$y=p{(x-60)}^2+45$, gaat door $(\mathrm{0,0})$, dit geeft $p=\mathrm{‐}\frac{1}{80}$, een vergelijking is dus: $y=\mathrm{‐}\frac{1}{80}{(x-60)}^2+45$.

$t=\frac{1}{20}x$ invullen in $y=30t-5t^2$ geeft dezelfde vergelijking in $x$ en $y$.

Zie figuur.

$AF=2$ en afstand tot $r=2$; $BF=5$ en afstand tot $r=5$; $CF=10$ en afstand tot $r=10$.

Noem dat punt $(a\mathrm{,5})$, met $a>0$, dan is de afstand tot de $y$-as $a$ en de afstand tot $F$ is $\sqrt{{(a-2)}^2+25}$.
${(a-2)}^2+25=a^2\iff \mathrm{‐}4a+29=0\iff a=7\frac{1}{4}$, dus het punt is $\left(7\frac{1}{4}\mathrm{,5}\right)$.

Zie volgend onderdeel.

$y+2$

De afstand van $P(x,y)$ tot $F(\mathrm{0,2})$ is: $\sqrt{x^2+{(y-2)}^2}$.
de afstand van $P$ tot $r$ is $y+2$.

Kwadrateren geeft: $x^2+{(y-2)}^2={(y+2)}^2$; haakjes wegwerken geeft: $x^2=8y$.

$y+c$

$\sqrt{x^2+{(y-c)}^2}=y+c$

Kwadrateren geeft: $x^2+{(y-c)}^2={(y+c)}^2\iff x^2=4cy$.

Een vergelijking van de parabool is $x^2=4cy$. Het punt $(\mathrm{2,6})$ voldoet aan de vergelijking, dus $c=\frac{1}{6}$. Dus het brandpunt $F=\left(\mathrm{0,}\frac{1}{6}\right)$ en de richtlijn $r$ is de lijn $y=\mathrm{‐}\frac{1}{6}$.

Een vergelijking van de parabool is $x^2=4cy$. Het punt $(\mathrm{2,‐6})$ voldoet aan de vergelijking, dus $c=\mathrm{‐}\frac{1}{6}$. Dus het brandpunt $F=\left(\mathrm{0,}\mathrm{‐}\frac{1}{6}\right)$ en de richtlijn $r$ is de lijn $y=\frac{1}{6}$.

$m$ is de middelloodlijn van $FV$. $Q$ ligt op $m$ en $W$ is de loodrechte projectie van $Q$ op $m$. $FQ=QV$, want $m$ is de middelloodlijn van $FQ=FV$. $QW<QV$, want het kortste verbindingslijnstuk van $Q$ met $r$ staat loodrecht op $r$.

Uit a volgt dat $Q$ dichter bij $r$ dan bij $F$ ligt, dus volgens de definitie ligt $Q$ buiten de parabool.

Zie de figuur. Het verhaal blijft precies hetzelfde.

figuur bij opgave 60c

Het voetpunt van $A$ noemen we $V$, dan $V(\mathrm{0,2})$. De raaklijn is de middelloodlijn van de punten $(\mathrm{0,2})$ en $(\mathrm{2,0})$, dat is de lijn $y=x$.

Het voetpunt van $B$ noemen we $W$, dan $W(\mathrm{0,4})$, $\overrightarrow{WF}$ is normaalvector van de middelloodlijn van $WF$. Het midden van $WF$ is: $(\mathrm{1,2})$, dus middelloodlijn - dat is de raaklijn in $B$ - heeft vergelijking $x-2y+3=0$.

De bijbehorende waarde van $c=\frac{1}{2}$. (Hier zijn wel de rollen van de assen verwisseld.) Het brandpunt is $F\left(\frac{1}{2}\mathrm{,0}\right)$ en de richtlijn $r$ heeft vergelijking $x=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$.

Het voetpunt $V$ van $A(\mathrm{2,2})$ is $\left(\mathrm{‐}\frac{1}{2}\mathrm{,2}\right)$. $\overrightarrow{VF}$ is een normaalvector van de raaklijn. De raaklijn gaat door het midden van $VF$, dus heeft vergelijking $x-2y+2=0$.

Een formule voor de functie is $y=\sqrt{2x}$.
$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\sqrt{2x}}$, dus de raaklijn in $A(\mathrm{2,2})$ heeft helling $\frac{1}{2}$. Je vindt dus hetzelfde resultaat als in b.

Teken de vouwlijn, dit is de bissectrice van hoek $BPF$. Dan is $Q$ is het snijpunt van de vouwlijn en $BC$.

Teken het spiegelbeeld $F^{\prime }$ van $F$ in de vouwlijn. Teken in $F^{\prime }$ een loodlijn op lijn $AB$. Dan is $R$ het snijpunt van deze loodlijn met lijn $PQ$.

$B^{\prime }Q=BQ=CQ$, dus $B^{\prime }$ ligt dus op de cirkel met middellijn $BC$. Uit de omgekeerde stelling van Thales volgt dan dat $BC{B}^{\prime }$ recht is.

$y=a+3$ invullen in $x^2+{(y-2)}^2=a^2$ geeft: $x^2+{(a+1)}^2=a^2$ $\iff x^2=\mathrm{‐}2a-1$. Deze vergelijking in $x$ heeft geen oplossingen als $\mathrm{‐}2a-1<0\iff a>\mathrm{‐}\frac{1}{2}$.

In onderdeel a kun je zien dat je voor $a=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$ de top van de parabool moet krijgen. De top zou dan $\left(\mathrm{0,2}\frac{1}{2}\right)$ moeten zijn, het brandpunt $\left(\mathrm{0,2}\right)$ (vanwege de cirkels om $\left(\mathrm{0,2}\right)$). De richtlijn moet dan de lijn $y=3$ zijn. Inderdaad: de punten op de lijn $y=a+3$ hebben afstand $\left|a\right|$ tot de lijn $y=3$ en de punten $x^2+{(a+3)}^2=a^2$ hebben afstand $\left|a\right|$ tot $\left(\mathrm{0,2}\right)$.

Voor $a=y-3$ invullen in $x^2+{(y-2)}^2=a^2$ geeft:
$x^2+{(y-2)}^2={(y-3)}^2\iff x^2+2y=5$ (of: $y=\mathrm{‐}\frac{1}{2}{x}^2+2\frac{1}{2}$).