Het kortste verbindingslijnstuk van een punt met een lijn staat loodrecht op die lijn;
elk ander verbindingslijnstuk is langer.
Alternatief: Pythagoras: ,
dus .
Dezelfde redenering als in a.
is normaalvector van de raaklijn, dus een vergelijking is: voor een of ander getal . Uit het feit dat op de raaklijn ligt volgt .
, en,
en
en
De lijn snijden met de cirkel geeft snijpunten en (voldoet niet, want ), dus
Die lijn staat loodrecht op de evenwijdige lijnen met vergelijking , dus een richtingsvector van die lijn is .
De vector heeft lengte , dat is de straal van de cirkel, dus de raakpunten zijn: en
en invullen geeft de waarden en .
We berekenen de afstand van tot .
De lijn door loodrecht op heeft pv
.
Voor het snijpunt van deze lijn met geldt: .
De afstand van tot zijn projectie op is dus
, dit is dus de straal van de cirkel.
De raakpunten liggen op de lijn door het middelpunt
van de cirkel met normaalvector
.
Een vergelijking van die lijn is . Deze lijn snijden met de cirkel geeft de snijpunten
en
.
De raaklijnen hebben vergelijking en
.
Je kunt de raakpunten ook anders vinden. Zij liggen op de lijn door het middelpunt
met richtingsvector .
Deze richtingsvector heeft lengte , dus als je het middelpunt over
of over
verschuift, kom je in een raakpunt.
Het middelpunt van de cirkel is , dus een normaalvector van de lijn is . Een vergelijking van de lijn is voor een of ander getal . De lijn gaat door het punt , dus een vergelijking is .
en
en
, dus . De oppervlakte is .
Het middelpunt van de cirkel ligt op de middelloodlijn van , dus op de lijn . Omdat de cirkel de -as raakt is de straal . De afstand van het middelpunt tot is dus . Dus als , dan , dus of . Het middelpunt is dus of .
Lijn heeft richtingscoëfficiënt . Het middelpunt ligt op , de lijn door loodrecht op
, dus
heeft richtingscoëfficiënt
en gaat door .
Een vergelijking van is: .
Het snijpunt van met de -as is:
.
De straal van de cirkel is
.
De projectie van op de -as
noemen we .
De hoeken en
zijn even groot (Z-hoeken),
dus de driehoeken en
zijn gelijkvormig, want ze hebben beide ook nog een rechte hoek.
De helling van lijn is , dus
driehoek is gelijkvormig met een driehoek met zijden
, en
, dus driehoek
ook, dus
.
Als je voor in de vergelijking
invult, krijg je de vergelijking
.
Deze vergelijking heeft één oplossing (omdat zijn discriminant is of omdat je
de vergelijking kunt schrijven als ).
De oplossing van de vergelijking is , dus de oplossing van het stelsel is
.
Omdat en precies één punt gemeen hebben. Dit is het raakpunt .
.
Deze vergelijking heeft één oplossing als de discriminant is.
Dus
of .
Als je voor , krijg je wat ook is.
Voor invullen in
geeft:
.
Deze vergelijking is te schrijven als: .
Deze vergelijking moet discriminant hebben, dus:
, dus
of
.
Als , wordt de vergelijking uit het vorige onderdeel:
, deze heeft als enige oplossing
, het raakpunt is dan
.
Als , wordt de vergelijking uit het vorige onderdeel:
, deze heeft als enige oplossing
, het raakpunt is dan
.
Voor invullen in
geeft:
.
Deze vergelijking heeft discriminant , dus:
, dus
of .
De raaklijnen zijn (de
-as) en de lijn
.