De doorsnede op afstand $4$ van de top is gelijkvormig met het grondvlak. Je kunt de doorsnede krijgen door het grondvlak vanuit $T$ met de factor $f=\frac{2}{3}$ te vermenigvuldigen, dus $O\left(4\right)=f^2\cdot 45=20$.

De doorsnede op afstand $x$ van de top krijg je door het grondvlak vanuit de top met $\frac{x}{6}$ te vermenigvuldigen.
Dus $O\left(x\right)={\left(\frac{x}{6}\right)}^2\cdot 45=1\frac{1}{4}{x}^2$.

$V(x+\Delta x)-V\left(x\right)$ is de inhoud van het stuk van de piramide tussen de doorsneden op afstand $x$ en afstand $x+\Delta x$ van de top. Dit stuk ligt 'binnen'het prisma met grondvlak $O(x+\Delta x)$ en hoogte $\Delta x$ en bevat het prisma met grondvlak $O\left(x\right)$ en hoogte $\Delta x$.

Omdat $V\left(0\right)=0$.

De inhoud is $V\left(6\right)=\frac{5}{12}\cdot 6^3=90$.

In de figuur is de doorsnede van de bol met een vlak door de as getekend. $O\left(x\right)$ is de oppervlakte van een cirkel met straal $r$ zie figuur. Er geldt: $r=\sqrt{R^2-x^2}$.

${\displaystyle \underset{\mathrm{‐}R}{\overset{R}{\int }}\text{π}\left(R^2-x^2\right)}\text{d}x=$ ${\left[\text{π}\left(R^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3\right)\right]}_{\mathrm{‐}R}^R=1\frac{1}{3}\text{π}{R}^3$.

$O\left(x\right)$ is de oppervlakte van een cirkel met straal $\sqrt{2x}$, dus $O\left(x\right)=2\text{π}x$.

De inhoud is ${\displaystyle \underset{0}{\overset{8}{\int }}2\text{π}x\text{d}x}=$ ${\left[\text{π}{x}^2\right]}_0^8=64\text{π}$.

De straal op hoogte $y$ is $x$, waarbij $y=\sqrt{2x}$, dus $O\left(y\right)=\text{π}{x}^2=\frac{1}{4}\text{π}{y}^4$.

Dat is ${\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{4}}\text{π}{y}^4\text{d}y=$ ${\left[\frac{1}{20}{\text{π}y}^5\right]}_0^4=51\frac{1}{5}\text{π}$.

De straal op hoogte $y$ is $x$ waarbij $y=\sqrt{2-x}$. Dus $x=2-y^2$ en
$O\left(y\right)=\text{π}{x}^2=\text{π}{\left(2-y^2\right)}^2$.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\sqrt{2}}{\int }}{\text{π}\left(2-y^2\right)}^2}\text{d}y=$ ${\left[\text{π}\left(4y-\frac{4}{3}{y}^3+\frac{1}{5}{y}^5\right)\right]}_0^{\sqrt{2}}=2\frac{2}{15}\text{π}\sqrt{2}$.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\text{π}\cdot x^3\text{d}x}={\left[\frac{1}{4}\text{π}\cdot x^4\right]}_0^4=64\text{π}$

$x=y^{\frac{2}{3}}$, dus ${\displaystyle \underset{0}{\overset{8}{\int }}\text{π}\cdot x^2}\text{d}y={\displaystyle \underset{0}{\overset{8}{\int }}\text{π}\cdot y^{\frac{4}{3}}}\text{d}y={\left[\frac{3}{7}\text{π}\cdot y^{\frac{7}{3}}\right]}_0^8=54\frac{6}{7}\text{π}$.

$x=\mathrm{‐}1$ en $x=1$

Schrijf $y^2$ als functie van $x$:
$y^2=\frac{1}{1-x^2}\iff 1-x^2=\frac{1}{y^2}\iff x^2=1-\frac{1}{y^2}$.
De inhoud is ${\displaystyle \underset{1}{\overset{\sqrt{2}}{\int }}\text{π}\cdot x^2\text{d}y}={\displaystyle \underset{1}{\overset{\sqrt{2}}{\int }}\text{π}\cdot \left(1-\frac{1}{y^2}\right)\text{d}y}={\left[\text{π}\cdot \left(y+\frac{1}{y}\right)\right]}_1^{\sqrt{2}}=\text{π}\left(\text{1}\frac{1}{2}\sqrt{2}-2\right)$.

