De figuur hieronder komt uit: Nollet, Leçons de physique experimentale, tome second, Paris, MDCCLIII. Hierin worden onder andere kogelbanen bestudeerd.
Een projectiel wordt in afgevuurd met horizontale snelheid m/s en verticale snelheid m/s. De zwaartekracht vermindert de verticale snelheid. Die is na seconden: m/s. De afgelegde weg na seconden in verticale richting is: meter. Voor het gemak is de valversnelling afgerond op m/s2. Als we de luchtweerstand verwaarlozen, is de horizontale snelheid constant m/s en de afgelegde weg in horizontale richting .
Maak een tabel voor , en , met tussen en .
Teken de baan van het projectiel met behulp van de tabel en controleer deze met de GR.
De baan is een parabool.
Stel een vergelijking (met de variabelen en ) op van die parabool.
Bepaal die vergelijking ook door te elimineren.
Jan woont even ver van zee als van de supermarkt aan de rand van het nabijgelegen dorp. We veronderstellen dat de kustlijn perfect recht is.
Zoek op het werkblad waar de plekken ongeveer liggen waar Jan kan wonen.
We gaan het probleem van opgave 52 systematisch aanpakken in een assenstelsel. Omdat de afstanden tot een punt en tot een lijn een rol spelen, tekenen we cirkels rond dat punt en lijnen evenwijdig aan die lijn.
is een punt en is een lijn. Hieronder zijn getekend de cirkels om met straal , , , … en de lijnen boven op afstand , , , … van . De tekening staat ook op het werkblad.
Kleur op het werkblad met behulp van de cirkels en lijnen punten die even ver van als van liggen.
De gekleurde figuur heeft een symmetrieas.
Geef die aan in de tekening.
Hieronder staat de figuur van alle punten die even ver van de -as als van het punt liggen.
Laat met een berekening zien dat de roosterpunten , en precies op de figuur liggen.
Bereken exact de eerste coördinaat van het punt van de figuur met tweede coördinaat .
De figuur hieronder staat ook op het werkblad. In elk van de drie gevallen zijn er oneindig veel punten die even ver van als van liggen.
Bepaal op het werkblad in elk van de drie gevallen de volgende speciale punten die even ver van als van liggen: pal rechts van , pal links van en recht onder .
Schets in elk van de drie gevallen de hele figuur van punten die even ver van als van liggen.
De figuur uit opgave 53 van alle punten die even ver van als van liggen noemen we gemakshalve . We brengen een assenstelsel aan en zoeken een vergelijking van . Als -as kiezen we de lijn door loodrecht op en als -as de lijn evenwijdig aan die even ver van als van ligt. Als eenheid kiezen we een kwart van de afstand van tot . Zodoende is de oorsprong een punt van , en heeft vergelijking . De punten van hebben een positieve tweede coordinaat.
Druk de afstand van tot uit in .
Er geldt: ligt op .
Leg dat uit.
Schrijf bovenstaande vergelijking zonder haakjes, zonder wortel en zo eenvoudig mogelijk.
We nemen een algemener geval: en
,
voor een of ander positief getal . (In de vorige opgave is
.)
We zoeken weer een vergelijking van de figuur gevormd door de punten die even ver van als van
liggen.
Druk de afstand van tot uit in en .
Druk de afstand van tot uit in , en .
Uit de gelijkheid van de uitdrukkingen in a en b volgt
dat .
Reken dat na.
Definitie van een parabool
Gegeven is een punt en een lijn
waar niet op
ligt.
De punten die even ver van als van liggen vormen
een figuur die we parabool noemen.
heet richtlijn van de parabool en brandpunt.
De lijn door loodrecht op is symmetrieas van de
parabool. We noemen die lijn as van de parabool.
De parabool met brandpunt en richtlijn
heeft vergelijking
.
Ga na dat het laatste ook waar is voor negatieve waarden van .
In de derde klas heb je gezien dat de grafiek van
elke kwadratische functie te krijgen is door die van
, voor zekere waarde van , te verschuiven.
Grafieken van kwadratische functies zijn dus voorbeelden
van parabolen (volgens opgave 57c); het bijzondere is dat de grafieken een verticale symmetrieas hebben.
Geef een vergelijking van de richtlijn en de coördinaten van het brandpunt van de parabool met
top die gaat door het punt ;
top die gaat door het punt .
We bekijken een andere figuur uit het boek van Nollet.
Een kogel
wordt met horizontale snelheid m/s weggeschoten.
Hoe snel de kogel aan hoogte verliest, hangt af van .
Neem aan dat de kogel na meter in horizontale richting afgelegd te hebben, ook meter aan hoogte verliest.
We ronden, net als in opgave 51,
de valversnelling af op m/s2.
Dan is de verticale valweg .
