12.5 Inhoud en integraal >

Hoofdstukken > De integraal

In paragraaf 2 heb je gezien hoe je de oppervlakte onder de grafiek van een (positieve) functie $f$ op een interval $[a, b]$ kunt berekenen met een integraal. Dat ging zó.
Gegeven is een positieve stijgende functie $f$ . De oppervlakte onder de grafiek van $f$ op het interval $[a, x]$ noemen we $O (x)$ , zie de figuur hieronder links.

In de figuur rechts is de oppervlakte onder de grafiek van $f$ op het interval $[c, c + Δ x]$ gekleurd. Deze is $O (c + Δ x) - O (c)$ .
Er geldt: $f (c) \cdot Δ x \leq O (c + Δ x) - O (c) \leq f (c + Δ x) \cdot Δ x$ .
Door $Δ x$ naar $0$ te laten naderen, zie je dat $O^{'} (c) = f (c)$ , met andere woorden, dat de functie $O$ een primitieve van de functie $f$ is.
Om de inhoud van ruimtelijke figuren (wij noemen dat lichamen) te bepalen, gaan we op soortgelijke wijze te werk.

We bekijken een piramide met hoogte $6$ .

De top van de piramide noemen we $T$ . Het grondvlak van de piramide heeft oppervlakte $45$ . Elk vlak evenwijdig aan het grondvlak doorsnijdt de piramide volgens een vlak dat gelijkvormig met het grondvlak is. De oppervlakte van de doorsnede op afstand $x$ van $T$ noemen we $O (x)$ .

Laat zien dat $O (4) = 20$ .

Toon aan: $O (x) = 1 \frac{1}{4} x^{2}$ .

De inhoud van de piramide 'boven' de doorsnede op hoogte $x$ noemen we $V (x)$ .
We nemen (zoals in de figuur) $Δ x$ positief.

Waarom geldt:
$O (x) \cdot Δ x \leq V (x + Δ x) - V (x) \leq O (x + Δ x) \cdot Δ x$ ?

Als $Δ x \to 0$ , vind je uit bovenstaande ongelijkheid dat $V^{'} (x) = O (x)$ .

Dus $V (x) = \frac{5}{12} x^{3} + c$ , voor een of ander getal $c$ .

Waarom geldt: $c = 0$ ?

Bereken nu de exacte inhoud van de piramide.

Wat we in de vorige opgave gedaan hebben, kan algemener.
In de figuur hieronder links is een lichaam $L$ getekend.
Er is een 'getallenlijn' (as) door $L$ gestoken. Als $p > q$ , dan ligt $p$ 'boven' $q$ op die getallenlijn.
De onderkant van $L$ wordt begrensd door een vlak op hoogte $a$ en de bovenkant op hoogte $b$ , beide vlakken loodrecht op de as. De oppervlakte van de doorsnede van $L$ met het vlak op hoogte $x$ , noemen we $O (x)$ , zie de figuur hieronder links.

De inhoud van $L$ 'onder' het vlak op hoogte $x$ noemen we $V (x)$ .
Dan is $V (x + Δ x) - V (x)$ de inhoud van het stuk van $L$ tussen de vlakken op hoogte $x$ en $x + Δ x$ , zie de figuur hierboven rechts.
De inhoud van dat stuk is ongeveer $O (x) \cdot Δ x$ , en dat klopt beter naarmate $Δ x$ dichter bij $0$ komt.
Dus $\lim_{Δ x \to 0} \frac{V (x + Δ x) - V (x)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{O (x) \cdot Δ x}{Δ x} = O (x)$ .
Dus $V (x)$ is een primitieve functie van $O (x)$ , dus
$V (x) + c = \int_{a}^{x} O (x) d x$ , voor een of ander getal $c$ .
Uit $V (a) = 0$ , volgt $c = ‐ V (a) = 0$ .

Door een lichaam $L$ wordt een getallenlijn (as) gestoken. $L$ wordt begrensd door vlakken op hoogte $a$ en $b$ loodrecht op de as, met $a < b$ .
De oppervlakte van het lichaam op hoogte $x$ noemen we $O (x)$ . Dan is de inhoud van $L$ $= \int_{a}^{b} O (x) d x$ .

