Op de grondlijn als $t=k\cdot 2\text{π}$ en in het hoogste punt als $t=\text{π}+k\cdot 2\text{π}$.

De $0$-vector want de beweging ten gevolge van de draaiing om $M$ en de voortgaande beweging van het wiel heffen elkaar op.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)$, want de beweging ten gevolge van de draaiing om $M$ en de voortgaande beweging van het wiel zijn gelijk gericht.

De bewegingsvergelijkingen bij de eerste beweging zijn:
$\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=\cos \left(\mathrm{‐}t-\frac{1}{2}\text{π}\right)=\mathrm{‐}\sin \left(t\right)\\ y\left(t\right)=\sin \left(\mathrm{‐}t-\frac{1}{2}\text{π}\right)=\mathrm{‐}\cos \left(t\right)\end{array}$.
De snelheidsvector van de draaiing om $M$ staat hier loodrecht op en heeft grootte $1$. De beweging is in wijzerrichting, dus de snelheidsvector is $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)$.

Of: de snelheidsvector is $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\left(t\right)\\ y^{\prime }\left(t\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}\cos \left(t\right)\\ \sin \left(t\right)\end{array}\right)$.
Bij de tweede beweging is de snelheidsvector $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$.

$\left(\begin{array}{c}1-\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)$

Klopt.

De driehoeken zijn rechthoekig, hebben de schuine zijde gemeenschappelijk en de zijden $PM$ en $QM$ even lang.

Dat volgt uit het voorgaande en het feit dat hoek $QSM$ gelijk is aan de hoek tussen de lijnen $PQ$ en $k$ (Z-hoeken).

Die vectoren zijn even lang, de somvector deelt dan de hoek tussen die twee vectoren doormidden.

Het laagste punt van de rolcirkel.

Zie figuur 1. Bepaal eerst de positie van de rolcirkel op dat moment. Het middelpunt $M$ vind je door de cirkel met middelpunt $P$ en straal $r$ te tekenen (die cirkel is in de tekening gestippeld). De raaklijn is de lijn door $P$ en de top $T$ van de rolcirkel.

Zie figuur 2.

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\sin (t)+2\sin (2t)\\ 2\cos (t)-2\cos (2t)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

$2\cos (t)-2\cos (2t)=0\iff \cos (t)=\cos (2t)\iff$ $t=\pm 2t+k\cdot 2\text{π}\iff t=k\cdot 2\text{π}$ of
$t=k\cdot \frac{2}{3}\text{π}$ met $k$ geheel.
Als $t$ tussen $0$ en $2\text{π}$ ligt, vind je: $t=\mathrm{0,}\frac{2}{3}\text{π},1\frac{1}{3}\text{π},2\text{π}$. Maar de waarden $0$ en $2\text{π}$ moet je uitsluiten omdat daar de verticale component ook $0$ is.

Dan $\sin (t)=\sin (2t)$, dus $t=2t+k\cdot 2\text{π}\text{ of }t=\text{π}-2t+k\cdot 2\text{π}\iff$ $t=k\cdot 2\text{π}$ of
$t=\frac{1}{3}\text{π}+k\cdot \frac{2}{3}\text{π}$.
Als $t$ tussen $0$ en $2\text{π}$ ligt, vind je: $t=\mathrm{0,}\frac{1}{3}\text{π},\text{π},1\frac{2}{3}\text{π},2\text{π}$. Maar de waarden $0$ en $2\text{π}$ moet je uitsluiten omdat daar de horizontale component ook $0$ is.

$M$ beweegt ten opzichte van $O$ over een cirkel met straal $2$ in tegenwijzerrichting in $2\text{π}$ seconden rond.
$P$ beweegt om $M$ in wijzerrichting over een cirkel met straal $1$ in $\text{π}$ seconden rond.

$2\cos (t)+\cos (2t)=\frac{1}{2}\iff 2{\cos }^2(t)+2\cos (t)-1\frac{1}{2}=0$, dus $\cos (t)=\frac{1}{2}$ of
$\cos (t)=\mathrm{‐}1\frac{1}{2}\iff t=\pm \frac{1}{3}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$. Dus op tijdstip $\frac{1}{3}\text{π}$.

Zie figuur. Teken de cirkel met met middelpunt $O$ en straal $2$. Het punt $P$ is het snijpunt met de lijn door $O$ met hellingshoek $60°$ (of de lijn $x=\frac{1}{2}$).
Het middelpunt van de kleine cirkel ligt op lijn $OP$ op afstand $1$ van $P$.

Zie figuur. Beide snelheidvectoren hebben dezelfde richting (loodrecht op lijn $OP$) en grootte $2$. De snelheidsvector in de figuur heeft lengte $4$.

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\sin (t)-2\sin (2t)\\ 2\cos (t)-2\cos (2t)\end{array}\right)$

Als $t=\frac{1}{3}\text{π}$ vind je: $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\sqrt{3}\\ 2\end{array}\right)$. Deze vector heeft lengte $4$ en de goede richting.

De 'spitse' punten.

De snelheidsvector ten gevolge van de draaiing van de kleine schijf is verticaal naar beneden gericht en heeft grootte $2$. De snelheidsvector ten gevolge van de draaiing om $O$ is verticaal naar boven gericht met grootte $2$: ze heffen elkaar op.

We nemen $t$ tussen $0$ en $2\text{π}$.
$\mathrm{‐}2\sin (t)-\sin (2t)=0\iff (2\cos (t)+1)\sin (t)=0$ $\iff \sin (t)=0\text{ of }\cos (t)=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$ $t=\mathrm{0,}\frac{2}{3}\text{π},\text{π},1\frac{1}{3}\text{π},2\text{π}$.
$2\cos (t)-2\cos (2t)=0\iff \cos (t)=\cos (2t)$ $t=\pm 2t+k\cdot 2\text{π}$ , dus
$t=\mathrm{0,}\frac{2}{3}\text{π},1\frac{1}{3}\text{π},2\text{π}$.
Beide componenten van de snelheidsvector zijn $0$ $\iff t=\mathrm{0,}\frac{2}{3}\text{π},1\frac{1}{3}\text{π},2\text{π}$.
De bijbehorende punten zijn: $(\mathrm{3,0}),(\mathrm{‐}1\frac{1}{2}\mathrm{,1}\frac{1}{2}\sqrt{3}),(\mathrm{‐}1\frac{1}{2},\mathrm{‐}1\frac{1}{2}\sqrt{3})$.