Cirkels die twee lijnen raken

Het volgende hebben we al eerder gezien.

Een punt dat gelijke afstand tot twee snijdende lijnen heeft, ligt op een bissectrice van de twee lijnen.

We bewijzen bovenstaande.
In de figuur ligt $P$ even ver van de lijnen $k$ en $m$ . Die lijnen snijden elkkaar in $S$ . De projectie van $P$ op $k$ is $Q$ en de projectie op $m$ is $R$ . Dan zijn de lijnstukken $P Q$ en $P R$ even lang.
Dus de rechthoekige driehoeken $P Q S$ en $P R S$ hebben twee zijden hetzelfde, zijn dus congruent.
Dus de hoeken $P S Q$ en $P S R$ zijn even groot.

De somvector van twee vectoren van gelijke lengte deelt de hoek tussen die vectoren middendoor.

Want een diagonaal in een ruit is symmetrieas van de ruit.

Voorbeeld:

Gegeven de punten $A (1,1)$ , $B (4,4)$ en $C (2,8)$ .
Een cirkel raakt de lijnen $A B$ en $A C$ . Het middelpunt van de cirkel ligt op de lijn $x = 4$ .
Gevraagd worden de coördinaten van het middelpunt.

We noemen het middelpunt $M$ . Dan ligt $M$ even ver van de lijnen $A B$ en $A C$ , dus op een bissectrice van die twee lijnen.
De lengte van $\vec{A B}$ is $3 \sqrt{2}$ en de lengte van $\vec{A C}$ is $5 \sqrt{2}$ . De vector $(\begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array})$ is veelvoud van $\vec{A B}$ en even lang als $\vec{A C}$ . Dus de vector $(\begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array}) + (\begin{array}{l} 1 \\ 7 \end{array}) = 6 \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array})$ is richtingsvector van een van de bissectrices van de lijnen $A B$ en $A C$ .
De bissectrices van de lijnen $A B$ en $A C$ hebben pv:
$(x, y) = (1,1) + t \cdot (1,2) = (1 + t,1 + 2 t)$ en de lijn door $A$ daar loodrecht op: $(x, y) = (1 - 2 t,1 + t)$ , dus $M = (4,7)$ of $M = (4, ‐ \frac{1}{2})$ .

Gegeven is het punt $A (5,12)$ . Een cirkel met straal $5$ raakt de $x$ -as en lijn $O A$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt van die cirkel exact. Er zijn vier mogelijkheden.

Gegeven zijn de punten $O (0,0)$ , $A (6,0)$ en $B (0,8)$ .
We zoeken het middelpunt van een zo groot mogelijke cirkel die nog in driehoek $O A B$ past, de zogenaamde ingeschreven cirkel van driehoek $O A B$ .Het middelpunt ligt op het snijpunt van de bissectrices van de driehoek.

Geef pv's of vergelijkingen van de bissectrices van twee van de hoeken van driehoek $O A B$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de twee bissectrices.

Geef een vergelijking van de ingeschreven cirkel van driehoek $O A B$ .

Hieronder staat de cirkel met middelpunt $M (10,5)$ en straal $5$ .

De cirkel raakt de $x$ -as.

Welk punt is het raakpunt $R$ ?

Er zijn twee raaklijnen door $O (0,0)$ . Een daarvan is de $x$ -as.
De andere raaklijn is ook getekend. Die raakt de cirkel in $Q$ . Die raaklijn hebben we met een discriminant bepaald in opgave 36. In deze opgave doen we dat anders.

In welke lijn kun je $Q$ spiegelen om $R$ te krijgen?

Bereken de coördinaten van $Q$ exact.

Een bal wordt in een paraboolvormige vaas gegooid. Hieronder rechts zie je een doorsnede van de situatie. Er is een assenstelsel aangebracht. De parabool heeft vergelijking $y = x^{2}$ . Het middelpunt van de bal is $(0,2)$ .

Bereken de straal van de cirkel (bal) exact. (De cirkel raakt dus de parabool.)

Gegeven zijn de cirkel met middelpunt $M (3,0)$ en straal $1$ en de cirkel met middelpunt $N (7,0)$ en straal $3$ .

Een lijn raakt de kleine cirkel in $P$ en de grote cirkel in $Q$ .
Deze lijn snijdt de $x$ -as in $S$ .
De lengte van lijnstuk $M S$ noemen we $x$ .

Stel een vergelijking voor $x$ op en bereken $x$ exact.

(hint)

De driehoeken

P M S

Q N S

zijn gelijkvormig.

Hoek $P S M$ noemen we $α$ .

Bereken $\tan (α)$ en $α$ exact.

Geef een exacte vergelijking van lijn $P Q$ .

(hint)

De richtingscoëfficiënt is

tan α

Gegeven zijn de punten $A (‐1,1)$ , $B (5,‐1)$ , $C (5,7)$ en $M (3,3)$ .

Laat langs algebraïsche weg zien dat $M (3,3)$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ is.
Wat is de straal van die cirkel?

$Q$ is het punt $(5,1)$ .
Het punt $P$ ligt op lijnstuk $A C$ zó, dat $P Q$ en $A B$ evenwijdig zijn.

Wat zijn exact de coördinaten van $P$ ?

Wat is de straal van de omgeschreven cirkel van driehoek $P Q C$ exact?

Raaklijn analytisch bekeken

Gegeven is een cirkel met middelpunt $(2, ‐ 1)$ . Het punt $P (1,1)$ ligt op de cirkel.

Geef langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn in $P$ aan de cirkel.

Het punt $P$ ligt op de 'bovenkant' van de cirkel. Die bovenkant is de grafiek van een functie. Een formule bij die functie is:
$y = ‐ 1 + \sqrt{1 + 4 x - x^{2}}$ .

Ga dat na.

In de analyse heb je geleerd hoe je de raaklijn aan de grafiek van een functie kunt vinden met differentiëren.

Doe dit bij de functie $y = ‐ 1 + \sqrt{1 + 4 x - x^{2}}$ in het punt $P$ . Vind je hetzelfde resultaat als in onderdeel a?