Differentiëren

Laat $P (a, b)$ een punt zijn van de grafiek van functie $f$ . Veronderstel dat de grafiek van $f$ glad is in $P$ .
Dan heeft de grafiek een raaklijn in $P$ . De helling van de grafiek is de richtingscoëfficiënt van die raaklijn; die laat zich benaderen met $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - b}{x - a}$ , waarbij $Δ x = x - a$ klein gekozen moet worden.
De exacte waarde van de helling is: $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{x \to a} \frac{y - b}{x - a}$ .

$\frac{Δ y}{Δ x}$ noemen we een differentiequotiënt;
$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ is het bijbehorende differentiaalquotiënt.
De helling in het punt met eerste coördinaat $a$ noteren we met $f^{'} (a)$ . De functie $f^{'}$ noemen we de afgeleide functie.
Een andere notatie voor de afgeleide functie is $\frac{d f}{d x}$ .

Regels voor differentiëren
$f$ , $g$ , $t$ en $n$ hieronder zijn functies en $c$ een getal.

Somregel

$(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$

Veelvoudregel

$(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$

Productregel

$(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}$

Quotiëntregel

${(\frac{t}{n})}^{'} = \frac{t^{'} \cdot n - n^{'} \cdot t}{n^{2}}$

Kettingregel

Als $x \to f (x) = u \to g (u) = f (g (x)) = y$ ,
dan $y^{'} (x) = g^{'} (u) \cdot f^{'} (x) = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)$ .

De afgeleide van standaardfuncties

Functie	Afgeleide functie
$y = x^{s}$	$y^{'} = s \cdot x^{s - 1}$ , voor elke $s$ uit $ℚ$ .
$y = a^{x}$	$y^{'} = a^{x} \cdot \ln (a)$ , $a > 0$
$y = {}^{a} \log (x)$	$y^{'} = \frac{1}{x \cdot \ln (a)}$ , $a > 0$ , $a \neq 1$
$y = \sin (x)$	$y^{'} = \cos (x)$
$y = \cos (x)$	$y^{'} = ‐ \sin (x)$
$y = \tan (x)$	$y^{'} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} = 1 + \tan^{2} (x)$

Opmerking:

De getallen uit $ℚ$ zijn de zogenaamde rationale getallen; het zijn de getallen van de vorm $\frac{p}{q}$ met $p$ en $q$ geheel en $q \neq 0$ , dus de 'breuken' en de gehele getallen.

Bij voorkeur neemt men voor het grondtal van de exponentiële en logaritmische functies het getal e, dan krijg je een eenvoudige afgeleide:

$y = e^{x}$	$y^{'} = e^{x}$
$y = \ln (x)$	$y^{'} = \frac{1}{x}$

Differentieer de volgende functies (vereenvoudigen hoeft niet).

$f : x \to {(2 x + 3)}^{10}$	$g : x \to {(\sqrt{2 x} + 3)}^{10}$
$h : x \to \frac{2 x}{x + 1}$	$k : x \to {(\frac{2 x}{x + 1})}^{3}$
$m : x \to x \cdot 2^{x}$	$n : x \to {(1 + x \cdot 2^{x})}^{4}$
$p : x \to \sin (e^{x})$	$q : x \to x^{2} \cdot \sin (e^{x})$
$r : x \to \frac{\ln (x) + 1}{\ln (x) - 1}$	$s = x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)$

Toon aan:

Als $f : x \to 6 x \sqrt{x} - 2 \sqrt{x}$ ,	dan $f^{'} (x) = \frac{9 x - 1}{\sqrt{x}}$ .
Als $g : x \to \frac{x}{\sqrt{x} + 1}$ ,	dan $g^{'} (x) = \frac{2 + \sqrt{x}}{2 \cdot {(\sqrt{x} + 1)}^{2}}$ .
Als $h : x \to x + \tan (x)$ ,	dan $h^{'} (x) = \tan^{2} (x) + 2$ .

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x \sqrt{2 x + 6}$ .

Bereken exact het punt op de grafiek van $f$ waar de raaklijn horizontaal is.

De lijn met vergelijking $y = 1 \frac{1}{2} x + p$ voor zekere $p$ raakt de grafiek van $f$ .

