Gegeven is de cirkel met vergelijking .
Teken de cirkel in een assenstelsel. Geef ook alle roosterpunten aan die op de cirkel liggen.
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn met vectorvoorstelling met de cirkel.
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn met vergelijking met de cirkel.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn met vergelijking en de cirkel met middelpunt en straal .
Oplossing
Een vergelijking van de cirkel is: .
De snijpunten zijn de oplossingen van het stelsel:
.
Dit stelsel lossen we als volgt op.
|
|
|
Voor |
|
De kwadratische vergelijking in |
|
Vereenvoudigen |
|
Bijvoorbeeld de |
|
De gevonden waarden van |
De snijpunten zijn:
|
Gegeven is de cirkel met middelpunt
Geef een vergelijking van de cirkel.
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de cirkel met de lijn.
Gegeven zijn de lijn met vergelijking
Teken de lijn en de cirkel in een assenstelsel.
Het lijkt erop dat de cirkel en de lijn maar één punt gemeen hebben.
Controleer dat met een berekening.
Hiernaast zijn twee cirkels getekend. Vergelijkingen van die cirkels zijn:
Bekijk de vergelijking
Schrijf de vergelijking zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.
In a vind je een lineaire vergelijking, dit is dus een vergelijking van een lijn.
Leg uit dat de snijpunten van de cirkels op die lijn liggen.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de twee cirkels exact.
Voor elk punt
Voor de snijpunten van de cirkels geldt dus beide uitdrukkingen gelijk aan
Bekijk de vergelijking
Schrijf de formule zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.
De punten die aan deze vergelijking voldoen, liggen op een cirkel.
Schrijf de formule uit a in de middelpuntsvorm.
Geef het middelpunt en de straal van de cirkel.
Ga na dat deze nieuwe figuur inderdaad door de snijpunten van de cirkels uit opgave 17 gaat.
Je kunt op allerlei manieren de formules van de twee gegeven cirkels uit opgave 17 combineren.
Bijvoorbeeld:
In elke van deze gevallen gaat de figuur door de snijpunten van de cirkels uit de
vorige opgave. (De figuren kunnen bizar zijn, en verder zinloos om te bekijken, maar
die twee snijpunten hebben ze gemeenschappelijk.)
Ga na dat de rechterleden in deze drie formules (dus
In opgave 17a is gekozen voor de volgende combinatie:
Dat is met opzet gebeurd, want nu vallen de termen
Gegeven de cirkels met vergelijking
Dan vormen de punten
voldoen de lijn
De gemeenschappelijke punten van de cirkels vind je door
Gegeven de cirkels met vergelijking
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de twee cirkels.
Gegeven zijn de cirkels met vergelijking
Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van de twee cirkels.
De cirkels met middelpunt
Bewijs dat lijn
We brengen een assenstelsel aan, zie de figuur in het midden.
Daarin heeft de cirkel met middelpunt
De punten
Schrijf
Controleer dat je de vergelijking van een lijn krijgt die loodrecht op lijn
In de rechter figuur zijn de cirkels gekrompen, hun middelpunten zijn hetzelfde gebleven,
maar ze hebben geen gemeenschappelijke punten meer. De stralen zijn
Leg (zonder haakjes weg te werken) uit dat de lijn met vergelijking