1

a

De groeifactor is $2^{\frac{1}{14}} = 1,05075...$ , dus met $5,08$ % per dag.

b

$2 \cdot {}^{2} \log (20) = 2 \cdot \frac{\log (20)}{\log (2)} = 8,644$ weken.

c

In twee weken minder, dus in $6,644$ weken; in de dubbele tijd, dus $17,288$ weken.

2

$\sqrt{2} \cdot 2^{3}$ $= 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3} = 2^{3 \frac{1}{2}}$	$\frac{\sqrt{2}}{2^{3}}$ $= 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{‐ 3} = 2^{‐ 2 \frac{1}{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{2^{3}}}$ $= 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{‐ \frac{3}{4}} = 2^{‐ \frac{1}{4}}$	$\frac{\sqrt{2}}{2^{3} \cdot \sqrt[4]{2^{3}}}$ $= 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{‐ 3} \cdot 2^{‐ \frac{3}{4}} = 2^{‐ 3 \frac{1}{4}}$
${(\sqrt[4]{2^{3}})}^{3}$ $= {(2^{\frac{3}{4}})}^{3} = 2^{2 \frac{1}{4}}$	$\sqrt{\sqrt[4]{2^{3}}}$ $= {(2^{\frac{3}{4}})}^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{8}}$
$10 =$ $2^{{}^{2} \log (10)}$	$\frac{10}{2^{3}}$ $= 2^{{}^{2} \log (10) - 3}$

3

a

$1,585$

b

$4^{x} = 3$ $\Leftrightarrow 2^{2 x} = 2^{p} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} p$	${(\frac{1}{2})}^{x} = 3$ $\Leftrightarrow 2^{‐ x} = 2^{p} \Leftrightarrow x = ‐ p$
$4 \cdot 2^{x} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow 2^{x + 2} = 2^{‐ p} \Leftrightarrow x = ‐ p - 2$	$2^{x} = \frac{1}{3} \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 2^{x} = 2^{‐ p + \frac{1}{2}} \Leftrightarrow x = ‐ p + \frac{1}{2}$

4

Van links naar rechts en van boven naar beneden:

$2 = 4^{\frac{1}{2}}$ , dus ${}^{4} \log (2)$ $= \frac{1}{2}$ ;
$2 \sqrt[4]{4^{3}} = 4^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{\frac{3}{4}} = 4^{1 \frac{1}{4}}$ , dus ${}^{4} \log (2 \sqrt[4]{4^{3}})$ $= 1 \frac{1}{4}$ ;
$\frac{1}{3} \sqrt[4]{3} = 3^{‐ 1} \cdot 3^{\frac{1}{4}} = 3^{‐ \frac{3}{4}}$ , dus ${}^{3} \log (\frac{1}{3} \sqrt[4]{3})$ $= ‐ \frac{3}{4}$ ;
$\ln (2) \cdot^{2} \log (\sqrt{e}) = \ln (2) \cdot \frac{\ln (\sqrt{e})}{\ln (2)} = \ln (\sqrt{e}) = \frac{1}{2}$ .(Bij het eerste $=$ -teken stap je van grondtal $2$ over op grondtal $e$ .)

5

Van links naar rechts en van boven naar beneden:

$1 + \log (x) = \log (2)$ $\Leftrightarrow \log (10) + \log (x) = \log (2)$ $\Leftrightarrow 10 x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}$ ;
$1 + 2 \cdot \log (x) = \log (2)$ $\Leftrightarrow \log (10) + \log (x^{2}) = \log (2) \Leftrightarrow 10 x^{2} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ , want $x$ is positief;
$1 + \frac{1}{2} \cdot \log (x) = \log (2)$ $\Leftrightarrow \log (10) + \log (\sqrt{x}) = \log (2) \Leftrightarrow 10 \sqrt{x} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{25}$ ;
$1 - \frac{1}{2} \cdot \log (x) = \log (2)$ $\Leftrightarrow \log (10) - \log (\sqrt{x}) = \log (2) \Leftrightarrow \frac{10}{\sqrt{x}} = 2 \Leftrightarrow x = 25$ .

6

Van links naar rechts en van boven naar beneden:

