Eenparige cirkelbeweging
1
a

De baan is de cirkel met middelpunt O en straal R . Hij wordt in tegenwijzerrichting doorlopen in 2 π seconden, dus de snelheid is R .

b

( R sin ( t ) R cos ( t ) )

c

R 2 sin 2 ( t ) + R 2 cos 2 ( t ) = R 2 (sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) ) = R 2 = R

d

R 2 sin ( t ) cos ( t ) + R 2 cos ( t ) sin ( t ) = 0

2

De pijlen 1 en 2 zijn evenwijdig; de pijlen 2 en 3 zijn even lang en pijl 3 staat loodrecht op lijn A M en is net als pijl 1 linksom gericht.

3
a

De baan is de cirkel met middelpunt O en straal 7 . Hij wordt in tegenwijzerrichting doorlopen in π seconden, dus de snelheid is 14 .

b

Het verschil is dat de baan in wijzerrichting doorlopen wordt.

c

( 7 ω sin ( ω t ) 7 ω cos ( ω t ) )

d

| 7 ω |

4

De baan is een cirkel met middelpunt ( 2, 3 ) en straal 4 . De baan wordt in wijzerrichting doorlopen in 2 π seconden.

Andere bewegingen over de cirkel
5
a

Bijvoorbeeld tussen de tijdstippen 0 en 1 wordt afstand R afgelegd en tussen de tijdstippen 1 en 2 wordt afstand 3 R afgelegd.

b

Er wordt een afstand van 100 R afgelegd, dat zijn 100 2 π 15,9... rondjes, dus 16  keer (inclusief op het moment van de start).

c

De afgelegde afstand is R t 2 ;

d

De snelheid is 2 R t ( d d t ( R t 2 ) = 2 R t ).

e

( 2 R t sin ( t 2 ) 2 R t cos ( t 2 ) )

f

De grootte van de vector uit d is:
4 R 2 t 2 sin 2 ( t 2 ) + 4 R 2 t 2 cos 2 ( t 2 ) = 4 R 2 t 2 ( sin 2 ( t 2 ) + cos 2 ( t 2 ) ) = 4 R 2 t 2 = 2 R t .
Je kunt het ook zo doen: ( 2 R t sin ( t 2 ) 2 R t cos ( t 2 ) ) = 2 R t ( sin ( t 2 ) cos ( t 2 ) ) ; ( sin ( t 2 ) cos ( t 2 ) ) heeft lengte 1 , dus de gevraagde lengte is 2 R t .

6
a

( 2 t t 2 + 1 ) 2 + ( t 2 1 t 2 + 1 ) 2 = 4 t 2 ( t 2 + 1 ) 2 + t 4 2 t 2 + 1 ( t 2 + 1 ) 2 = t 4 + 2 t 2 + 1 ( t 2 + 1 ) 2 = 1

b

De x -component van de snelheidsvector is: 2 t 2 + 2 ( t 2 + 1 ) 2 .
de y -component van de snelheidsvector is: 4 t ( t 2 + 1 ) 2 .

c

2 t 2 + 2 ( t 2 + 1 ) 2 2 t ( t 2 + 1 ) 2 + 4 t ( t 2 + 1 ) 2 t 2 1 ( t 2 + 1 ) 2 = 0 .
Het kan ook met minder gereken: in a hebben we gezien dat: x 2 + y 2 = 1 . Differentiëren naar t geeft volgens de kettingregel: x x + y y = 0 .

Horizontaal en verticaal vermenigvuldigen
7
a

( 3 a , b ) ; ( p a , b )

b

( a , p b )

c

( p a , p b )

8
a

{ x = 2 cos ( t ) y = sin ( t )

b

( 2 sin ( t ) cos ( t ) )

c
figuur bij opgave 18

Teken de snelheidsvector in P en vermenigvuldig die horizontaal met 2 , immers de snelheid in de x -richting wordt 2 keer zo groot en blijft in de y -richting hetzelfde.

d

In de snijpunten met de y -as, dan wordt er maximaal 'geprofiteerd' van de horizontale vermenigvuldiging.

e

De grootte van de snelheidsvector is
4 sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 3 sin 2 ( t ) + sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 3 sin 2 ( t ) + 1 .

f

3 sin 2 ( t ) + 1 is maximaal als sin 2 ( t ) maximaal is, dat is als sin ( t ) = ± 1 , dus in de snijpunten met de y -as.

9
a

x = 2 x oud en y = y oud

b

( x 2 ) 2 + y 2 = 1 x 2 + 4 y 2 = 4

c

Snijpunten met de x -as:
y = 0 ( x 2 ) 2 = 1 x = ± 2 , de snijpunten zijn dus: ( ± 2,0 ) .
De snijpunten met de y -as zijn: ( 0, ± 3 ) .

d

-

e

Horizontaal met 2 , verticaal met 3 .

10
a

x = x oud 2 en y = oud + 3

b

x oud = x + 2 en y oud = y 3 , dus: ( x + 2 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 1

c

( x 1 ) 2 4 + ( y 2 ) 2 9 = 1

11
a

( t sin ( t ) + cos ( t ) t cos ( t ) + sin ( t ) )

b

v ( t ) = ( cos ( t ) sin ( t ) ) + t ( sin ( t ) cos ( t ) )

c

v rad ( t ) = ( cos ( t ) sin ( t ) ) en wijst in de richting van de straal en v tan ( t ) = ( sin ( t ) cos ( t ) ) staat loodrecht op de straal, want deze vector heeft inproduct 0 met ( cos ( t ) sin ( t ) ) .

d

Zie figuur op de volgende bladzijde.

e

Eerste manier: | ( t sin ( t ) + cos ( t ) t cos ( t ) + sin ( t ) ) | = t 2 ( sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) ) + sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = t 2 + 1 .
Tweede manier, zie figuur op de volgende bladzijde: de tangentiële component heeft lengte t en de radiële heeft lengte 1 , dus de somvector heeft lengte t 2 + 1 .

figuur bij opgave 21
Versnelling
12
a

De versnellingsvector ( cos ( t ) sin ( t ) ) is tegengesteld aan ( cos ( t ) sin ( t ) ) .

b

R

c

( R ω 2 cos ( ω t ) R ω 2 sin ( ω t ) )

d

De versnellingsvector heeft grootte a = ω 2 R en de snelheidsvector heeft grootte v = ω R .
v 2 = ω 2 R 2 = a R .

13

( 0 10 ) , valversnelling.

14

De versnellingsvector is: ( 2 4 t ) .
De grootte van die vector is: 4 + 16 t 2 . Deze is minimaal als t = 0 , dus in O ( 0,0 ) .