Bereken $p$ exact.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \sin (2 x) + 2 \sin (x)$ .

Bereken de nulpunten van $f (x)$ exact.

Bereken de coördinaten van de punten met een horizontale raaklijn exact.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = e^{‐ \frac{1}{4} x} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

Bereken de eerste coördinaat van de punten met een horizontale raaklijn exact.

Als de vorige opgave met de functie $f : x \to \tan (x) + 8 \sin (x)$ .

De hoek waaronder twee grafieken elkaar snijden is de hoek waaronder de raaklijnen in dat punt aan de grafieken elkaar snijden.

Gegeven zijn de functies $f$ en $g$ op $〈 0, \frac{1}{2} π 〉$ met
$f (x) = \sqrt{2} \cdot \sin (x)$ en $g (x) = \tan (x)$ .

Bereken de hoek waaronder de grafieken van $f$ en $g$ elkaar snijden in graden nauwkeurig.

De grafieken van de functies $f$ en $g$ raken elkaar in een punt met eerste coördinaat $a$ als
$f (a) = g (a)$ en $f^{'} (a) = g^{'} (a)$ .

Gegeven zijn de functies $f : x \to \tan (x) + 1$ en $g : x \to x + p$ , waarbij $‐ π \leq p \leq π$ .

Bereken exact voor welke waarden van $p$ de grafieken van $f$ en $g$ elkaar raken.

Gegeven is de functie $f : x \to x + \sqrt{1 - x}$ .
Hiernaast is de grafiek getekend met daarop de punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ . $A$ is het randpunt, $B$ de top, $C$ het snijpunt met de $y$ -as en $D$ het snijpunt met de $x$ -as.

Bereken de coördinaten van $A$ , $B$ , $C$ en $D$ exact.

Voor elke waarde van $p$ is $f_{p}$ de functie met
$f_{p} (x) = x + \sqrt{1 - p x}$ .
De functies $f_{p}$ hebben een gemeenschappelijk punt $P$ .

Toon dat aan.

Er is een waarde van $p$ waarvoor de grafiek van $f_{p}$ de grafiek van $f$ loodrecht snijdt.

Bereken die waarde van $p$ exact.

De tweede afgeleide

De tweede afgeleide van een functie $f$ is de afgeleide van de afgeleide functie van $f$ . We noteren deze als $f^{″}$ .

Voorbeeld:

Als $f : x \to x^{3}$ , dan $f^{″} (x) = 6 x$ .
Als $f : x \to \ln (x)$ , dan $f^{″} (x) = ‐ \frac{1}{x^{2}}$ .

Het punt met eerste coördinaat $a$ is een buigpunt van de grafiek van een functie $f$ als $f^{″} (x)$ van teken wisselt in $a$ .

Opmerking:

De functie $f : x \to x^{3}$ heeft een buigpunt in $O$ , want
$f^{″} (x) = 6 x$ wisselt van teken in $0$ .
De functie $g : x \to x^{4}$ heeft geen buigpunt in $O$ , want
$g^{″} (x) = 12 x^{2}$ wisselt niet van teken in $0$ .

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{1}{80} x^{6} - \frac{1}{8} x^{4}$ .

Bereken coördinaten van de buigpunten van de grafiek van $f$ exact.

Primitiveren

Definitie
Een functie $F$ heet primitieve van een functie $f$ als $F^{'} = f$ .

Stelling

Gegeven is een functie

f

op een interval met primitieve functie

F

.
Dan is elke primitieve van

f

van de vorm

F + c

waarbij

c

een constante functie is.

Primitiveren is dus het omgekeerde van differentiëren.
We maken een lijst.

Lijst met primitieven

functie $f$	primitieve functie $F$
$f (x) = x^{n}$	$F (x) = \frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1}$ , $n \neq ‐ 1$
$f (x) = \frac{1}{x}$	$F (x) = \ln \| x \|$
$f (x) = \sin (x)$	$F (x) = ‐ \cos (x)$
$f (x) = \cos (x)$	$F (x) = \sin (x)$
$f (x) = a^{x}$	$F (x) = \frac{1}{\ln (a)} \cdot a^{x}$ , $a > 0$ en $a \neq 1$
$f (x) = \ln (x)$	$F (x) = x \ln (x) - x$

Bepaal van de volgende functies een primitieve.

