De amplitude is , de periode van is , dus die van is . De uitwijking is maximaal , dus op van de periode, dus op gaat de beweging stijgend door het evenwicht. Een fomule is dus: .
Bijvoorbeeld de lijn ; .
en
;
en
, dus
.
De grafiek van is puntsymmetrisch ten opzichte van
.
, dus
.
De (relatieve) maxima zijn en de
(relatieve) minima: , voor alle gehele waarden van
.
,
dus , dus
is scheve asymptoot.
De lijnen en zijn verticale asymptoot want bijvoorbeeld
en
.
, dus
.
Voor geen extreme waarde,
is een minimale waarde van
is een maximale waarde van
.
Tussen en neemt
alle waarden kleiner of gelijk aan aan;
rechts van en links van alle waarden kleiner dan .
Samengevat: alle waarden kleiner dan .
ligt in het domein als of als .
Omdat bijvoorbeeld meer dan één origineel heeft, want .
, dus (kwadrateer) , dus . (Controleren!)
;
,
De extreme waarde is .
De functie heeft twee scheve asymtoten, namelijk de lijn
(als ) en de lijn
(als ).
Dus
als en
als
.
De grafiek heeft twee scheve asymptoten:
- de lijn , want
.
- de lijn , want
.
bevindt zich op de
-as .
Als , dan is , dus bevindt zich dan op de lijn ,
als , dan is , dus bevindt zich dan op de lijn ,
als , dan is , dus bevindt zich op de lijn ,
als , dan is
, dus bevindt zich op de lijn
.
Lijnstuk is horizontaal als ,
Deze vergelijking oplossen met de SOLVER van de GR geeft bijvoorbeeld met :
of
.
De coördinaten van zijn dan (ongeveer) (of en
de coördinaten van zijn dan (ongeveer)
(of
.
en , dus , dus .
, dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt en een vergelijking van de raaklijn is dus: , omdat op de lijn ligt geldt: .
Het snijpunt van de raaklijn met de -as noemen we
, de projectie van op de
-as noemen we
en het snijpunt van de grafiek van met de -as noemen we ,
dan .
De oppervlakte van trapezium is:
.
De oppervlakte van het gebied begrensd door de -as, de grafiek van
en lijnstuk is:
.
De gevraagde oppervlakte is dan:
.
is de ketting
,
dus
is de ketting dus
. We moeten dus de maximale waarde van de functie met hebben.
,
dus , het maximum is dus .
Opmerking
Je kunt de formule voor ook vinden door in de formule
, de
en te verwisselen en
daarin de 'vrij' te maken.
, dus
.
; , dus de toppen zijn en . De afstand tussen deze punten is .
, dus en en , dus of .
als
, dus moet
zijn voor
, dus
.
.
De perforatie is dus .
en
Het punt van symmetrie is . Er geldt namelijk
Als je de grafiek op de GR tekent, zie je dat de lijn symmetrieas is. Dit kun je aantonen door te laten zien dat
de functie zijn eigen inverse is.
, dus is zijn eigen inverse, want
voor alle
behalve .
We verdelen het kruis in vier rechthoeken (gearceerd) en een vierkant. De rechthoeken
zijn
bij en het vierkant heeft zijden
.
De oppervlakte van het kruis is dus:
, want
en
.
Als maximaal is, dan is , dit levert het gevraagde antwoord als je deelt door .
Dan , verder: , dus en .
, dus en er moet eenheden naar rechts verschoven worden.
De asymptoten van de grafiek van zijn de lijnen ; de asymptoten van de grafiek van vind je door deze twee eenheden naar rechts te schuiven, je krijgt de lijnen met vergelijking .
De eerste coördinaat van noemen we , dan , dus , dus en .