Spiegelen

Sommige krommen die we bekeken hebben vertonen symmetrie. De vraag is: hoe kun je aan de bewegingsvergelijkingen of de vergelijking van de kromme zien welke symmetrie hij heeft.

Wat zijn de spiegelbeelden in de $x$ -as van de punten $(2,3)$ , $(2, ‐ 3)$ , $(‐ 2, ‐ 3)$ en $(a, b)$ ?

Wat is het spiegelbeeld van $(a, b)$ in de $y$ -as? En in de lijn $y = x$ ? En in de lijn $y = ‐ x$ ? En in de oorsprong $O (0,0)$ ?

Spiegelen in de $x$ -as:	$(x, y) \to (x, ‐ y)$
Spiegelen in de $y$ -as:	$(x, y) \to (‐ x, y)$
Spiegelen in de lijn $y = x$ :	$(x, y) \to (y, x)$
Spiegelen in de lijn $y = ‐ x$ :	$(x, y) \to (‐ y, ‐ x)$
Spiegelen in $O (0,0)$ :	$(x, y) \to (‐ x, ‐ y)$

Het folium van Descartes

Een punt $P$ beweegt volgens: ${\begin{cases} x (t) = \frac{3 t}{1 + t^{3}} \\ y (t) = \frac{3 t^{2}}{1 + t^{3}} \end{cases}$ .
De baan staat hieronder.

De figuur heet folium (=blad) van Descartes.

Het folium is symmetrisch in de lijn $y = x$ . Hoe je dat kunt bewijzen, zien we in deze opgave.
Je ziet eenvoudig aan de bewegingsvergelijking dat voor een punt $P (x (t), y (t))$ op het folium geldt: $y (t) = t \cdot x (t)$ .

Ga dat na.

Op tijdstip $t = 2$ is $P$ in het punt $(\frac{2}{3},1 \frac{1}{3})$

Ga na dat $P$ op $t = \frac{1}{2}$ in het punt $(1 \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ is.

Op tijdstip $t$ is $P$ in zeg $(x, y)$ .

Laat met een berekening zien dat $P$ op tijdstip $\frac{1}{t}$ in $(y, x)$ is.

Uit c volgt: als $(x, y)$ op de figuur ligt, dan ligt ook $(y, x)$ op de figuur.

Wat betekent dit voor de figuur?

We gaan verder met opgave 34.
Voor punten van de baan van $P$ geldt dus: $t = \frac{y}{x}$ .

Substitueer $t = \frac{y}{x}$ in $x = \frac{3 t}{1 + t^{3}}$ en laat zien dat de uitdrukking te herleiden is tot $x^{3} + y^{3} = 3 x y$ .

Hoe zie je aan de vergelijking $x^{3} + y^{3} = 3 x y$ dat de lijn $y = x$ symmetrieas van de baan is?

Opmerking:

Strikt genomen hebben we in opgave 35 niet laten zien de kromme met bewegingsvergelijkingen ${\begin{cases} x (t) = \frac{3 t}{1 + t^{3}} \\ y (t) = \frac{3 t^{2}}{1 + t^{3}} \end{cases}$
en de kromme met vergelijking $x^{3} + y^{3} = 3 x y$ hetzelfde zijn.

Vergelijkingen aanpassen

In het volgende bekijken we hoe je de vergelijking van een figuur moet aanpassen bij verschuiven, spiegelen en vermenigvuldigen. Hier hebben we in opgave 19 en opgave 20 ook al naar gekeken.
Met GeoGebra kun je een en ander controleren.

Hiernaast staat de figuur met vergelijking $y^{2} = x^{3}$ . Er staat ook een tweede figuur; die krijg je door de figuur bij $y^{2} = x^{3}$ te verschuiven over de vector $(\begin{matrix} ‐ 3 \\ 2 \end{matrix})$ .

Een roosterpunt van de tweede figuur is $(97,1002)$ .

