1

Gegeven de cirkel met middelpunt $(‐2,3)$ met daarop het punt $(1,4)$ .

a

Geef een vergelijking van de cirkel.

b

Geef een vergelijking van de raaklijn in $(1,4)$ aan de cirkel.

2

Gegeven is de cirkel met vergelijking ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ .

Voor welke waarden van $a$ raakt de lijn met vergelijking $‐ x + 3 y = a$ de cirkel?

3

$O A B C$ is een vlieger met $O (0,0)$ , $B (6,4)$ en $C (2,5)$ .
Het snijpunt van de diagonalen van de vlieger is $S$ .

a

Ga met een berekening na dat $S = (3 \frac{9}{13},2 \frac{6}{13})$ .

b

Bereken de coördinaten van $A$ exact.

4

$A B C D$ is een rechthoek met $A (2,0)$ , $B (4,4)$ , $C (2,5)$ en $D (0,1)$ .

a

Wat zijn de coördinaten van het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B D$ ?
En wat is de straal exact?

De loodlijn uit $A$ op lijn $D B$ snijdt lijn $D B$ in $E$ .

b

Bereken exact de coördinaten van $E$ .

De driehoeken $A D E$ en $D B A$ zijn gelijkvormig.

c

Toon dat aan.
Wat is de bijbehorende vergrotingsfactor?

d

Bereken $D E$ exact.

e

Bereken de straal van de omgeschreven cirkel van driehoek $A D E$ exact.

5

Gegeven zijn de cirkels met vergelijking

$x^{2} + y^{2} + 10 x + 20 y = 0$ ;
$x^{2} + y^{2} - 3 x + 1 = 0$ ;
$2 x^{2} + 2 y^{2} + 10 x - 20 y = 22$ .

Bepaal exact het middelpunt en de straal van elk van de cirkels. Vereenvoudig de wortels.

6

Een cirkel heeft straal $10$ raakt de lijn met vergelijking $y = 3 x$ in $O$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt van die cirkel exact.

7

Een cirkel gaat door $O (0,0)$ en raakt de lijn met vergelijking $2 x + 3 y = 8$ in het punt $(4,0)$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt van die cirkel.

8

De lijn met vergelijking $x + 2 y = a$ raakt voor bepaalde waarden van $a$ de cirkel met middelpunt $(5,0)$ en straal $2 \sqrt{5}$ .

Bereken die waarden van $a$ exact.

9

Gegeven zijn cirkel $c$ met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 25$ en de punten $A (‐5,0)$ en $B (‐3,4)$ op $c$ .
Lijn $l$ is de lijn door $A$ en $B$ . Lijn $m$ staat loodrecht op $l$ en gaat door $B$ . Punt $C$ is het snijpunt van de cirkel met de positieve $x$ -as, zie de figuur hieronder links.

a

Onderzoek met behulp van een berekening of $m$ door $C$ gaat.

Verder is lijn $n$ door $B$ gegeven met vergelijking $3 x - 4 y + 25 = 0$ .
In de figuur rechts zijn $c$ en $n$ getekend.
$n$ is de raaklijn aan $c$ in $B$ .

b

Toon dit aan.

10

Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 50$ .
Het snijpunt met de positieve $x$ -as noemen we $P$ en het snijpunt met de positieve $y$ -as noemen we $Q$ .

a

Bereken de coördinaten van $P$ en $Q$ .

b

Bereken de afstand van $O$ tot lijn $P Q$ exact.

Een lijn evenwijdig aan lijn $P Q$ raakt de cirkel.

c

Geef een vergelijking van die lijn.

11

Gegeven zijn de punten $A (‐1,2)$ , $B (8,5)$ en $P (‐1,7)$ , zie de figuur hieronder. We gaan de afstand van $P$ tot lijn $A B$ op drie manieren exact berekenen. Het snijpunt van lijn $A B$ met de lijn door $P$ loodrecht op lijn $A B$ noemen we $Q$ .

Manier 1

a

Stel een vergelijking op van lijn $A B$ en lijn $P Q$ .

b

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de twee lijnen exact.

c

Bereken vervolgens $P Q$ (dat is de gevraagde afstand) exact.

