Op een tachograaf is de snelheid (in km/u) van een vrachtwagen tijdens een rit bijgehouden. Hieronder staat de grafiek bij de rit. Hierbij is de tijd in uur.
De chauffeur rekent bij zijn planning op een gemiddelde snelheid van km/u.
Denk je dat de gemiddelde snelheid tijdens de rit hoger was dan km/u? Waarom?
Hoe zou je kunnen bepalen hoeveel de gemiddelde snelheid tijdens de rit van km/u afwijkt?
Een andere auto legt in uur een bepaald traject af.
(in km/u) is hoeveel de snelheid van de auto afwijkt van km/u en is de tijd in uur.
Wat stelt de oppervlakte van een hokje in het rooster hiernaast fysisch voor?
In het plaatje zijn de stukken I, II en III aangegeven.
Veronderstel dat oppervlakte I hokjes,
oppervlakte II hokjes en
oppervlakte III hokjes.
Als de gemiddelde snelheid van de auto op het traject km/u zou zijn, dan zou dat traject km lang zijn.
Hoeveel langer is het traject?
Bij het antwoord op opgave 18d moet je de oppervlakte onder de horizontale as negatief tellen en de oppervlakte erboven positief. We spreken van de gesigneerde oppervlakte (dat wil zeggen 'voorzien van een teken').
Gegeven is een functie op een interval met een primitieve .
Dan definiëren we als .
Als een positieve functie op is, dan is de oppervlakte onder de grafiek van
op dat interval.
Dat hebben we in de voorgaande paragrafen gezien.
De definitie hangt niet van de keuze van de primitieve af, ga dat na.
In de volgende opgaven zullen we zien dat voor een functie die niet steeds positief is op de gesigneerde oppervlakte tussen de grafiek van en de -as op dat interval is.
Hiernaast is de grafiek van de functie getekend met
.
De snijpunten met de -as zijn ,
en
.
Reken na .
Waarom is de exacte oppervlakte van het gekleurde gebied tussen en
?
Bereken deze integraal exact.
Hieronder staat de grafiek van de functie
.
De lijn is symmetrie-as van de grafiek van .
Toon dat aan.
Bereken de nulpunten van exact.
In de figuur zijn drie gebieden gekleurd.
Reken na dat .
Bereken .
Wat is de oppervlakte van het gekleurde gebied tussen en exact? Licht je antwoord toe.
Bereken en .
In de opgaven 19 en 20 zie je dat de integraal de gesigneerde oppervlakte is.
We gaan nu bewijzen dat de gesigneerde
oppervlakte op het interval is.
Dan is bijvoorbeeld , waarbij de
functie in het plaatje hiernaast is. De oppervlakte van elk van de drie gekleurde
stukken is aangegeven.
de figuur hiernaast.
Voordat we dit kunnen moeten we nog twee dingen laten zien, zie stelling 3.
Stelling 3
Gegeven is een functie , dan geldt:
We nemen aan dat een primitieve heeft.
Bewijs stelling 3.
Nu kunnen we bewijzen dat de gesigneerde oppervlakte op het interval is.
In de figuur hierboven is de grafiek van de functie
getekend op het interval . De oppervlakte van het gebied tussen de
-as en de grafiek van
bestaat uit vier stukken. De oppervlakte van elk stuk is in de figuur aangegeven.
De waarden tussen en waar van teken wisselt
op het interval , noemen we
, en
met .
Er geldt bijvoorbeeld: is positief op , dus
, want de oppervlakte
tussen de -as en de grafiek van is gelijk aan de oppervlakte tussen de grafiek van
en de -as.
Dus , volgens stelling 3.1.
Evenzo: .
Dus volgens stelling 3.2:
,
dus
Het algemene bewijs gaat net zo als het voorbeeld.
Stelling 4
is de gesigneerde oppervlakte tussen de grafiek van
en de -as op het interval
.
Hiernaast staat de grafiek van de functie .
We berekenen op twee manieren.
is gesigneerde oppervlakte tussen de grafiek van en de -as op , dus de oppervlakte van driehoek I de oppervlakte van driehoek II .
Met een primitieve, bijvoorbeeld van :
.
Bereken de volgende integralen op twee manieren:
door naar de gesigneerde oppervlakte te kijken,
met behulp van een primitieve.
|
|
We hebben gezien .