$\log (x) + \log (x + 1) = \log (x + 2)$ $\Rightarrow \log (x (x + 1)) = \log (x + 2) \Rightarrow x (x + 1) = x + 2$ $\Leftrightarrow x^{2} = 2$ , dus $x = \sqrt{2}$ , want $x$ is positief;
$2 \cdot \log (x) - 1 = \log (x - 5) + \log (2)$ $\Rightarrow \log (\frac{1}{10} x^{2}) = \log (2 (x - 5)) \Rightarrow \frac{1}{10} x^{2} = 2 x - 10$ $\Leftrightarrow {(x - 10)}^{2} = 0$ , dus $x = 10$ ;
$2 \cdot \log (x) = \log (x + 2)$ $\Rightarrow \log (x^{2}) = \log (x + 2) \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow$
$(x + 1) (x - 2) = 0$ , dus $x = 2$ , want $x$ is positief;
$2 \cdot \log (‐ x) = \log (x + 2)$ , je krijgt weer $x^{2} - x - 2 = 0$ , maar nu $x = ‐ 1$ , want $x$ is negatief;
$2 \cdot {}^{2} \log (x) - {}^{2} \log (x + 4) = 1$ $\Rightarrow {}^{2} \log (x^{2}) - {}^{2} \log (x + 4) = {}^{2} \log (2)$
$\Rightarrow {}^{2} \log (\frac{x^{2}}{x + 4}) = {}^{2} \log (2)$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x + 4} = 2$ $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 8 = 0$ $\Leftrightarrow (x - 4) (x + 2) = 0$ , dus $x = 4$ , want $x$ is positief;
${}^{x} \log (x^{2}) = {}^{x} \log (2 - x)$ , je vindt $x^{2} + x - 2 = 0$ , er zijn geen oplossingen, want voor het grondtal $x$ moet gelden: $x > 0$ en $x \neq 1$ .

7

Substitueer $e^{x}$ $= y$ , van links naar rechts en van boven naar beneden:

Als $2 \cdot e^{x} + 8 = e^{2 x}$ , dan $y^{2} - 2 y - 8 = 0 \Leftrightarrow y = 4 of y = ‐ 2$ , dus $x = \ln (4)$ ;
Als $e^{x} + 2 \cdot e^{‐ x} = 3$ , dan $y + \frac{2}{y} = 3 \Leftrightarrow y^{2} - 3 y + 2 = 0 \Leftrightarrow y = 1 of y = 2$ , dus $x = 0 of x = \ln (2)$ ;
Als $2 \cdot e^{x} = e^{x + 2} - 2$ , dan $2 y = e^{2} \cdot y - 2 \Leftrightarrow (e^{2} - 2) \cdot y = 2 \Leftrightarrow y = \frac{2}{e^{2} - 2}$ , dus $x = \ln (\frac{2}{e^{2} - 2})$ ;
$2 \cdot e^{x} = e^{x + 2} + 2$ : je vindt nu $e^{x} = ‐ \frac{2}{e^{2} - 2}$ en deze vergelijking heeft geen oplossing want $‐ \frac{2}{e^{2} - 2} < 0$ ;
Als $2 \cdot e^{x} = e^{2 x + 1}$ , dan $2 y = e \cdot y^{2}$ , dus $y = \frac{2}{e}$ (want $y \neq 0$ ), dus $x = \ln (2) - 1$ ;
Als $\frac{8}{e^{2 x}} = e^{x - 3}$ , dan $\frac{8}{y^{2}} = e^{‐ 3} \cdot y$ , dus $y^{3} = 8 e^{3}$ , dus $y = 2 e$ , dus $x = \ln (2 e) = 1 + \ln (2)$ .

Substitueer $\log (x) = y$ , van links naar rechts:

Als ${(\log (x))}^{2} = 12 + \log (x)$ , dan $y^{2} - y - 12 = 0 \Leftrightarrow y = ‐ 3 of y = 4$ , dus $x = 10^{‐ 3} = 0,001$ of $x = 10^{4} = 10000$ ;
Voor elk positief getal $a$ geldt: ${}^{\frac{1}{2}} \log (a) = \frac{{}^{2} \log (a)}{{}^{2} \log (\frac{1}{2})} = ‐ {}^{2} \log (a)$ , dus als $2 \cdot^{2} \log (x) +^{\frac{1}{2}} \log (x) = 3$ , dan ${}^{2} \log (x) = 3$ , dus $x = 8$ .

8

a

$\log (y) = \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2} \cdot \log (x)$ $\to$ $\log (y) = \log (10^{\frac{1}{2}}) + \log (x^{1 \frac{1}{2}})$
$\to$ $\log (y) = \log (\sqrt{10}) + \log (x^{1 \frac{1}{2}}) = \log (\sqrt{10} \cdot x^{1 \frac{1}{2}})$ $\to$ $y = \sqrt{10} \cdot x^{1 \frac{1}{2}}$
(dus $a = \sqrt{10}$ en $b = 1 \frac{1}{2}$ ).

b

${}^{2} \log (2^{y}) = {}^{2} \log (5 \cdot 3^{x})$ $\to$ $y = {}^{2} \log (5 \cdot 3^{x}) = {}^{2} \log 5 + {}^{2} \log (3^{x})$
$\to$ $y = {}^{2} \log (5) + x \cdot {}^{2} \log (3)$ (dus $a = {}^{2} \log (3)$ en $b = {}^{2} \log (5)$ ).

c

$A = 10^{0,15 \cdot t + 2,68}$ $\to$ $A = 10^{2,68} \cdot {(10^{0,15})}^{t}$ $\to$ $A = 478,63 \cdot {1,41}^{t}$ .

d

$2 \cdot \log (z) = \log (x) + \log (y)$ $\to$ $\log (z^{2}) = \log (x \cdot y)$ $\to$ $z^{2} = x \cdot y$ $\to$ $z = \sqrt{x \cdot y}$ (negatieve wortel kan niet, want $z$ is positief).