1

a

$\sqrt{{(7 - 3)}^{2} + {(5 - 2)}^{2}} = \sqrt{25} = 5$

b

$x - 3$ , $5 - y$ .

c

${(x - 3)}^{2} + {(5 - y)}^{2} = 25$

d

$y - b$ en $b - y$ zijn tegengesteld, dus ze hebben hetzelfde kwadraat.

2

a

${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 13$

b

${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$

c

${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ ,
${(x - 5)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ ,
${(x + 5)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ ,
${(x + 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$

3

$(‐ 1, ‐ 8)$ , $(1, ‐ 8)$ , $(‐ 1, 8)$ , $(1, 8)$ , $(‐ 8, ‐ 1)$ , $(8, ‐ 1)$ , $(‐ 8, 1)$ , $(8, 1)$ , $(‐ 4, ‐ 7)$ , $(4, ‐ 7)$ , $(‐ 4, 7)$ , $(4, 7)$ , $(‐ 7, ‐ 4)$ , $(7, ‐ 4)$ , $(‐ 7, 4)$ , $(7, 4)$ ,

4

a

-

b

Als je de haakjes wegwerkt in de vorm ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(3 \sqrt{3})}^{2}$ , krijg je $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y = 14$ .

c

$x^{2} + y^{2} - 13 x - 5 y = 0 \Leftrightarrow {(x - 6 \frac{1}{2})}^{2} - 42 \frac{1}{4} + {(y - 2 \frac{1}{2})}^{2} - 6 \frac{1}{4} = 0$ , dus middelpunt $(6 \frac{1}{2},2 \frac{1}{2})$ en straal $\sqrt{48 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{194}$ ,
$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + 6 x - 4 y = 14 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 12 x - 8 y = 28$
$\Leftrightarrow {(x + 6)}^{2} - 36 + {(y - 4)}^{2} - 16 = 28$ middelpunt $(‐ 6,4)$ en straal $4 \sqrt{5}$ ,
${(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2} = 16 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} = 16 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 8$ , dus middelpunt $(0,0)$ en straal $2 \sqrt{2}$ .

5

a

Middelpunt $(a,2 a)$ en straal $a \sqrt{5}$ als $a > 0$ en $‐ a \sqrt{5}$ als $a < 0$ en .

b

Voor elke waarde van $a$ voldoet $(a,2 a)$ aan de vergelijking $y = 2 x$ , het middelpunt ligt dus op de lijn $y = 2 x$ .

c

Als $a = 0$ , krijg je alleen de oorsprong die aan de vergelijking voldoet en dat is geen cirkel..

6

Een vergelijking van de middelloodlijn van $O A$ is: $x = 2$ en een vergelijking van de middelloodlijn van $O B$ is: $2 x + y = 7 \frac{1}{2}$ .
Het snijpunt van deze twee lijnen: $(2,3 \frac{1}{2})$ is het middelpunt van de cirkel.
Een vergelijking van de cirkel is: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3 \frac{1}{2})}^{2} = 16 \frac{1}{4}$ .

7

a

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 10 y = 0 \Leftrightarrow {(x - a)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = a^{2} + 25$ , dus het middelpunt is $(a,5)$ en de straaal is $\sqrt{a^{2} + 25}$ .

b

Als je voor $x = 0$ neemt, hangt de $y$ -waarde van het punt op de cirkel niet van $a$ af. De punten met $x$ -coördinaat $0$ op de cirkel zijn $O (0,0)$ en het punt $(0,10)$ .
Een andere manier is de volgende. Je bepaalt de twee snijpunten van twee cirkels die je bij verschillende waarden van $a$ krijgt en laat zien dat die op alle cirkels liggen.
Redenatie: Alle middelpunten liggen op $y = 5$ en $(0,0)$ ligt op alle cirkels, dus ook het spiegelbeeld van $(0,0)$ in $y = 5$ ligt op alle cirkels; dat is $(0,10)$ .

8

Hieronder volgt een uitgebreid antwoord. Als je de figuren bij de vergelijkingen in GeoGebra tekent, vind je zelf ook wel argumenten, waarom het wel of geen cirkel is.

Nee, je kunt de vergelijking schrijven als ${(x + y)}^{2} = 10$ , het zijn dus de lijnen $x + y = \sqrt{10}$ en $x + y = ‐ \sqrt{10}$ .
Nee, als het een cirkel is, dan is het middelpunt $(0,0)$ , maar $(\sqrt[4]{5}, \sqrt[4]{5})$ voldoet aan de vergelijking en heeft een andere afstand tot $(0,0)$ dan $(\sqrt[4]{10},0)$ , dat ook aan de vergelijking voldoet.
Ja, (middelpunt $O (0,0)$ en straal $\sqrt[4]{10}$ ), want ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 10 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = \sqrt{10}$ .
Nee, want de $x$ -as en de $y$ -as zijn symmetrieas, dus het middelpunt zou $(0,0)$ zijn, maar de punten $(\sqrt{10},0)$ en $(4, \sqrt{6})$ die beide aan de vergelijking voldoen, hebben verschillende afstand tot $(0,0)$ .

9

a

Zie de figuur verderop. De (rand van de) cirkel met straal $2$ is gekleurd, die met straal $1$ niet.

b

$x^{2} + y^{2} \leq 1$ en $| y | \leq | x |$ en $x \geq 0$ .

10

Dat is $\frac{oppervlakte kwartcirkel}{oppervlakte vierkant} = \frac{1}{4} π$ , zie de figuur verderop.

figuur bij opgave 10a

figuur bij opgave 11

11

eerste deel: ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2$ en $0 \leq x \leq 2$ en $y \geq 0$ ;
tweede deel: ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ en $2 \leq x \leq 3$ en $y \geq 0$ ;
derde deel: ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ en $3 \leq x \leq 4$ en $y \geq 0$ .
Tussen het tweede en het derde deel is $S$ kantelpunt.

12

a

$A X^{2} = {(x + 2 \frac{1}{2})}^{2} + y^{2}$ en $B X^{2} = {(x - 5)}^{2} + y^{2}$ . Verder geldt: $B X^{2} = 4 A X^{2}$ .

b

De gelijkheid die je in het vorige onderdeel moest laten zien kan herleid worden tot: ${(x + 5)}^{2} + y^{2} = 25$ .