Bereken de oppervlakte het vlakdeel onder de grafiek van de functie op .
Geef van de volgende functies een primitieve .
|
|
|
|
Bepaal aan de hand van grafieken de volgende integralen:
en .
De functie met heeft als primitieve de functie met .
Toon dat aan.
Wat is het domein van en wat het domein van ?
De lijn en de hyperbool sluiten een gebied in, zie figuur.
Bereken de oppervlakte van dat gebied exact.
Gegeven is de functie .
Een functie in de vorm voor zekere getallen
en is een primitieve van .
Bereken en exact.
De lijn , de -as en de grafiek van de functie sluiten een gebied in, zie figuur.
Bereken de oppervlakte van dit gebied exact.
Gegeven zijn de functies en
met en
.
Geef een vergelijking van de asymptoot van de grafiek van en van de grafiek van .
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van met de grafiek van exact.
In paragraaf 4 hebben we gezien: de functie met
heeft als afgeleide
.
Bepaal een primitieve van en van .
In de figuur is het gebied ingesloten door de -as en de grafieken van en gekleurd.
Bereken de oppervlakte van dit gebied exact.
Een lijn evenwijdig aan de -as snijdt de grafiek van in en de grafiek van in zó, dat .
Bereken de eerste coördinaat van exact.
De functie wordt gegeven door . De grafiek van is symmetrisch ten opzichte van de -as. Gegeven is , met . In de figuur is het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van , de -as en de lijnen met vergelijking en gekleurd.
De oppervlakte van dit gebied noemen we .
Een primitieve van wordt gegeven door
.
Er geldt: .
Bewijs met behulp van de gegeven primitieve functie dat inderdaad geldt: .
Als onbegrensd toeneemt, nadert tot een limietwaarde .
Er is een waarde van waarvoor
de helft is van
.
Bereken exact deze waarde van .
Gegeven is de functie met
.
Op de -as ligt het punt , met
.
Het vierkant met zijden en wordt door de
grafiek van in twee stukken verdeeld.
Het stuk met het punt , in de figuur gekleurd, heeft oppervlakte .
Bereken exact.
Bereken exact.
Gegeven is de functie met .
Bereken de nulpunten van exact.
Het vlakdeel ingesloten door de -as en de grafiek van is in de figuur gekleurd.
Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel exact.
De grafiek van heeft een buigpunt.
Bereken de coördinaten van dat punt exact.
Lijnstuk ligt in een horizontaal vlak. Lijnstuk is evenwijdig aan dat vlak, op afstand . Lijnstuk heeft lengte en lijnstuk heeft lengte . De lijnstukken en staan loodrecht op elkaar. en zijn de middens van en . staat loodrecht op en op . Zie figuur. Door de punten en te verbinden met de punten en ontstaat het viervlak . In het viervlak brengen we horizontale doorsneden aan. Omdat en loodrecht op elkaar staan, zijn de doorsneden rechthoeken.
In de figuur is als voorbeeld op twee hoogten de doorsnede getekend. (De hoogte wordt gemeten langs het lijnstuk .) In de laatste figuur is zo’n doorsnede op hoogte boven het horizontale vlak getekend, met . Met behulp van driehoek kan de lengte van de zijde van de rechthoek die in vlak ligt, in worden uitgedrukt. De lengte van deze zijde is gelijk aan .
Toon dit aan.
De lengte van de andere zijde is gelijk aan .
Onderzoek door een exacte berekening of de doorsnede met de grootste oppervlakte een vierkant is.
Omdat we de oppervlakte van de doorsnede op elke hoogte kennen, kunnen we met een integraal de inhoud van het viervlak berekenen.
Bereken exact de inhoud van het viervlak .
De functie is gegeven door
.
Van vierkant liggen
en
op de -as en het hoekpunt op de grafiek van .
Zie figuur 1.
De -coördinaten van
en noemen we
respectievelijk en , met .
De coördinaten van zijn dan .
Voor ontstaat het vierkant met zijde .
is het deel van dit vierkant dat zich boven de grafiek bevindt.
Vlakdeel wordt gewenteld om de -as.
