1

a

Er geldt: $x (‐ t) = x (t)$ en $y (‐ t) = ‐ y (t)$ , dus als $(x, y)$ op de baan ligt, dan ook $(x, ‐ y)$ . Ze worden namelijk op tegengestelde tijdstippen bereikt.

b

Stel dat één van de punten op tijdstip $t$ bereikt wordt, dan
$\frac{2 t}{t^{2} + 1} = \frac{3}{5}$ $\Leftrightarrow 3 t^{2} - 10 t + 3 = 0$ , dus $t = 3$ of $t = \frac{1}{3}$ . Dus de afstand is $x (3) = \sqrt{10}$ of $x (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \sqrt{10}$ .

c

$\lim_{t \to \infty} x (t) = \infty$ , $\lim_{t \to \infty} y (t) = 0$ , $\lim_{t \to ‐ \infty} x (t) = \infty$ , $\lim_{t \to ‐ \infty} y (t) = 0$ .
De $x$ -as is horizontale asymptoot.

2

a

$t = \frac{1}{2} x^{2} y$

b

De $x$ -coördinaat kwadrateren geeft:
$x^{2} = t^{2} + 1$ .
Vul hier voor $t = \frac{1}{2} x^{2} y$ en je vindt: $y^{2} = \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x^{4}}$ .

c

De inhoud is $π \int_{1}^{2} (\frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x^{4}}) d x =$ $π \cdot {[‐ 4 x^{‐ 1} + \frac{4}{3} x^{‐ 3}]}_{1}^{2} =$ $\frac{5}{6} π$ .

3

a

Op twee verschillende tijdstippen is het kogeltje in hetzelfde punt. Gezien de eerste coördinaat, zijn die tijdstippen tegengesteld, noem ze $t$ en $‐ t$ . Dan $t + \frac{20}{t + 6} = t + \frac{20}{‐ t + 6} \Leftrightarrow$ $t = 0 of t = \pm 4$ . Dus $t = \pm 4$ . Het kogeltje is dan in $(3,4)$ .

b

De snelheidsvector op tijdstip $t$ is: $(\begin{matrix} \frac{1}{2} t \\ 1 - \frac{20}{(t + 6)} \end{matrix})$ , dus op $t = 4$ : $(\begin{matrix} 2 \\ 0,8 \end{matrix})$ en op $t = ‐ 4$ : $(\begin{matrix} ‐ 2 \\ ‐ 4 \end{matrix})$ .
Noem de gevraagde hoek $α$ , dan $\cos α = \frac{| (\begin{matrix} 2 \\ 0,8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ ‐ 4 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 2 \\ 0,8 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} ‐ 2 \\ ‐ 4 \end{matrix}) |} = 0,747...$ ,
dus $α = 42 °$ .

4

a

$h (t) = \frac{\sin (t)}{2 + \cos (t)}$ en $h^{'} (t) = \frac{\cos (t) (2 + \cos (t)) - ‐ \sin (t) \cdot \sin (t)}{{(2 + \cos (t))}^{2}}$ , dus
$h^{'} (t) = \frac{2 \cos (t) + 1}{{(2 + \cos (t))}^{2}}$ en $h^{'} (t) = 0$ $\Leftrightarrow \cos (t) = ‐ \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow t = \frac{2}{3} π + k \cdot 2 π$ of $\Leftrightarrow t = \frac{4}{3} π + k \cdot 2 π$ .
In de figuur zie je dat $h (\frac{2}{3} π) = \frac{1}{3} \sqrt{3}$ het maximum is.

b

De maximale waarde wordt bereikt als lijn $O P$ de cirkel waarover $P$ beweegt aan de'bovenkant' raakt. Dan is hoek $O P M$ recht, dus $\sin (∠ P O M) = \frac{P M}{O M} = \frac{1}{2}$ , dus de hellingshoek is $30 °$ en de maximale waarde is $\tan (30 °) = \frac{1}{3} \sqrt{3}$ .

5

Snijpunt met de $y$ -as: $x = 0 \Leftrightarrow 2 \sin (t) \cos (t) + \sin (t) = 0 \Leftrightarrow$ $\sin (t) = 0$ of $\cos (t) = ‐ \frac{1}{2}$ , dus $t = \frac{2}{3} π$ .
De snelheidsvector op tijdstip $t$ is: $(\begin{matrix} 2 \cos (2 t) + \cos (t) \\ ‐ \sin (t) \end{matrix})$ , dus op $t = \frac{2}{3} π$ : $(\begin{array}{l} ‐ 1 \frac{1}{2} \\ ‐ \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{array})$ .
De grootte van de snelheid is dan: $\sqrt{{(1 \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2} \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{3}$ .