Hoe kun je dat controleren met de vergelijking van de eerste figuur?

Om een vergelijking van de tweede figuur te vinden, gaan we zo te werk als in opgave 19 en opgave 20.
Een punt $(x, y)$ op de tweede figuur komt af van een punt $(x_{oud}, y_{oud})$ op de eerste figuur.

Geef een verband tussen $x$ en $x_{oud}$ en tussen $y$ en $y_{oud}$ .

Er geldt: $y_{oud}^{2} = x_{oud}^{3}$ . Met behulp van b kun je nu een vergelijking van de tweede firguur opschrijven.

Doe dat.

Controleer de vergelijking met GeoGebra.

Geef een vergelijking voor de figuur die je krijgt door die bij $y^{2} = x^{3}$ te verschuiven over $(\begin{matrix} 3 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ en controleer je vergelijking met GeoGebra.

Gegeven is een vergelijking in $x$ en $y$ van een of andere figuur. Je verschuift de figuur over de vector $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ .
De vergelijking van de beeldfiguur krijg je door in de oorspronkelijke formule $x$ te vervangen door $x - a$ en $y$ door $y - b$ .

De cirkel met middelpunt $O$ en straal $r$ wordt verschoven over $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ .

Ga na dat bovenstaande in overeenstemming is met wat je eerder over vergelijkingen van cirkels gezien hebt.

Doe hetzelfde voor de parabool met vergelijking $y = x^{2}$ .

De lijn $k$ met vergelijking $2 x + 3 y = 9$ gaat door het punt $(3,1)$ en $m$ is de lijn door $(‐ 1,5)$ evenwijdig met $k$ .

Geef een vergelijking van $m$ .

Je krijgt $m$ door $k$ te verschuiven over de vector $(\begin{matrix} ‐4 \\ 4 \end{matrix})$ .

Waarom?

Geef een vergelijking van $m$ door bovenstaande toe te passen. Klopt het met je antwoord van a?

We bekijken de baan $B$ van het bewegend punt $P$ uit opgave 5. De bewegingsvergelijkingen van $P$ zijn: ${\begin{cases} x (t) = t^{2} \\ y (t) = \frac{2}{3} t^{3} - 4 t \end{cases}$ .
In figuur 1 staat de baan van $P$ .

figuur 1

figuur 2

figuur 3

Vergelijk $x (t)$ met $x (‐ t)$ en en $y (t)$ met $y (‐ t)$ .

Waarom volgt uit onderdeel a: als $(a, b)$ op de baan ligt, dan ook $(a, ‐ b)$ ?
Wat volgt hieruit voor de symmetrie van de baan?

De punten $(x, y)$ van de baan voldoen aan de vergelijking
$y^{2} = \frac{4}{9} x^{3} - 5 \frac{1}{3} x^{2} + 16 x$ .

Toon dat aan.

De kromme met vergelijking $y^{2} = \frac{4}{9} x^{3} - 5 \frac{1}{3} x^{2} + 16 x$ valt overigens samen met de baan van $P$ .

Hoe zie je aan de vergelijking dat de kromme met vergelijking $y^{2} = \frac{4}{9} x^{3} - 5 \frac{1}{3} x^{2} + 16 x$ symmetrisch is in de $x$ -as?

In figuur 2 is de baan van $P$ gespiegeld.

In welke lijn? Geef een vergelijking van de beeldfiguur.

(hint)

Probeer in GeoGebra.

In figuur 3 is de baan van $P$ horizontaal met de factor $\frac{1}{3}$ vermenigvuldigd.

Geef een vergelijking van de kromme in figuur 3.