We passen de stelling toe om de inhoud van een bol met straal $R$ te berekenen. De oppervlakte van een cirkel met straal $r$ is gelijk aan $π r^{2}$ .
We steken een as door de bol. We doen dat zó, dat de onderkant van de bol op hoogte $‐ R$ en de bovenkant op hoogte $R$ ligt. De oppervlakte op hoogte $x$ noemen we $O (x)$ .

Toon aan: $O (x) = π (R^{2} - x^{2})$ .

(hint)

Bekijk de figuur.

hint bij opgave 46

Dus de inhoud van de bol is $\int_{‐ R}^{R} π (R^{2} - x^{2}) d x$ .

Bereken de inhoud van de bol exact.

De inhoud van een bol met straal $R$ is $1 \frac{1}{3} π R^{3}$ .

figuur 1

$f$ is de functie met $f (x) = \sqrt{2 x}$ .
Het vlakdeel onder de grafiek van $f$ op het interval $[0,8]$ wordt om de $x$ -as gewenteld. Zo ontstaat een zogenaamd omwentelingslichaam, zie figuur 1. Dat lichaam noemen we $L$ . We gaan de inhoud van $L$ berekenen. We passen de stelling toe en gebruiken als as de $x$ -as.
De oppervlakte van de doorsnede van $L$ met het vlak loodrecht op de $x$ -as door het punt met eerste coördinaat $x$ , noemen we $O (x)$ .

Geef een formule voor $O (x)$ .

Bereken de inhoud van $L$ exact.

Je kunt het vlakdeel ingesloten door de $y$ -as de lijn $y = 4$ en de grafiek van $f$ om de $y$ -as wentelen. Dan krijg je het lichaam dat in figuur 2 getekend is. De oppervlakte van de doorsnede op hoogte $y$ noemen we $O (y)$ .

figuur 2

Toon aan: $O (y) =$ $\frac{1}{4} π y^{4}$ .

Bereken de inhoud van het tweede omwentelingslichaam exact.

Het omwentelingslichaam in de figuur krijg je door het vlakdeel ingesloten door de $x$ -as, de $y$ -as en de grafiek van $f$ met $f (x) = \sqrt{2 - x}$ te wentelen om de $y$ -as. De oppervlakte van het lichaam op hoogte $y$ noemen we $O (y)$ .

Geef een formule voor $O (y)$ , uitgedrukt in $y$ .

Bereken de inhoud van het lichaam exact.

De inhoud van een omwentelingslichaam

Stelling
$f$ is een functie op het interval $[a, b]$ .
Als je het gebied tussen de grafiek van $f$ en de $x$ -as om de $x$ -as wentelt (figuur links), krijg je een lichaam met inhoud: $\int_{a}^{b} π y^{2} d x$ .
Als je het gebied tussen de grafiek van $f$ en de $y$ -as om de $y$ -as wentelt (figuur rechts), krijg je een lichaam met inhoud: $\int_{p}^{q} π x^{2} d y$ .
Hierbij is:

$p = f (a)$ en $q = f (b)$ als $f$ stijgend is,
$p = f (b)$ en $q = f (a)$ als $f$ dalend is.

Dat je de grenzen bij een dalende functie moet verwisselen (dus $p = f (b)$ en $q = f (a)$ ), heb je in opgave 48 gezien.

Opmerking:

Bij wenteling om de $x$ -as, is de variabele $x$ . Om $\int_{a}^{b} π y^{2} d x$ te berekenen, moet je $y^{2}$ in $x$ uitdrukken.
Bij wenteling om de $y$ -as, is de variabele $y$ . Om $\int_{p}^{q} π x^{2} d y$ te berekenen, moet je $x^{2}$ in $y$ uitdrukken.
De $d x$ respectievelijk $d y$ in in $\int \dots d x$ respectievelijk $\int \dots d y$ geeft aan dat $x$ respectievelijk $y$ de variabele is.

