Asymptoten en perforaties

Bekijk de functie $f : x \to \frac{1}{2} x + e^{‐ x}$ . De grafiek staat hiernaast, samen met de lijn $y = \frac{1}{2} x$ .
Naarmate je verder naar rechts gaat, hoe dichter de grafiek van $f$ bij de lijn $y = \frac{1}{2} x$ komt, preciezer gezegd:
$\lim_{x \to \infty} f (x) - \frac{1}{2} x = 0$ .
We zeggen dat de functie $f$ de lijn $y = \frac{1}{2} x$ als
scheve asymptoot heeft.

Vanaf welke $x$ exact geldt: $f (x) - \frac{1}{2} x < \frac{1}{1000}$ ?

Bereken de extreme waarde van $f (x)$ exact.

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{x^{2}}{x - 1}$ . De grafiek staat hiernaast.
De grafiek van $f$ heeft een scheve en een verticale asymptoot. Die zijn gestippeld.
Er zijn getallen $a$ , $b$ en $c$ zó, dat $f (x) = a x + b + \frac{c}{x - 1}$ .

Bereken die getallen exact.

(hint)

Maak een deling zoals in de paragraaf Rekentechniek van hoofdstuk 3 van deel 1 van V4.
Of schrijf

a x + b + \frac{c}{x - 1}

als één breuk.

Geef een vergelijking van de scheve asymptoot. Schrijf de bijbehorende limiet op, zoals in opgave 33.

Geef een vergelijking van de verticale asymptoot. Schrijf de bijbehorende limieten op.

De grafiek van $f$ is symmetrisch in het snijpunt $(1,2)$ van de asymptoten.

Bewijs dat.

De lijn $y = a x + b$ is scheve asymptoot van de grafiek van een functie $f$ als:
$\lim_{x \to \infty} f (x) - (a x + b) = 0$ of $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x) - (a x + b) = 0$ .

Opmerking:

Een functie van de vorm $x \to \frac{p (x)}{q (x)}$ waarbij $p$ en $q$ veeltermfuncties zijn waarbij de graad van $p$ één meer is dan de graad van $q$ heeft een scheve asymptoot, zoals in opgave 34.
Die vind je door een deling te maken zoals in de Rekentechniek van het hoofdstuk Verbanden uit 4vb besproken is.

Hiernaast staan de grafieken van de functies $f$ en $g$ met
$f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{x + 1}$ en $g (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ .
De grafieken hebben beide dezelfde scheve asymptoot.

Schrijf $f (x) = \dots \cdot x + \dots + \frac{\dots}{x + 1}$ en $g (x) = \dots \cdot x - \frac{x}{x^{2} + 1}$ , met op de stippellijnen de juiste getallen.

De grafiek van $f$ heeft een verticale asymptoot.

Geef een vergelijking hiervan.

Los exact op: $f (x) = g (x)$ .

(hint)

Gebruik onderdeel a.

Voor welke $x$ geldt: $f (x) \geq g (x)$ ?

Voor elke waarde van $a$ wordt de functie $f_{a}$ gegeven door:
$f_{a} (x) = \frac{4 x^{2} - 10 x + 4}{2 x - a}$ , met $x \neq \frac{1}{2} a$ . De grafiek van $f_{a}$ heeft een verticale asymptoot en een scheve asymptoot. De twee asymptoten snijden elkaar onder een hoek β. met β in graden.
In de figuur is de grafiek van $f_{5}$ met de asymptoten en hoek β weergegeven.

Bereken algebraïsch de waarde van β.

Er zijn waarden van $a$ , zoals $a = 5$ (zie figuur), waarvoor de grafiek van $f_{a}$ twee toppen heeft. De top met de kleinste $x$ -coördinaat noemen we de linkertop. Er is een waarde van $a$ waarvoor de linkertop op de $y$ -as ligt.

Bereken exact voor welke waarde van $a$ de linkertop op de $y$ -as ligt.

Er zijn twee waarden van $a$ waarvoor de grafiek van $f_{a}$ een lijn met een perforatie is.

Bereken exact, voor de grootste van die twee waarden van $a$ , de coördinaten van de perforatie.

Gegeven is de functie $f : x \to \ln (3 x^{2} + 2 x + 3) - \ln (x^{2} + 1)$

Wat is het domein van $f$ ?

Bereken $\lim_{x \to \infty} f (x)$ en $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x)$ exact.

(hint)

Schrijf

f (x) = \ln (\dots)

Bereken de extreme waarden van $f (x)$ exact.

Perforatie of niet

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{x}{e^{x} - 1}$ . Deze functie is al in opgave 23 aan de orde geweest.
Daar heb je laten zien dat de grafiek symmetrisch is in de $y$ -as.
De grafiek heeft twee scheve asymptoten.

Welke?

$0$ zit niet in het domein van de functie. Zo te zien heeft de grafiek een perforatie $(0,1)$ .
Dit is juist als $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ .

Toon dat aan door te laten zien dat deze limiet gelijk is aan $g^{'} (0)$ voor zekere functie $g$ .

(hint)

Je moet dus een functie

g

zoeken zó, dat

\frac{g (x) - g (0)}{x - 0} = \frac{e^{x} - 1}{x}

, dan

\frac{g (x) - g (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = g^{'} (0)

, ga dat na.

Voor elke $p$ is $f_{p}$ de functie met $f_{p} (x) = \frac{2 x + p}{x^{2} - 4}$ .