Gegeven een figuur waarvan je een vergelijking kent.
Om een vergelijking van de beeldfiguur te krijgen vervang je in de vergelijking van het origineel:

$x$ door $x - a$ en $y$ door $y - b$ als je de figuur verschuift over de vector $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ ,
$y$ door $\frac{1}{p} \cdot y$ als je de figuur verticaal vermenigvuldigt met $p$ ,
$y$ door $‐ x$ en $x$ door $‐ y$ als je de figuur spiegelt in de lijn
$y = ‐ x$ .

De (scheve) ellips in de figuur heeft vergelijking
$x^{2} - x y + y^{2} + 3 x + 3 y = 4$ .
De lijn $y = x$ is symmetrieas van de ellips.

Hoe volgt dat uit de vergelijking van de ellips?

De figuur wordt over de lijn $y = x$ verschoven, zó dat de $x$ -as in $(‐3,0)$ gesneden wordt.

Bereken exact hoe (twee mogelijkheden).

Cirkels en parabolen vermenigvuldigen

De cirkel met middelpunt $O (0,0)$ en straal $2 \sqrt{5}$ wordt verticaal met $\frac{1}{2}$ vermenigvuldigd. Je krijgt een ellips.

Geef een vergelijking van de ellips.

Controleer je vergelijking door de coördinaten van de snijpunten van de beeldfiguur met de $x$ -as en de $y$ -as te berekenen.

Gegeven is de parabool met vergelijking $y = 2 x^{2} - 6 x + 5$ .

Teken de parabool.

Schrijf de vergelijking van de parabool in de topvorm.

De parabool krijg je door de parabool met vergelijking $y = 2 x^{2}$ te verschuiven.

Hoe?

Net als bij de cirkel en parabool definiëren we een raaklijn aan een ellips als volgt.

Een raaklijn aan een ellips heeft één punt met de ellips gemeen. De andere punten van de raaklijn liggen buiten de ellips.

Op de ellips van opgave 41, met vergelijking $x^{2} + 4 y^{2} = 20$ ligt het punt $(2,2)$ .

Geef een vergelijking van de raaklijn aan de ellips in dat punt.

(hint)

Begin met een vergelijking van een raaklijn aan de cirkel waaruit de ellips ontstaan is.

De glijdende ladder hebben we ook in het hoofdstuk Bewegen bekeken.
$A$ en $B$ zijn de eindpunten van de ladder.
$A$ beweegt over de $x$ -as en $B$ over de $y$ -as. We bekijken de baan van punt $P$ van de ladder, zie figuur.
De ladder heeft lengte $3$ en $A P = 2$ en $B P = 1$ .

Druk de coördinaten van $P$ uit in $t = ∠ O A B$ rad.

De baan van $P$ kun je krijgen door een deel van de eenheidscirkel te vermenigvuligen ten opzicht van één van de coördinaatassen.

Hoe?

Geef een vergelijking van de baan van $P$ .

Gegeven is de cirkel met vergelijking ${(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ .
We maken bij deze vergelijking een tweede vergelijking: ${(x - 4)}^{2} + {(3 y + 3)}^{2} = 9$ .

Hoe vind je de figuur bij de tweede vergelijking uit de cirkel?

Teken de figuur bij elk van de vergelijkingen.

De figuur bij de tweede vergelijking is een ellips

Hoe kun je met de vergelijking de symmetrieassen van de ellips vinden?
Geef van elke symmetrieas een vergelijking.

Bereken de lengte van de lange en de korte as van de ellips.

Geef een vergelijking voor de ellips met symmetrieassen $x = 3$ en $y = 5$ , waarvan de lange as lengte $20$ heeft en de korte as lengte $4$ (twee mogelijkheden).

Gegeven is de parabool met vergelijking $y = x^{2}$ .

Geef een vergelijking voor de parabool die je krijgt door deze ten opzichte van de oorsprong met de factor $\frac{1}{p}$ , met $p \neq 0$ te vermenigvuldigen.
Vereenvoudig je antwoord.

Opmerking:

Uit opgave 47 volgt dat de grafieken van alle kwadratische functies gelijkvormig zijn.