Voorbeeld:

Veronderstel dat $y = \sqrt{x - 2}$ .
Dan $\int_{2}^{4} x d x = {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{2}^{4} = 6$ ,
$\int_{2}^{4} y d x = \int_{2}^{4} \sqrt{x - 2} d x = {[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{1 \frac{1}{2}}]}_{2}^{4} = 1 \frac{1}{3} \sqrt{2}$ ,
$\int_{2}^{4} x d y = \int_{2}^{4} (y^{2} + 2) d y = {[\frac{1}{3} y^{3} + 2 y]}_{2}^{4} = 22 \frac{2}{3}$ en
$\int_{2}^{4} y d y = {[\frac{1}{2} y^{2}]}_{2}^{4} = 6$ .

Gegeven is $y = x^{2}$ .

Bereken exact: $\int_{0}^{1} x d x$ , $\int_{0}^{1} x d y$ , $\int_{0}^{1} y d x$ en $\int_{0}^{1} y d y$ .

Gegeven is de functie $y = e^{x}$ op het interval $[1,4]$ .

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het vlakdeel onder de grafiek om de $x$ -as te wentelen.

We bekijken de functie $y = x \sqrt{x}$ op $[0,4]$ . Het gebied tussen de $x$ -as en de grafiek van de functie wordt om de $x$ -as gewenteld.

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam exact.

Het gebied tussen de $y$ -as en de grafiek wordt om de
$y$ -as gewenteld. De inhoud van het omwentelingslichaam is $\int_{0}^{8} π x^{2} d y$ .

Bereken deze integraal exact.

(hint)

Om deze integraal exact te berekenen, moet je

π x^{2}

schrijven als functie van

y

Gegeven is de functie $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .
De grafiek van de functie heeft twee verticale asymptoten.

Welke?

Het deel van de grafiek onder de lijn $y = \sqrt{2}$ wordt om de $y$ -as gewenteld.

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat hierdoor ontstaat exact.

(hint)

Schrijf

y^{2}

als functie van

x

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = 2 - \sqrt[3]{x}$ .
Het vlakdeel ingesloten door de $x$ -as, de $y$ -as en de grafiek wordt om de $y$ -as gewenteld.

Noem $f (x) = y$ en laat zien dat $π x^{2} = π {(2 - y)}^{6}$ .

Ga na dat de inhoud van het omwentelingslichaam gelijk is aan $\int_{0}^{2} π {(2 - y)}^{6} d y$ .

Bereken $\int_{0}^{2} π {(2 - y)}^{6} d y$ exact.

Opmerking:

Let in opgave 53b dus op de volgorde van de grenzen: onder staat het kleinste getal.

In de figuur hieronder zijn drie vlakdelen getekend die om de $y$ -as gewenteld worden. Het linker vlakdeel is een trapezium met hoekpunten $O (0,0)$ , $A (2,0)$ , $B (1,4)$ en $C (0,4)$ . Het vlakdeel in het midden is een driehoek met hoekpunten $A$ , $B$ en $D (1,0)$ . Het vlakdeel rechts is een driehoek met hoekpunten $O$ , $C$ en $D$ .

Beschrijf de omwentelingslichamen.

Bereken de inhoud van elk van de drie omwentelingslichamen exact met integralen.

De inhoud van een piramide-achtige figuur
In figuur 1 staat een driezijdige piramide. De hoogte van de piramide is $10$ en het grondvlak heeft oppervlakte $12$ .

figuur 1

figuur 2

figuur 3

Wat is de oppervlakte van de doorsnede op $5$ eenheden van de top? En op $3$ eenheden van de top? En op $x$ eenheden van de top?

Bereken de inhoud van de piramide exact met een integraal.

Neem nu een willekeurige piramide. De oppervlakte van het grondvlak noemen we $G$ en de hoogte $h$ .

Toon aan dat oppervlakte van de doorsnede op $x$ eenheden van de top $\frac{x^{2}}{h^{2}} \cdot G$ is.

Laat met behulp van een integraal zien dat de inhoud van de piramide $\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ is.