Wat is het domein van $f_{p}$ ?

Toon aan dat de grafiek van $f_{4}$ maar één verticale asymptoot heeft en een perforatie. Wat zijn de coördinaten van de perforatie?

Voor welke waarden van $p$ heeft de grafiek van $f_{p}$ een perforatie?

$f$ is de functie met $f (x) = \frac{x \cdot | x | - x}{x^{2} - 1}$ .

Bepaal de asymptoten en perforaties van de grafiek van $f$ . Licht je antwoord toe.

Bewijs dat de grafiek van $f$ symmetrisch is.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) - 1}$ op domein $[0,2 π]$ .

Teken de grafiek van $f$ op de GR.

De grafiek lijkt op een sinusoïde, maar is het niet.

Waarom niet?

Bereken $\lim_{x \to \frac{1}{2} π} f (x)$ exact.

Meer over asymptoten

Gegeven is de functie $f : x \to e x^{2} \cdot \ln | x |$ .

Wat is het domein van $f$ ?

Bepaal $\lim_{x \to \infty} f (x)$ , $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x)$ , $\lim_{x \to 0} f (x)$ en $\lim_{x \to 0} f^{'} (x)$ .

Bereken de extreme waarde van $f (x)$ exact.

De grafiek van $f$ heeft een perforatie: $(0,0)$ .

Als dat punt aan de grafiek wordt toegevoegd, wat is dan de raaklijn in dat punt aan de grafiek?

Gegeven is: $f : x \to x \cdot e^{‐ \frac{1}{2} x^{2}}$ .

Wat is $\lim_{x \to \infty} f (x)$ en $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x)$ ?

Bereken de coördinaten van de punten op de grafiek van $f$ met een horizontale raaklijn.

Voor welke waarden van $p$ heeft de vergelijking $f (x) = p$ precies twee oplossingen?
Licht je antwoord toe.

Gegeven is de functie $f : x \to x^{2} \cdot e^{p x}$ , voor alle mogelijke waarden van $p$ .

Voor welke waarden van $p$ is $\lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ ?

Voor welke waarde van $p$ heeft de grafiek van $f$ een horizontale raaklijn in het punt met eerste coördinaat $1$ ?

Gegeven is de functie $f : x \to x \cdot e^{\frac{1}{x}}$ . Hiernaast staat de grafiek.
De lijn $y = x + 1$ is ook getekend. Het lijkt erop dat deze lijn scheve asymptoot is van de grafiek van $f$ . In opgave 37 heb je bewezen dat $\lim_{a \to 0} \frac{e^{a} - 1}{a} = 1$ . Met een handige substitutie kun je hieruit exact bewijzen dat deze lijn scheve asymptoot is.

Doe dat.

(hint)

Substitueer

x = \frac{1}{a}

Er geldt: $\lim_{x ↑ 0} f (x) = 0$ .

Toon dit langs algebraïsche weg aan.

Bereken exact de coördinaten van het punt op de grafiek van $f$ met een horizontale raaklijn exact.

Gegeven is de functie $f : x \to \sqrt{x^{2} + 1}$ . De grafiek van $f$ is hieronder getekend met de lijnen $y = x$ en $y = ‐ x$ .

Het lijkt erop dat deze lijnen scheve asymptoot van de grafiek van $f$ zijn. Als $x$ erg groot is, dan $\sqrt{x^{2} + 1} \approx \sqrt{x^{2}} = x$ en als $x$ erg klein (negatief) is, dan $\sqrt{x^{2} + 1} \approx \sqrt{x^{2}} = ‐ x$ .
In deze opgave bewijzen we dat de lijnen $y = ‐ x$ en $y = x$ inderdaad scheve asymptoten van de grafiek van $f$ zijn.

In de figuur hiernaast is ook nog de grafiek van $h : x \to x + \frac{1}{x}$ getekend.
Het lijkt erop dat voor positieve $x$ geldt: $x < f (x) < h (x)$ .

Toon exact aan dat dit klopt.

(hint)

Kwadrateer.

Omdat de grafiek van $h$ de lijn $y = x$ als asymptoot heeft, is deze lijn ook scheve asymptoot van de grafiek van $f$ .

Toon aan dat de $y$ -as symmetrie-as van de grafiek van $f$ is.
Dus de lijn $y = ‐ x$ is ook scheve asymptoot.

We bekijken de functie $k : x \to \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ .
Als $x$ erg groot is, dan $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2} \approx \sqrt{x^{2}} = x$ . Maar de lijn $y = x$ is geen scheve asymptoot van de grafiek van $k$ !
Er geldt: $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2} = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + 1}$ .

Hoe ontstaat de grafiek van $k$ uit die van $f$ ?
Dus welke lijnen zijn asymptoot van de grafiek van $k$ ?

De functie $g$ met formule $g (x) = \sqrt{x^{2} + 100}$ ontstaat uit die van $f$ door puntvermenigvuldiging ten opzichte van de oorsprong $O$ met factor $10$ .

Toon dat aan.

(hint)

Puntvermenigvuldigen met

10

ten opzichte van

O

is hetzelfde als horizontaal en verticaal net

10

vermenigvuldigen.

Welke scheve asymptotenheeft de grafiek van $g$ ?

De grafiek van de functie $x \to \sqrt{x^{2} + a}$ heeft de lijnen $y = x$ en $y = ‐ x$ als scheve asymptoot voor elke $a$ .

Voor negatieve waarden van $a$ , zie de Extra opgaven.