Wanneer heb je een functie?

Gegeven is de functie $f : x \to x^{2} - 2 x - 1$ . De grafiek van de functie staat in de figuur hiernaast met het spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
Er is geen functie waarvan het spiegelbeeld de grafiek is.

Waarom niet?

Het spiegelbeeld is te verdelen in twee stukken die elk wel de grafiek van een functie zijn.

Hoe? Geef van elk der delen een formule voor de bijbehorende functie.

De grafiek van $f$ snijdt het spiegelbeeld in $(‐ 1,2)$ .

Bepaal de andere drie snijpunten exact.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .
De functie $f$ is niet inverteerbaar.

Waarom niet?

Als je $f$ beperkt tot het domein $< \leftarrow,0]$ , dan is heeft de functie wel een inverse.

Geef een formule voor de inverse functie.

Een figuur in een assenstelsel is grafiek van een functie als op elke verticale lijn hooguit één punt van de figuur ligt.
Een functie is inverteerbaar, dat wil zeggen heeft een inverse functie als er op elke horizontale lijn hooguit één punt van de grafiek ligt.
Als $f$ inverteerbaar is, dan geldt voor de inverse $g$ van $f$ : $f (g (x)) = x$ voor alle $x$ in het domein van $g$ en $g (f (x)) = x$ voor alle $x$ in het domein van $f$ .

Een punt beweegt volgens ${\begin{cases} x = \cos (t) \\ y = \sin^{2} (t) + \sin (t) \end{cases}$ met $‐ π \leq t \leq π$ .
Hiernaast staat de baan $K$ getekend.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $K$ met de $x$ -as en de $y$ -as exact.

Bereken exact de coördinaten van de punten van $K$ waar de raaklijn horizontaal of verticaal is.

Wat is het verband tussen $x (π - t)$ en $x (t)$ , en wat is het verband tussen $y (π - t)$ en $y (t)$ ?
Wat betekent dit voor de baan $K$ ?

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $K$ met de parabool $y = x^{2}$ exact.

Gegeven is het verband ${(x^{2} + y - 1)}^{2} + x^{2} = 1$ .

Toon aan dat de punten van $K$ aan dit verband voldoen.

We gaan verder met de voorgaande opgave.
Er zijn twee functie waarvan de grafieken de baan $K$ vormen.

Geef van beide een formule

(hint)

Gebruik opgave 27e.

Als je weet hoe de grafiek van de functie $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ eruit ziet, kun je zonder te primitieveren $\int_{‐ 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ exact berekenen.

Hoe?

Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door $K$ exact.

Symmetrie en de inverse functie

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .
Hieronder staat de grafiek. Deze heeft twee horizontale asymptoten.

Welke zijn dat, denk je? Schrijf de bijbehorende limieten op.

De grafiek heeft een punt van symmetrie.

Bewijs dat.

De grafiek wordt gespiegeld in de lijn $y = x$ .

Geef een formule van de functie die dit spiegelbeeld als grafiek heeft.

(hint)

f (x) = 1 - \frac{1}{e^{x} + 1}

Gegeven is de functie $y = \frac{1 - x}{1 + x}$ .

Bewijs dat de functie symmetrisch is in de lijn $y = x$ .

Voor $x > \frac{1}{2}$ is de functie $f$ gegeven door $f (x) = \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})$ .
De functie $g$ is de inverse van $f$ . Hiernaast zijn de grafieken van $f$ en $g$ getekend.
Er geldt: $g (x) = \frac{1 + 2 e^{x}}{2 - e^{x}}$ .

Toon dat aan.

Hieronder zijn de grafiek van de functie $f : x \to \frac{1}{| x - 1 |} + 1$ en de lijnen $y = x$ en $x = 1$ getekend.
De functie $f$ heeft geen inverse.

Waarom niet?

De functie $f$ beperkt tot het domein $D$ bestaande uit de getallen groter dan $1$ (zeg maar de rechter tak) heeft wel een inverse.

Laat zien dat de functie op dat domein zijn eigen inverse is.

Wat betekent dat voor de symmetrie van de rechter tak?

Bewijs dat de functie $f$ symmetrisch in de lijn $x = 1$ is.

Welke lijn is dus symmetrieas van de linkertak?

De linkertak heeft ook een inverse.

Geef hiervan een formule.