Bereken exact de inhoud van het bijbehorende omwentelingslichaam.
In figuur 2 zijn enkele mogelijke situaties voor vierkant getekend.
Bij de getekende situaties is de afstand van punt tot de oorsprong
aangegeven. Deze afstand hangt af van , de
-coördinaat van .
Als vanaf 0 toeneemt, neemt eerst af en vervolgens weer toe.
Er is dus een waarde van waarvoor minimaal is.
Bereken exact de minimale waarde van .
Hoe kun die gemiddelde helling ook anders uitrekenen?
We bekijken de functie met
op het interval .
In figuur 2 staat de grafiek. De helling van de grafiek is in elk punt anders. In
het punt met eerste coördinaat
is de helling .
We verdelen het interval in stukken van lengte .
Op deze stukken is de helling nagenoeg constant
.
is een benadering voor de helling op , die beter is naarmate de verdeling fijner is. De
gemiddelde helling is dus: .
Bereken de gemiddelde helling exact.
Had je die ook anders kunnen berekenen?
In het algemeen is de gemiddelde helling van een (differentieerbare) functie op het interval : .
Laat zien dat dit gelijk is aan:
Bekijk in figuur 1 het vlakdeel .
De -coördinaat van het zwaartepunt van kun je als volgt berekenen: . Hierbij is de bij horende hoogte van , voor . De berekening van verloopt op een soortgelijke manier. In de volgende vragen zijn de vlakdelen symmetrisch in de lijn . Dus geldt . De hoekpunten van driehoek hieronder zijn , en .
Toon met de formule hierboven aan dat het zwaartepunt van driehoek in figuur 2 het punt is.
Het vlakdeel figuur 3 wordt begrensd door de -as, de -as, de lijn , de lijn en de hyperbool met vergelijking .
Bereken exact de -coördinaat van het zwaartepunt van dit vlakdeel.
We gaan op zoek naar het zwaartepunt van een homogene halve cirkel. De straal van de cirkel is en het middelpunt . Het zwaartepunt ligt op de symmetrieas. We benaderen de halve cirkel met een stapel rechthoeken met hoogte . De halve cirkel snijdt de verticale zijden van de rechthoeken middendoor. De gemiddelde hoogte van een rechthoek noemen we .
Geef een formule voor het moment van de rechthoek op hoogte ten opzichte van .
Een benadering van het moment van de halve cirkel ten opzichte van is . Deze benadering is beter naarmate dichter bij ligt. Dus het zwaartepunt heeft afstand tot .
Bereken deze integraal exact en bepaal hoe hoog het zwaartepunt boven ligt.
Van een cirkelschijf met middelpunt en straal is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie die gegeven is door op het domein . Zie het plaatje links.
We wentelen het kwart van de cirkelschijf om de -as.
Het omwentelingslichaam dat dan ontstaat is een halve bol. Zie het plaatje rechts.
Het zwaartepunt van de halve bol ligt op de positieve -as.
Voor de -coördinaat van dit zwaartepunt geldt:
, waarbij
en is de inhoud van de halve bol.
De inhoud van een bol met straal is gelijk aan
.
Bereken exact.
De oppervlakte van een bol
We bekijken een bol met straal .
Hiernaast zie je een verticale doorsnede door het middelpunt van de bol. De
hoogte boven het vlak van de evenaar noemen we . Bij
elke hoogte hoort een hoek (de breedtegraad).
Bepaal het verband tussen , en . Druk ook de straal van de breedtecirkel in en uit.
We veranderen een beetje met . De oppervlakte van de bol tussen de hoogten bij en is, omdat klein is, goed te benaderen door de oppervlakte van de zijkant van een cilinder met hoogte en straal .
Druk deze oppervlakte in , en uit.
Laat zien dat de oppervlakte van de bol tussen de breedtegraden
en berekend kan worden met:
.
Laat de hoogte bij en de hoogte bij zijn.
Laat zien dat de oppervlakte van de bol tussen de hoogten en gelijk is aan: .
Wat is dus de oppervlakte van een bol met straal ?
Aan de formule uit d zie je dat de oppervlakte van een bolschil alleen van het hoogteverschil afhangt!