Bereken exact.
In de derde klas heb je al raaklijnen aan een parabool bekeken met behulp van een discriminant, in de vierde met differentiëren. Daarvoor heb je een formule van de parabool nodig. In het volgende construeren we (meetkundig) een raaklijn aan een parabool.
Een raaklijn aan een parabool heeft één punt met de parabool gemeen. De andere punten van de raaklijn liggen buiten de parabool.
NB. Een punt ligt binnen een parabool als het aan dezelfde kant ligt als het brandpunt, dus als het dichter bij het brandpunt dan bij de richtlijn ligt.
Punten van een parabool construeren
Gegeven is een punt en een lijn .
We vinden punten van de parabool met brandpunt en richtlijn als volgt.
Kies een punt op . We noemen dat .
Teken de lijn door loodrecht op .
Teken de middelloodlijn van lijnstuk .
Het snijpunt van de twee getekende lijnen ligt even ver van als van , dus op de parabool.
In GeoGebra kun je bovenstaande constructie mooi uitvoeren.
Stelling
Gegeven is een parabool met brandpunt en richtlijn
.
Voor een punt van de parabool en zijn voetpunt
geldt: de middelloodlijn van is raaklijn in aan de
parabool.
Bewijs van de stelling
is een punt van de middelloodlijn van en is de
loodrechte projectie van op .
Ga na dat en .
Hoe volgt uit a dat buiten de parabool ligt?
In de tekening is links van genomen.
Toon aan dat ook een punt op de middelloodlijn rechts van buiten de parabool ligt.
We nemen de parabool uit opgave 54.
De richtlijn is de -as en het brandpunt .
De punten en liggen op de parabool.
Geef met behulp van de stelling in deze paragraaf een vergelijking van de raaklijn in aan de parabool.
Geef ook een vergelijking van de raaklijn in aan de parabool.
Gegeven is de parabool met vergelijking .
Bepaal het brandpunt en de richtlijn van de parabool.
Het punt ligt op de parabool.
Geef een vergelijking van de raaklijn in dit punt aan de parabool met behulp van de stelling.
ligt op de 'bovenkant' van de parabool. Die bovenkant is de grafiek van een functie.
Geef een formule van die functie en bepaal de helling van de raaklijn in met behulp van de afgeleide van die functie. Vind je hetzelfde resultaat als in b?
is een rechthoekig vel papier met daarop een punt . We vouwen de hoek bij zo om dat een punt van de rand op komt. Dat kan op allerlei manieren. In figuur 1 hieronder staan drie voorbeelden.
De vouwlijn noemen we , met
op
en Q op . De plaats van
na het vouwen noemen we .
In figuur 2 links is op de rand een punt
gekozen. Deze figuur staat vergroot op het werkblad.
Teken op het werkblad zonder te vouwen het bijbehorende punt . Licht je werkwijze toe.
De vouwlijnen zijn allemaal
raaklijn aan één parabool. Zie figuur 2, rechts. Deze parabool heeft brandpunt en
richtlijn .
In figuur 3, links is een van de vouwlijnen PQ getekend. Deze vouwlijn raakt
de parabool in een punt . Deze tekening
staat vergroot op het werkblad.
Teken punt op het werkblad. Licht je werkwijze toe.
In figuur 3 rechts, is het midden van . Ook deze tekening staat vergroot op het werkblad.
Bewijs dat .
We bekijken de snijpunten van de cirkel met vergelijking
met de lijn met vergelijking voor
alle mogelijke waarden van ongelijk .
Je kunt dit bekijken met de GeoGebra applet
v6_wisB_H13_opg64
.
Voor welke waarden van zijn er geen snijpunten? Licht je antwoord toe.
De snijpunten die je voor de diverse waarden van krijgt vormen een parabool.
Waarom? Wat is de richtlijn en wat het brandpunt van de parabool?
Licht je antwoord toe.
Geef een vergelijking van de parabool door de parameter te elimineren. Schrijf je berekening op.
Uit de paraboolconstructie met behulp van de voetpunten, volgt dat op een parabolische
spiegel stralen evenwijdig aan de as worden zó
teruggekaatst dat ze allemaal door het brandpunt gaan (en wel met dezelfde fase);
vandaar de naam brandpunt. Deze eigenschap maakt een parabolische spiegel geschikt
om signalen
uit de ruimte op te vangen.
Het Latijnse woord voor brandpunt is focus, vandaar de letter voor
het brandpunt.
Volgens een legende zou Archimedes (287-212 voor Chr.) in de strijd
tegen Rome voor zijn vaderstad Syracuse parabolische spiegels hebben
ontworpen. Door de spiegels zo te richten dat de zonnestralen
werden gebundeld op de vijandelijke Romeinse houten schepen, zouden
deze in brand zijn gestoken.