15.2 Symmetrie >

Hoofdstukken > Meer over functies

Gegeven zijn de volgende krommen:
$K$ met $x (t) = \sin (t) en y (t) = \sin^{2} (t)$ ;
$L$ met $x (t) = \cos (t) en y (t) = \sin (2 t)$ ;
$M$ met $x (t) = \sin (t) en y (t) = \sin^{3} (t)$ .

Beantwoord voor elk van deze drie krommen de volgende twee vragen.

Wat is het verband tussen $x (t)$ en $x (‐ t)$ en tussen $y (‐ t)$ en $y (t)$ ?

Welke symmetrie van de grafiek van de kromme volgt hieruit?

Geef het verband tussen $x (π - t) en x (t)$ en tussen $y (π - t) en y (t)$ voor de kromme $L$ .
Welke symmetrie van de grafiek van de kromme $L$ volgt hieruit?

Van de functie $f$ is een deel van de grafiek getekend. Er is gegeven: $f (x) = f (‐ x)$ voor alle $x$ .

Maak de grafiek van $f$ op het werkblad af.

Van de functie $g$ is een deel van de grafiek getekend. Er is gegeven: $g (x) = ‐ g (‐ x)$ voor alle $x$ .

Maak de grafiek van $g$ op het werkblad af.

Wat betekent het voor de grafiek van $f$ dat $f (x) = f (‐ x)$ geldt voor alle $x$ ?
En wat betekent het voor de grafiek van $g$ dat $g (x) = ‐ g (‐ x)$ geldt voor alle $x$ ?

In de paragraaf Lissajousfiguren van het hoofdstuk Snelheid en richting hebben we de beweging van een punt bekeken dat aan twee onderling loodrechte trillingen deelnam. We gaan ook eens kijken hoe een punt beweegt als dat aan twee trillingen in dezelfde richting deelneemt.

In de figuur hieronder staan de grafieken van de functies
$p : x \to \sin (x)$ en en $q : x \to \sin (x + \frac{1}{3} π)$ . Ook is de grafiek van de somfunctie $f$ van $p$ en $q$ getekend.

Er geldt: $f (\frac{1}{3} π - x) = f (\frac{1}{3} π + x)$ voor alle $x$ .

Toon dat aan.
Wat betekent dit voor de grafiek van $f$ ?

Gezien de grafieken van de componenten is het duidelijk dat de grafiek van $f$ een top heeft midden tussen de toppen van deze componenten.

Wat is de $x$ -coördinaat van de top?

De grafiek van $f$ lijkt een sinusoïde.

Wat is in dat geval de amplitude van $f$ ?
En hoeveel loopt de grafiek van $f$ vóór op de grafiek van de sinusfunctie?

Als de grafiek van $f$ een sinusoïde is, geef dan een formule in de vorm: $f (x) = \dots \cdot \sin (x + \dots)$

Bewijs dat $f (x)$ inderdaad gelijk is aan het antwoord in vraag d.

Gegeven is de functie $f : x \to \sin (x) + \cos (x)$ . De grafiek staat hiernaast.
Er geldt: $f (\frac{1}{4} π - x) = f (\frac{1}{4} π + x)$ voor alle $x$ .

Toon dat aan. Wat betekent dit voor de grafiek van $f$ ?

De grafiek van $f$ is een sinusoïde, want $f (x) = \sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{1}{4} π)$ .

Toon dat aan.

Of je bij de volgende vragen passende formules gemaakt hebt, kun je ook met de GR controleren.

De grafiek van $f$ wordt gespiegeld in de $y$ -as.

Geef een formule voor de functie die dit spiegelbeeld als grafiek heeft.

De grafiek van $f$ wordt gespiegeld in de $x$ -as.

Geef een formule voor de functie die dit spiegelbeeld als grafiek heeft.

De grafiek van de functie $g$ krijg je door die van $f$ in de lijn $y = 2$ te spiegelen.

Geef een formule voor $g (x)$ .

De grafiek van de functie $f$ is puntsymmetrisch in zijn snijpunt met de $y$ -as. Voor $x \geq 0$ geldt: $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 1}$ .

Geef een formule voor $f (x)$ als $x \leq 0$ .

De functie $g$ heeft domein de getallen tussen $0$ en $π$ . Voor $0 < x < \frac{1}{2} π$ geldt $g (x) = \sin (x)$ . De grafiek van $g$ is puntsymmetrisch ten opzichte van het punt $(\frac{1}{2} π,1)$ .

Geef een formule voor $g (x)$ als $\frac{1}{2} π < x < π$

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{x}{e^{x} - 1}$ .

Toon aan dat de grafiek van de functie $f$ symmetrisch is ten opzichte van de $y$ -as.

Hieronder zijn de grafieken van de functies $h$ , $j$ , $k$ en $m$ getekend.

De grafiek van de functie $h$ is symmetrisch in de lijn $x = a$ .

Druk dit uit in een formule.

De grafiek van de functie $k$ krijg je door die van $j$ te spiegelen in de lijn $y = b$ .

Druk het verband tussen $j$ en $k$ uit in een formule.

De grafiek van de functie $m$ is puntsymmetrisch in het punt $(a, b)$ .

Druk dit uit in een formule.

Symmetrie

De grafiek van een functie $f$ is symmetrisch in de lijn $x = a$ als $f (a + x) = f (a - x)$ voor alle $x$ .
De grafiek van een functie $f$ is puntsymmetrisch in het punt $(a, b)$ als $\frac{f (a + x) + f (a - x)}{2} = b$ (d.w.z. $b$ is de gemiddelde waarde van de twee functiewaardes als je vanuit $a$ een afstand $x$ naar links en naar rechts gaat)
ofwel: $f (a + x) + f (a - x) = 2 b$ voor alle $x$ .
Het spiegelbeeld van de grafiek van een functie $f$ in de lijn $y = b$ is de grafiek van de functie $g : x \to 2 b - f (x)$ .
Want het gemiddelde van $f (x)$ en $g (x)$ is $b$ .

Opmerking:

Symmetrie kan op veel manieren in een formule uitgedrukt worden.
Bijvoorbeeld:
de grafiek van een functie $f$ is puntsymmetrisch in het punt $(a, b)$ als $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ of $f (a + x) - b = b - f (a - x)$ voor alle $x$ .