$y_{1} = 2 x^{3} - 3 x + 5$	$y_{2} = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x^{2}}$
$y_{3} = e^{2 x}$	$y_{4} = \frac{2}{e^{2 x}}$
$y_{5} = \sqrt{2 x + 7}$	$y_{6} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 7}}$
$y_{7} =$ $\sin (\frac{1}{2} x)$	$y_{8} = \sin^{2} (x)$
$y_{9} = \frac{x^{2} + 2 x}{x - 2}$	$y_{10} = \frac{3 x^{2} + x}{\sqrt{x}}$

(hint)

Schrijf

y_{2}

als een som van machten van

x

(hint)

Herschrijf

y_{8}

met behulp van formule 17 Goniometrie.

Een primitieve $F$ van de functie $f$ met $f (x) = (x + 2) \cdot e^{x}$ heeft een formule van de vorm $F (x) = (a x + b) \cdot e^{x}$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Bereken de getallen $a$ en $b$ exact.

Een primitieve $G$ van de functie $g$ met $f (x) = x \cdot 2^{x}$ heeft een formule van de vorm $G (x) = (a x + b) \cdot 2^{x}$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Bereken de getallen $a$ en $b$ exact.

Integreren

De integraal

We definiëren $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ ; hierbij is $F$ een primitieve van $f$ op $[a, b]$ .
We noemen $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ een bepaalde integraal, dit in tegenstelling tot een primitieve die we wel een onbepaalde integraal noemen.

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ is de gesigneerde oppervlakte op het interval $[a, b]$ , dat wil zeggen: de oppervlakte tussen de $x$ -as en de grafiek van $f$ moet je positief rekenen als die boven de $x$ -as ligt en anders negatief. Zo is bijvoorbeeld in de figuur hiernaast
$\int_{‐ 1}^{11} f (x) d x = 25 - 26 + 20 = 19$ .

$\int_{p}^{q} (f (x) - g (x)) d x$ is de gesigneerde oppervlakte tussen de grafieken van $f$ en $g$ op het interval $[p, q]$ , zie de figuur hieronder.

(Als de grafiek van $f$ boven die van $g$ ligt, moet je de oppervlakte tussen de grafieken positief rekenen en anders negatief.) In het bijzonder: als de grafiek van $f$ op het hele interval $[a, b]$ boven de grafiek van $g$ ligt, dan is de oppervlakte tussen de grafieken van $f$ en $g$ op $[a, b]$ : $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ .

De gekleurde figuur in het plaatje hiernaast bestaat uit twee rechthoekige driehoeken. De linker heeft rechthoekszijden $1$ en $2$ . De rechter is een uitvergroting van de linker met factor $2$ .

Wat is de oppervlakte van elk van de driehoeken?

De hoekpunten van de rechte hoeken van de driehoeken hebben coördinaten $(‐ 1,0)$ en $(5,0)$ . De schuine zijden van de driehoeken liggen op de grafiek van een functie. Die noemen $f$ .

Bereken met behulp van je antwoord op a $\int_{‐ 1}^{5} f (x) d x$ .

Geef een formule voor $f (x)$ en bereken $\int_{‐ 2}^{4} f (x) d x$ met een primitieve.

Het gebied ingesloten door de parabool $y = x^{2}$ en de lijn $y = p$ heeft voor zeker waarde van $p$ oppervlakte $20$ .

Bereken $p$ exact.

Gegeven is de functie $f : x \to | x - 3 | - 1$ .

Bereken $\int_{0}^{4} f (x) d x$ exact.

(hint)

\int_{0}^{4} = \int_{0}^{3} + \int_{3}^{4}

Teken de grafiek van $f$ op het interval $[0,4]$ .

Bereken $\int_{0}^{4} f (x) d x$ exact zonder primitiveren.

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f$ met
$f (x) = (x + 2) (x + 1) (x - 1)$ .
De oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as is gekleurd.

Bereken de oppervlakte van dit gebied exact.

Het gekleurde gebied in de figuur hiernaast wordt begrensd door de lijnen $x = 0$ , $x = 4$ , $x + y = 4$ en de grafiek van de functie $y = 3 \sqrt{x}$ .

Bereken de oppervlakte van dit gebied exact.