Manier 2
Het punt $C$ ligt recht onder $B$ en op dezelfde hoogte als $A$ , zie plaatje.

d

Waarom zijn de driehoeken $A P Q$ en $B A C$ gelijkvormig?

e

Wat is de bijbehorende vergrotingsfactor?

f

Wat is dus $P Q$ exact?

Manier 3

g

Bereken de oppervlakte van driehoek $B A P$ exact op een eenvoudige manier.

(hint)

Neem

A P

als basis.

Om de oppervlakte van driehoek $B A P$ te berekenen kun je ook $A B$ als basis nemen.

h

Bereken nu $P Q$ exact.

12

Gegeven is de cirkel met middelpunt $M (9,‐3)$ en straal $\sqrt{10}$ .

Bereken exact de coördinaten van het punt op de cirkel dat het dichtst bij $O$ ligt.

13

Hieronder staan de punten $P (‐1,0)$ en $M (5,0)$ . Verder is de cirkel met straal $2$ en middelpunt $M$ getekend.

Vanuit $P$ is een raaklijn aan de cirkel getekend. Het raakpunt is $R$ .

a

Bereken de zijden van driehoek $M P R$ .

$S$ is de loodrechte projectie van $R$ op de $x$ -as.

b

Waarom zijn de driehoeken $P R S$ en $P M R$ gelijkvormig?

c

Bereken de coördinaten van $R$ exact met behulp van onderdeel b.

14

Gegeven is de cirkel met straal $10$ en middelpunt $M (10,0)$ .
Een lijn met positieve richtingscoëfficiënt gaat door $O$ en snijdt de cirkel ook in het punt $A$ zó, dat $∠ O M A = 120 °$ .

a

Bereken exact de afstand van $M$ tot lijn $O A$ .

b

Geef een exacte vergelijking van lijn $O A$ .

c

Wat is de exacte lengte van lijnstuk $O A$ ?

d

Bereken de coördinaten van $A$ exact.

15

Gegeven is de cirkel met middelpunt $M (2,0)$ en straal $2$ .
De niet-verticale lijn $k$ gaat door het punt $P (0,4)$ , raakt de cirkel in het punt $Q$ en snijdt de positieve $x$ -as in het punt $S$ . Zie figuur 1.

a

Bereken exact de $x$ -coördinaat van $S$ .

De lijn $m$ met vergelijking $y = p x$ met $p > 0$ snijdt de cirkel behalve in $O$ in een punt $A$ , zodanig dat $O A = 3$ . Zie de figuur hierboven rechts.

b

Bereken exact de waarde van $p$ .

16

$M$ is het middelpunt van een cirkel met straal $2$ .

Een punt $P$ ligt op afstand $8$ van $M$ .
Vanuit $P$ worden raaklijnen aan de cirkel getekend. De raakpunten zijn $R$ en $S$ .

a

Bereken $P R$ exact.

b

Bereken de afstand van $M$ tot lijn $R S$ exact.

17

Bereken exact de gemeenschappelijke punten van:

de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y = 4$ en de lijn met vergelijking $x + y = 2$ ;
de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y = 4$ de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 4 x = 6$ ;
de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 6 x + 6 y - 13$ de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 12 x - 6 y - 25$ .

18

Gegeven zijn de lijn $r$ met vergelijking $x + y + 2 = 0$ en het punt $F (1,1)$ .
De afstand van een punt $(x, y)$ tot $r$ is gelijk aan $\frac{| x + y + 2 |}{\sqrt{2}}$ .

(hint)

Zie paragraaf 9.5.

a

Toon dat aan.

$(x, y)$ ligt op de parabool met brandpunt $F$ en richtlijn $r$ als ${(x - y)}^{2} = 8 (x + y)$ .

b

Toon dat aan.

c

Hoe zie je aan de vergelijking ${(x - y)}^{2} = 8 (x + y)$ dat de lijn $y = x$ symmetrieas van de parabool is?

19

figuur 1

figuur 2

Gegeven zijn een punt $F$ en een lijn $m$ .
We bekijken alle parabolen met $F$ als brandpunt die raken aan de lijn $m$ . In figuur 1 zijn twee voorbeelden getekend.
Op de lijn $m$ wordt een punt $R$ gekozen. Zie figuur 2. Deze figuur staat ook vergroot op het werkblad.

Teken in de figuur op het werkblad de top van de parabool die $F$ als brandpunt heeft en die $m$ raakt in het punt $R$ . Licht je werkwijze toe.