6

a

$x^{'} (t) = \frac{1}{2} t$ , dus $x^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$ .
$y^{'} (t) = 2 t - 1 \frac{1}{2} t^{2}$ , dus $y^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 0 of t = 1 \frac{1}{3}$ .

b

Op $t = 0$ is het punt $P$ in $O$ en de snelheidsvector op dat tijdstip is de nulvector. Deze heeft geen richting.

c

Uit de bewegingsvergelijking voor $x$ volgt: $t = \pm 2 \sqrt{x}$ .
Dit invullen in de bewegingsvergelijking voor $y$ geeft: $y = 4 x \pm 4 x \sqrt{x}$ .

d

$y^{'} = 4 \pm 6 \sqrt{x}$ , dus de helling van beide takken in $O$ is $4$ .

7

a

$\infty$ , $\infty$ , $2$ .

b

Uit het vorige onderdeel volgt dat voor de tak van $K$ die naar 'rechtsboven' gaat: $\lim_{x \to \infty} (y - x + 2) = 0$ , dus de lijn met vergelijking $y = x - 2$ is scheve asymptoot.

c

$\infty$ , $‐ \infty$

d

Als $a = \frac{1}{2}$ , dan $\lim_{t ↓ 0} (a x (t) + y (t)) = \lim_{t ↓ 0} (1 \frac{1}{2} t + 1) = 1$ .
Dit geeft de asymptoot $y = ‐ \frac{1}{2} x + 1$ .

8

a

$x^{'} (t) = 20$ en $y^{'} (t) = 40 - 10 t$ , dus de baansnelheid $v (t) = \sqrt{20^{2} + {(40 - 10 t)}^{2}} = 10 \sqrt{t^{2} - 8 t + 20}$ .

b

$t^{2} - 8 t + 20 = {(t - 4)}^{2} + 4$ , dus minimaal als $t = 4$ .

c

$v^{'} (t) = \frac{10 (t - 4)}{\sqrt{t^{2} - 8 t + 20}}$ ; als $v (t)$ minimaal is dan $v^{'} (t) = 0$ en dat is voor $t = 4$ .

9

a

De snelheidsvector is $(\begin{matrix} ‐ \sin (t) \\ \cos (t) \end{matrix})$ en de versnellingsvector $(\begin{matrix} ‐ \cos (t) \\ ‐ \sin (t) \end{matrix})$ .

b

De baansnelheid is $1$ en de baanversnelling is $0$ .

10

a

De snelheidsvector is $(\begin{matrix} 2 t - 2 \\ 2 t + 2 \end{matrix})$ en de versnellingsvector is $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$ .

b

De baansnelheid $v = \sqrt{{(2 t - 2)}^{2} + {(2 t + 2)}^{2}} = \sqrt{8 t^{2} + 8}$ en de baanversnelling $v^{'} = \frac{8 t}{\sqrt{8 t^{2} + 8}}$ .

c

Het tijdstip waarop $P$ in $A$ is noemen we $t$ , dan
$t^{2} - 2 t = 3$ en $t^{2} + 2 t = ‐ 1$ , dus $t = ‐ 1$ .
Dan $v = 4$ en $v^{'} = ‐ 2$ .

d

$v^{'} = 0 \Leftrightarrow t = 0$

11

a

In de snijpunten $(2,0)$ en $(‐ 2,0)$ met de $x$ -as, maakt $Q$ de scherpste bocht, dus daar is de baansnelheid minimaal (denk ik), dus de baanversnelling $0$ .
In de snijpunten $(0,1)$ en $(0, ‐ 1)$ met de $y$ -as, maakt $Q$ de flauwste bocht, dus daar is de baansnelheid maximaal, dus de baanversnelling $0$ .

b

De snelheidsvector $\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \cos (t) \\ ‐ \sin (t) \end{matrix})$ , dus $v^{2} = {| \vec{v} |}^{2} = 4 \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) =$ $4 (1 - \sin^{2} (t)) + \sin^{2} (t) = 4 - 3 \cdot \sin^{2} (t)$ .

c

De baanversnelling is $v^{'} (t)$ . Als $v$ maximaal of minimaal is, dan is $v^{'} (t) = 0$ . $v$ is maximaal als $\sin (t) = 0 \Leftrightarrow t = k \cdot π$ , dus in de snijpunten met de $y$ -as.
$v$ is minimaal als $\sin^{2} (t) = 1 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} π + k \cdot π$ dus in de snijpunten met de $x$ -as.

