Hoe zie je dat aan de grafieken?
In de figuur rechts zie je grafieken van het temperatuurverloop op twee dagen in Boxmeer, een dinsdag en een woensdag.
Op welke dag was de gemiddelde temperatuur het hoogst? Waarom?
Gegeven is de functie . Hieronder is de grafiek getekend op het domein .
Met knippen en plakken kun je een rechthoek van het gebied onder de grafiek van maken.
Laat zien hoe dat gaat.
Wat is dus de oppervlakte exact?
Wat is de oppervlakte onder de grafiek van de functie
op
exact?
Wat is de oppervlakte onder de grafiek van de functie
op exact? Licht je antwoord toe.
Er wordt een spanningsverschil over een weerstand (bijvoorbeeld een lamp) gezet.
Uit de natuurkunde is bekend dat het afgegeven vermogen evenredig is met .
De wisselspanning via een stopcontact is sinusvormig met periodes per seconde ( hz).
Het spanningsverschil in Europa is volt. Dat wil zeggen dat de afgegeven energie over een bepaald tijdsinterval
hetzelfde is als dat van een gelijkspanning (constante spanning) van volt.
Neem aan dat de wisselspanning amplitude heeft.
De afgegeven energie op een bepaald tijdsinterval is de oppervlakte onder het vermogen
op dat interval.
Als je de afgegeven energie van de wissel- en gelijkspanning over één periode met
elkaar vergelijkt vind je: , dus
.
In de voorgaande twee opgaven hebben we gezien dat de oppervlakte onder de grafiek
van een functie een belangrijke rol speelt.
We eindigen deze paragraaf met een mooie tekst van Piet Grijs (pseudoniem van Hugo
Brandt-Corstius.)