Hiernaast is de grafiek van een functie getekend.
Er geldt: ,
dus de lijn is horizontale asymptoot van de grafiek van
.
Er geldt: ,
dus de lijn is verticale asymptoot van de grafiek van
.
dus de lijn is verticale asymptoot van de grafiek van
.
Als en bijvoorbeeld veeltermfuncties zijn en
en
, dan
of
en
of
.
Als ,
moet je nader onderzoek doen. De grafiek kan een perforatie hebben.
Gegeven is de functie .
Hiernaast staat de grafiek.
Voor en
zijn zowel
als
gelijk aan .
Er geldt: als
en
.
Dus , dus de grafiek van
heeft een perforatie .
en
, dus
de grafiek van heeft een verticale asymptoot .
Voorbeeld
Gegeven is de functie .
Als , dan .
Als , dan
als .
Dus .
De grafiek van (hiernaast getekend) heeft perforatie .
Voor elke waarde van is de functie met .
Voor welke waarde van heeft de grafiek van
slechts één verticale asymptoot?
Welk punt is in dat geval perforatie?
Voor welke waarde van is de lijn horizontale asymptoot?
Bepaal van de volgende functies de horizontale en verticale asymptoten en de perforaties. Schrijf de bijbehorende limieten op.
|
|
|
|
Standaardlimieten
In de figuur links staan de grafieken van twee standaard-exponentiële functies.
Als , dan
, .
Als , dan
, .
De -as is horizontale asymptoot van de grafiek van .
In de figuur rechts staan de grafieken van twee standaard-logaritmische functies.
De functie is de standaard-logaritmische functie met grondtal , met
of
.
Als , dan ,
.
Als , dan ,
.
De -as is verticale asymptoot.
In het derde voorbeeld is bij de eerste stap teller en noemer gedeeld door ,
in het zesde voorbeeld is bij de eerste stap teller en noemer vermenigvuldigd met ,
merk bij het zevende voorbeeld op: als , dan
.
Hiernaast is de grafiek van getekend. Je ziet dat de grafiek drie asymptoten heeft.
Geef een vergelijking van de asymptoten en schrijf de bijbehorende limieten op.
Gegeven is de functie .
Bepaal het domein van .
Controleer je antwoord door de grafiek op de GR te tekenen.
Bepaal de twee asymptoten van de grafiek van ; schrijf bijbehorende limieten op.
Er gebeurt iets bijzonders met de functie bij : de functiewaarde bestaat niet, maar
bestaat wel.
Het is een open randpunt. (Je zou het ook een perforatie kunnen noemen, maar dat is een beetje vreemd omdat
het zich aan de rand bevindt.)
Bepaal met een limiet de coördinaten van dit bijzondere punt.
Gegeven is de functie
.
Bepaal de vergelijking van de horizontale asymptoot.
Toon aan dat de grafiek een perforatie heeft en bereken exact de coördinaten van de perforatie.
Sommige functies hebben een scheve asymptoot. We geven een definitie.
De functie heeft de lijn als scheve asymptoot als of .
Neem de functie .
Je kunt in de teller geforceerd de factor
buiten haakjes halen, ook al past dat niet helemaal. Ga na:
dus
.
Er geldt blijkbaar: .
Omdat is de lijn
scheve asymptoot van de grafiek van .
Bereken de scheve asymptoot van .
Bereken de scheve asymptoot van .
Bereken de scheve asymptoot van .
Bereken de waarde van als de lijn de scheve asymptoot is.
Bereken deze waarde van en de coördinaten van de perforatie.
Voor elke waarde van is gegeven de functie
.
Stel een vergelijking op van elk van de asymptoten van de grafiek van .
Voor welke waarde(n) van heeft de grafiek een perforatie? Bereken exact de coördinaten van de perforatie(s).
Hiernaast is de grafiek van de functie getekend.
Wat is het domein van de functie?
Bereken langs algebraïsche weg , en .
Voor een negatief getal geldt: , dus voor
geldt:
.
Leg dat uit.
Bereken nu langs algebraïsche weg .