Bekijk figuur 2 hierboven. Daar wordt een punt met rechte verbindingslijntjes verbonden met de randen van een vlak gebied. De figuur die zo ontstaat noemen we piramide-achtig. Een voorbeeld van een piramide-achtige figuur is bijvoorbeeld een kegel. Noem de hoogte van de piramide-achtige figuur $h$ en de oppervlakte van het grondvlak $G$ . Omdat de oppervlakte van de doorsnede op $x$ eenheden van de top ook $\frac{x^{2}}{h^{2}} \cdot G$ is, geldt de formule uit d ook voor deze figuur.

Welke formule vind je zo voor de inhoud van een kegel met als grondvlak een cirkel met straal $r$ en hoogte $h$ ?

We controleren de formule uit het vorige onderdeel door het lijnstuk $k$ te wentelen om de $x$ -as, zie figuur 3 hierboven. Het omwentelingslichaam is een kegel met hoogte $4$ en straal van de grondcirkel $2$ .

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam exact met een integraal en controleer het resultaat met de formule uit het voorgaande onderdeel.

De driehoek $A B C$ in de figuur is rechthoekig in $C$ . In de meetkunde hebben we afgeproken:
$\sin (α) = \frac{a}{c}$ , $\cos (α) = \frac{b}{c}$ en $\tan (α) = \frac{a}{b}$ .
Dus $\tan (α) = \frac{\sin (α)}{\cos (α)}$ (ga dat na).
Daarom spreken we voor elke $x$ waarvoor $\cos (x) \neq 0$ het volgende af.

Definitie
$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Gegeven is de functie $f : x \to \tan (x)$ .

Toon aan $f^{'} (x) = \tan^{2} (x) + 1$ .

Het vlakdeel onder de grafiek van $f$ op het interval $[0, \frac{1}{4} π]$ wordt om de $x$ -as gewenteld.

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam exact.

(hint)

Uit onderdeel a volgt dat

F (x) = \tan (x) - \dots

een primitieve is.

Gegeven zijn de functies $f$ en $g$ met
$f (x) = 4 - x^{2}$ en $g (x) = 3 - 1 \frac{1}{2} x^{2}$ .
Het gebied tussen de grafieken en de $x$ -as wordt om de $y$ -as gewenteld. Je krijgt een soort dikwandige 'stolp', zie figuur.

Bereken de inhoud van de stolp exact.

De functie $C (x) = 2500 \sqrt{x} - 70 x$ geeft de oppervlakte van de waterspiegel (in cm²) in een badkuip op een hoogte van $x$ cm boven de bodem (zie figuur hiernaast).

Onderzoek of de badkuip $500$ liter water kan bevatten als je weet dat de hoogte van deze badkuip boven de bodem minstens $50$ cm is.

De inhoud van een bolsegment
Snij een bol in tweeën volgens een vlakke snede. Het kleinste van de twee delen noem je een bolsegment.
We nemen een bol met straal $5$ .
De doorsnede van de bol op $x$ eenheden van het middelpunt heeft oppervlakte $π (25 - x^{2})$ .

Toon dat aan.

Bereken de inhoud van een segment met hoogte $2$ .

We nemen een bolsegment van hoogte $h$ van een bol met straal $R$ .
De inhoud van het segment is dan: $\int_{R - h}^{R} π (R^{2} - x^{2}) d x$ .

Bereken deze integraal exact.

Het gemiddelde van een functie
Een auto trekt op. Zijn snelheid is $v (t) = \sqrt{t + 1} - 1$ km/min (en $t$ in min.). Hiernaast staat de grafiek.

Bereken exact de afgelegde afstand op het tijdsinterval $[0,3]$ .

Hoe vind je met het antwoord op a de gemiddelde snelheid van de auto op het tijdsinterval $[0,3]$ ?

De gemiddelde functiewaarde van een functie $f$ op het interval $[a, b]$ is: $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t$ .

Gegeven is de functie $f : x \to 2 x + 1$ .

Bereken met bovenstaande definitie de gemiddelde functiewaarde van $f$ op het interval $[a, b]$ .
Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Toon aan dat het gemiddelde van de functie $y = x^{2}$ op het interval $[a, b]$ gelijk is aan $\frac{1}{3} (a^{2} + a b + b^{2})$ .