Gebruik dit om de volgende integralen te berekenen, zonder primitieve.
|
|
|
|
Stelling 3.2 is ook goed te gebruiken in het volgende geval.
Hiernaast is de grafiek van de functie getekend, met
.
We berekenen de oppervlakte onder de grafiek van tussen
en exact.
Dit is .
Om van de absolute waarde af te komen schrijven we:
.
De integranden achter het gelijkteken kun je zonder absoluutstrepen schrijven.
De functie is als in het voorbeeld hierboven.
Bereken exact.
De grafiek van heeft een knik in . Je kunt niet spreken van een raaklijn aan de grafiek in dat punt; wel van een raaklijn aan de 'linkertak' en een raaklijn aan de 'rechtertak' van de grafiek.
Geef van beide raaklijnen een vergelijking.
Bereken de volgende integralen exact.
|
|
|
|
Gegeven zijn de functies en met en .
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van met die van exact en teken de grafieken in één figuur.
De grafieken van en sluiten een driehoek in.
Bereken de oppervlakte van die driehoek exact.
Teken in een andere figuur de grafiek van .
Bereken de oppervlakte van de driehoek ingesloten door de grafiek van en de -as.
Dat de oppervlakte van de twee driehoeken die je in opgave 25 hebt berekend, gelijk zijn, zou je op het eerste gezicht niet zeggen. Dit is een gevolg van de volgende stelling.
Stelling 5
Veronderstel dat de grafiek van op het hele interval
boven de grafiek van ligt. Dan is de oppervlakte tussen de grafieken van en op
:
.
De stelling kan als volgt bewezen worden.
Eerst bewijs je:
als en functies zijn op
, dan
.
Want, neem aan dat een primitieve van is en
van .
Dan is een primitieve van
, dus:
.
We schuiven de grafieken van en
tegenlijk zo ver omhoog dat ze beide boven de
-as komen te liggen op het interval , zeg over
eenheden. Je krijgt de grafieken van de functies
en ,
zie de figuur hiernaast.
Neem aan dat is een primitieve van
en van .
Dan is de oppervlakte tussen de grafieken van en hetzelfde
als de oppervlakte tussen de grafieken van en .
Die laatste oppervlakte is
.
Uit stelling 5 volgt dat op een interval de gesigneerde oppervlakte tussen de grafieken van en is, zie figuur.
In figuur 1 staan de grafieken van en met en . is het punt .
Bereken exact de oppervlakte van het gebied tussen en begrensd door de grafieken van de twee functies.
In figuur 2 rechts staan de grafieken van en
met
en
.
is het punt .
Bereken langs algebraïsche weg de oppervlakte van het gebied tussen en begrensd door de grafieken van de twee functies. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
Gegeven zijn de functies en
op , met
en
.
Hoe kun je aan de formules zien dat de grafiek van boven (of op) die van ligt?
Bereken de extremen van en langs algebraïsche weg.
Bereken de oppervlakte van het gebied tussen de grafieken van en op exact.
Controleer je antwoord op c met de GR.
Gegeven zijn de functies en
met
en
.
De grafieken van de functies sluiten twee vlakdelen in.
Bereken de linker- en rechtergrens van elk van de twee gebieden.
Bereken de totale oppervlakte van de twee gebieden.
Gegeven is de functie met op het interval .
Teken de grafiek van op de GR.
Toon zonder GR exact aan dat maximaal is voor .
Voor de functie geldt: .
Dit volgt rechtstreeks uit de definitie van de integraal.
In figuur 1 hieronder zijn de grafieken getekend van de functies en gegeven door en en .
Verder zijn de lijnen getekend met
vergelijkingen en , met .
In de figuur zijn twee vlakdelen gekleurd. Het ene gekleurde vlakdeel wordt
begrensd door de grafieken van en
en de lijn met vergelijking .
Het andere gekleurde vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van ,
de -as en de lijnen met vergelijkingen
en .
Bereken exact voor welke waarde van deze vlakdelen gelijke oppervlakte hebben.
Gegeven is het punt . Bij elk punt
op de grafiek van kan het
midden van lijnstuk worden bepaald. Dat midden noemen we .
Verder is de functie gegeven door
.
In figuur 2 zijn de grafieken van en getekend.
Ook is voor een punt het lijnstuk met midden getekend.
Er geldt: voor elk punt
op de grafiek van ligt het punt op de grafiek
van .
Bewijs dit.