$y=2-\sqrt[3]{x}\iff \sqrt[3]{x}=2-y\iff x={\left(2-y\right)}^3$, dus $\text{π}{x}^2=\text{π}{\left(2-y\right)}^6$.

De grafiek snijdt de $y$-as op hoogte $2$ en de $x$-as op hoogte $0$. Je hebt een dalende functie.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{2}{\int }}\text{π}\cdot {\left(2-y\right)}^6\text{d}y}={\left[\mathrm{‐}\frac{1}{7}\text{π}\cdot {\left(2-y\right)}^7\right]}_0^2=18\frac{2}{7}\text{π}$

Een afgeknotte kegel, een kegel cilindrisch uitgehold en een kegel.

Links: lijn $AB$ heeft vergelijking $y=\mathrm{‐}4x+8\iff x=2-\frac{1}{4}y$, dus de inhoud is ${\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\text{π}{\left(2-\frac{1}{4}y\right)}^2}\text{d}y=9\frac{1}{3}\text{π}$;
Midden: $9\frac{1}{3}\text{π}-{\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\text{π}\cdot 1^2}\text{d}y=5\frac{1}{3}\text{π}$;
Rechts: lijn $CD$ heeft vergelijking $y=\mathrm{‐}4x+4\iff x=1-\frac{1}{4}y$, dus de inhoud is ${\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\text{π}{\left(1-\frac{1}{4}y\right)}^2}\text{d}y=1\frac{1}{3}\text{π}$.

$3$ ; $\mathrm{1,08}$ ; $\frac{x^2}{100}\cdot 12$,

${\displaystyle \underset{0}{\overset{10}{\int }}\frac{x^2}{100}}\cdot 12\text{d}x={\left[\frac{x^3}{300}\cdot 12\right]}_0^{10}=40$

De doorsnede op $x$ eenheden van de top is gelijkvormig met het grondvlak, de verkleiningsfactor is $\frac{x}{h}$, de oppervlakte is dus $\frac{x^2}{h^2}\cdot G$.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}\frac{x^2}{h^2}}\cdot G\text{d}x={\left[\frac{x^3}{3h^2}\cdot G\right]}_0^h=$ $\frac{1}{3}h\cdot G$

$\frac{1}{3}\cdot \text{π}{r}^2\cdot h$

$k$ heeft vergelijking $y=\frac{1}{2}x$.
De inhoud is dus: ${\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{4}\text{π}{x}^2}\text{d}x={\left[\frac{1}{12}\text{π}{x}^3\right]}_0^4=5\frac{1}{3}\text{π}$.
Dit vind je ook met de formule uit d.

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\cos }^2\left(x\right)+{\sin }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}={\tan }^2\left(x\right)+1$

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{1}{4}\text{π}}{\int }}\text{π}\cdot {\tan }^2\left(x\right)}\text{d}x=$ ${\left[\text{π}\cdot \left(\tan \left(x\right)-x\right)\right]}_0^{\frac{1}{4}\text{π}}=\text{π}-\frac{1}{4}{\text{π}}^2$.

De doorsnede is een cirkel met straal $r=\sqrt{25-x^2}$, zie figuur.

${\displaystyle \underset{3}{\overset{5}{\int }}\text{π}\left(25-x^2\right)}\text{d}x={\left[\text{π}\left(25x-\frac{1}{3}{x}^3\right)\right]}_3^5=17\frac{1}{3}\text{π}$

${\displaystyle \underset{R-h}{\overset{R}{\int }}\text{π}\left(R^2-x^2\right)}\text{d}x={\left[\text{π}\left(R^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3\right)\right]}_{R-h}^R=$ $\text{π}{h}^2\left(R-\frac{1}{3}h\right)$

${\displaystyle \underset{0}{\overset{3}{\int }}v\left(t\right)}\text{d}t={\left[\frac{2}{3}{\left(t+1\right)}^{\mathrm{1,5}}-t\right]}_0^3=1\frac{2}{3}$ km/min.

Delen door de lengte van het tijdsinterval, dus door $3$.

${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)}\text{d}t={\left[t^2+t\right]}_a^b=\left(b^2-a^2+b-a\right)$, het gemiddelde is dus $b+a+1$.

${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}y}\text{d}x={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_a^b=\frac{1}{3}\left(b^3-a^3\right)$ en $\frac{1}{3}\left(b-a\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=\frac{1}{3}\left(b^3-a^3\right)$ (werk de haakjes maar weg).