d

$a = \frac{‐ 6 \sin (t) \cos (t)}{2 \sqrt{4 - 3 \sin^{2} (t)}} = \frac{‐ 3 \sin (2 t)}{2 \sqrt{4 - 3 \sin^{2} (t)}}$ .

e

$\vec{a} = (\begin{matrix} x^{″} (t) \\ y^{″} (t) \end{matrix}) = ‐ (\begin{matrix} 2 \cdot \sin (t) \\ \cos (t) \end{matrix})$

12

De baansnelheid noemen we $v$ , dan $v = \sqrt{{(f^{'} (t))}^{2} + {(g^{'} (t))}^{2}}$ , dus de baanversnelling is $v^{'} (t) = \frac{1}{2 \sqrt{{(f^{'} (t))}^{2} + {(g^{'} (t))}^{2}}} \cdot (2 f^{'} (t) f^{″} (t) + 2 g^{'} (t) g^{″} (t))$ $= \frac{f^{'} (t) f^{″} (t) + g^{'} (t) g^{″} (t)}{\sqrt{{(f^{'} (t))}^{2} + {(g^{'} (t))}^{2}}}$ .
Verder: $\vec{v} = (\begin{matrix} f^{'} (t) \\ g^{'} (t) \end{matrix})$ en $\vec{a} = (\begin{matrix} f^{″} (t) \\ g^{″} (t) \end{matrix})$ , dus $\vec{a} \cdot \vec{v} = f^{'} (t) f^{″} (t) + g^{'} (t) g^{″} (t)$ en $| \vec{v} | = \sqrt{{(f^{'} (t))}^{2} + {(g^{'} (t))}^{2}}$ .
Dus $v^{'} (t) =$ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{| \vec{v} |}$ .

13

a

In de top van een kogelbaan is de snelheidsvector horizontaal en de valversnelling verticaal, dus hun inproduct is $0$ .

b

In opgave 71 geldt: $\vec{v} = (\begin{matrix} 2 t - 2 \\ 2 t + 2 \end{matrix})$ en $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$ . Dus $\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{| \vec{v} |} = \frac{2 (2 t - 2) + 2 (2 t + 2)}{\sqrt{8 t^{2} + 8}} = \frac{8 t}{\sqrt{8 t^{2} + 8}}$ .
In opgave 72 geldt: $\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \cos (t) \\ ‐ \sin (t) \end{matrix})$ en $\vec{a} = (\begin{matrix} ‐ 2 \sin (t) \\ ‐ \cos (t) \end{matrix})$ , dus $\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{| \vec{v} |} = \frac{‐ 4 \sin (t) \cos (t) + \sin (t) \cos (t)}{\sqrt{4 \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}} = \frac{‐ 6 \sin (t) \cos (t)}{2 \sqrt{4 - 6 \sin^{2} (t)}}$ $= \frac{‐ 3 \sin (2 t)}{2 \sqrt{4 - 3 \sin^{2} (t)}}$ .

14

a

$\vec{v} = (\begin{matrix} 1 - \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix})$ , dus de baansnelheid $v = \sqrt{{(1 - \cos (t))}^{2} + \sin^{2} (t)} = \sqrt{2 - 2 \cos (t)}$ .
Dus $a = v^{'} = \frac{2 \sin (t)}{2 \sqrt{2 - 2 \cos (t)}} = \frac{\sin (t)}{\sqrt{2 - 2 \cos (t)}}$ .

b

Dan bestaat $a$ niet, want dan $1 - \cos (t) = 0$ .

c

Zie figuur 1.

figuur 1

figuur 2

$\vec{s}$ de snelheidsvector waarmee $M$ beweegt en $\vec{w}$ de snelheidsvector waarmee $P$ om $M$ draait. De resultante is $\vec{v}$ . Omdat $\vec{s}$ en $\vec{w}$ lengte $1$ hebben, $\vec{s}$ horizontaal gericht is en $\vec{w}$ loodrecht op $P M$ staat, maakt $\vec{v}$ een hoek van $60 °$ met $\vec{s}$ .
Dus is $\vec{v}$ evenwijdig met lijn $P T$ , waarbij $T$ de top van de rolcirkel is, zie figuur 2. De versnellingsvector is $\vec{P M}$ , dus de baanversnelling is lengte van de projectie van $\vec{P M}$ op lijn $P T$ . Die is $P N =$ $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ , want driehoek $P N M$ is een $30$ - $60$ - $90$ -graden driehoek met schuine zijde $1$ .

d

Teken de grafiek van $a$ op de GR. Daaruit blijkt dat de grafiek een sprong maakt op die momenten $t$ van $‐ 1$ naar $1$ .