Een kogeltje beweegt volgens .
De baan is hiernaast getekend.
Bewijs dat de -as symmetrie-as van de baan is.
Een verticale lijn snijdt de baan in twee punten die afstand tot elkaar hebben.
Bereken exact hoe ver deze punten van de -as afliggen. Twee mogelijkheden.
Wat is
,
,
,
?
Wat betekent dat voor de baan?
We gaan verder met de vorige opgave.
Druk uit in en/of .
Toon aan dat voor punten van geldt: .
Het gebied ingesloten door de baan en de lijn wordt om de -as gewenteld.
Bereken de inhoud van het gebied dat ontstaat exact.
Een kogeltje beweegt volgens:
.
Hiernaast is de baan getekend.
De baan 'snijdt zichzelf'.
Bereken het de coördinaten van het snijpunt exact.
Bereken langs algebraïsche weg de hoek waaronder de baan zichzelf snijdt in graden nauwkeurig.
De bewegingsvergelijkingen van zijn:
.
De helling van lijn is een functie van
. We noemen die .
Bereken de maximale waarde van exact met differentiëren.
Bereken de maximale waarde van exact zonder differentiëren.
Voor is de baan van het punt gegeven door de volgende
bewegingsvergelijkingen:
.
In de figuur is de baan van weergegeven.
Op bevindt zich in het hoogste punt van de baan.
Op bevindt zich in het laagste punt van de baan.
Tussen en snijdt de baan de -as één keer in het punt .
Bereken exact de snelheid van in punt .
Een punt beweegt volgens .
Bereken exact voor welke waarden van geldt: of .
Je kunt op voorhand uit het vorige onderdeel niet concluderen of de raaklijn in horizontaal of verticaal is.
Waarom niet?
De baan van bestaat uit twee takken, die in bij elkaar komen. Elke tak is grafiek van een functie.
Geef van beide functies een formule.
Wat is de richtingscoëficiënt van de raaklijn in aan de baan?
Hieronder staat de grafiek van de kromme met bewegingsvergelijkingen .
Bepaal , , .
Welke scheve asymptoot van volgt hieruit? Licht toe.
Bepaal , .
Er is een waarde van waarvoor bestaat, dat wil zeggen niet is.
Bepaal die waarde van .
Welke asymptoot van levert dit op?
In hoofdstuk 14 Snelheid en richting, staat in Eindpunt het volgende.
Een bewegend punt bevindt zich op tijdstip in
.
Op tijdstip is:
de snelheidsvector,
de versnellingsvector,
de grootte van de snelheid.
De raaklijn in aan de baan heeft richtingsvector
.
In het vervolg noemen we de grootte van de snelheid ook wel de baansnelheid waarmee het punt beweegt.
Een kogelbaan
We bekijken de eerste opgave van hoofdstuk 14 nog eens.
Een kogel wordt afschoten, we veronderstellen vanaf de grond.
De baan van de kogel ligt in een verticaal vlak.
We brengen daarin een assenstelsel aan:
de -as horizontaal over de grond en de -as
verticaal door het uiteinde van de loop.
De snelheidsvector waarmee de kogel de loop verlaat is te ontbinden in
zijn componenten langs de - en
-as.
Neem aan dat de horizontale component grootte m/s en de verticale component grootte m/s heeft.
Na seconden is de kogel in
;
hierbij is de valversnelling afgerond op m/s2. Hiernaast staat de baan.
Geef een formule voor de baansnelheid.
Bereken voor welke de baansnelheid minimaal is.
Geef een formule voor de afgeleide van de baansnelheid en controleer hiermee je antwoord op het voorgaande onderdeel.
De afgeleide van de baansnelheid noemen we de baanversnelling.
In de voorgaande opgave heb je voor de baanversnelling gevonden:
.
De baanversnelling is in de top van de kogelbaan.
Een punt beweegt volgens de standaard-cirkelbeweging, is dus op tijdstip in .
Bereken de snelheidsvector en de versnellingsvector waarmee beweegt.
Bereken ook de baansnelheid en de baanversnelling van .
Een punt beweegt volgens de standaard-cirkelbeweging.
Zonder te rekenen, kun je zeggen wat de baanversnelling van is.
beweegt immers met constante snelheid over de eenheidscirkel, dus de baanversnelling
is .
De versnellingsvector is echter niet de -vector, maar heeft grootte
en is steeds naar , het middelpunt van de eenheidscirkel gericht.
Een punt beweegt volgens
.
In Extra opgave 1 van hoofdstuk 14 hebben we de baan van bekeken.
Druk de snelheidheidsvector en de versnellingsvector van in uit.
Druk nu ook de baansnelheid en de baanversnelling van in uit.
Bereken de baansnelheid en de baanversnelling van in exact.
Bereken exact op welk tijdstip de baanversnelling is.
De bewegingsvergelijkingen van het punt zijn:
.
De baan is een ellips. De lange as heeft lengte en de korte as lengte .
Heb je enig idee in welke punten de baanversnelling is? Leg uit waarom je dat denkt.
De baansnelheid van noemen we .
Toon aan .
Hoe kun je aan de formule uit het vorig onderdeel zien dat de baanversnelling is in de snijpunten met de coördinaatassen?
De baanversnelling noemen we .
Er geldt: .
Toon dat aan.
Geef een formule voor de versnellingsvector.
Stelling
Een bewegend punt bevindt zich op tijdstip in
.
Als , dan is de
baanversnelling van : .
Hierbij is
de snelheidsvector en
de versnellingsvector waarmee
beweegt.
Uit bovenstaande en de stelling in paragraaf 9.3 van deel2 5vb volgt dat de baanversnelling gelijk is aan de lengte van de projectie van op als de hoek tussen en scherp is en het tegengestelde daarvan als de hoek tussen en stomp is.
Bewijs de stelling.
Hoe kun je met behulp van de stelling inzien dat de baanversnelling is in de top van een kogelbaan?
In opgave 71 b en opgave 72 d heb je een formule voor de baanversnelling moeten geven.
Geef deze formules ook door de stelling te gebruiken.
In hoofdstuk 14 Bewegen, hebben we de cycloïde bekeken.
Een punt neemt
deel aan twee bewegingen.
beweegt over de cirkel met middelpunt in wijzerrichting en is op tijdstip in het laagste punt van de cirkel.
beweegt over de lijn in de positieve -richting en is op tijdstip in .
We nemen aan dat de snelheid waarmee beweegt gelijk is aan .
Hieronder is de baan getekend.
De bewegingsvergelijkingen van zijn:
.
De baanversnelling noemen we . Er geldt: .
Toon dat aan.
Wat kun je zeggen over als op de -as komt?
Als , vind je de formule
uit onderdeel a: .
We berekenen op dit tijdstip ook met de stelling hierboven.
Teken een cirkel met straal met daarop het punt
op
.
Teken en en bereken
.
In onderdeel b heb je gezien dat niet bestaat op de momenten dat op de -as komt.
Onderzoek of op die momenten een perforatie heeft.