De inhoud van een lichaam met een integraal berekenen

Door een lichaam $L$ wordt een getallenlijn (as) gestoken. $L$ wordt begrensd door vlakken op hoogte $a$ en $b$ loodrecht op de as, met $a < b$ .
De oppervlakte van het lichaam op hoogte $x$ noemen we $O (x)$ . Dan is de inhoud van $L$ gelijk aan $\int_{a}^{b} O (x) d x$ .

Een bijzonder gevolg hiervan staat op de volgende bladzijde. De inhoud van een omwentelingslichaam

Stelling
$f$ is een functie op het interval $[a, b]$ .
Als je het gebied tussen de grafiek van $f$ en de $x$ -as om de $x$ -as wentelt (figuur links), krijg je een lichaam met inhoud:
$\int_{a}^{b} π y^{2} d x$ .
Als je het gebied tussen de grafiek van $f$ en de $y$ -as om de $y$ -as wentelt (figuur rechts), krijg je een lichaam met inhoud:
$\int_{p}^{q} π x^{2} d y$ .
Hierbij is:

$p = f (a)$ en $q = f (b)$ als $f$ stijgend is,
$p = f (b)$ en $q = f (a)$ als $f$ dalend is.

Voorbeeld:

Het vlakdeel ingesloten door de $x$ -as, de $y$ -as en de grafiek van de functie $y = 2 - \sqrt{x}$ wordt om de $x$ -as gewenteld (de figuur hierboven links) en om de $y$ -as (de figuur hierboven rechts).

De inhoud van de figuur links is:
$\int_{0}^{4} π {(2 - \sqrt{x})}^{2} d x = π \cdot {[4 x - \frac{8}{3} x \sqrt{x} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{4} = 2 \frac{2}{3} π$ .
Om de inhoud van de figuur rechts te berekenen moet je eerst $x$ als functie van $y$ schrijven: $x = {(2 - y)}^{2}$
De inhoud van de figuur rechts is:
$\int_{0}^{2} π {(2 - y)}^{4} d y = π \cdot {[‐ \frac{1}{5} {(2 - y)}^{5}]}_{0}^{2} = 6 \frac{2}{5} π$ .

Het vlakdeel ingesloten door de grafiek van de functie
$y = \frac{1}{2} \sqrt{3 - x^{2}}$ en de $x$ -as wordt om de $x$ -as gewenteld.

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam exact.

Het vlakdeel ingesloten door de parabool met vergelijking
$y = x^{2}$ en de lijn $y = 1$ , zie figuur linksboven wordt om de $y$ -as, de $x$ -as en de lijn $y = 1$ gewenteld. Je krijgt achtereenvolgens de figuren rechtsboven, linksonder en rechtsonder. De inhoud van de drie figuren noemen we achtereenvolgens $U$ , $V$ en $W$ .

Bereken $U$ , $V$ en $W$ exact.

(hint)

Bij de berekening van $W$ : verschuif de grafiek van de functie $y = x^{2}$ zó, dat dat $W$ gelijk is aan de inhoud van een omwentelingslichaam om de $x$ -as.

Gegeven is de functie $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Voor elke $p > 1$ zijn verder de lijnen $k_{p}$ met vergelijking $y = p x$ en de lijnen $m_{p}$ met vergelijking $x = p$ gegeven.
$V$ is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van $f$ , de $x$ -as en de lijnen $k_{p}$ en $m_{p}$ . Zie figuur.

Neem $p = 4$ .

Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door $V$ om de $x$ -as te wentelen.

Bereken exact de waarde van $p$ als geldt:
$oppervlakte (V) = 4$ .

$A$ is het snijpunt van $k_{p}$ met de grafiek van $f$ en $B$ het snijpunt van $m_{p}$ met de grafiek $f$ . Lijn $A B$ snijdt de $x$ -as in $C$ .

Bereken exact $p$ als $B$ het midden van lijnstuk $A C$ is.

In een kubus met ribbe $2$ zit een staaf die twee hoekpunten verbindt, zie figuur 1. De kubus wordt om een ribbe rond gedraaid. De staaf beschrijft een omwentelingslichaam, dat lijkt op het bouwsel in figuur 2.
De afstand van een punt op de staaf tot de draaias hangt af van de hoogte $h$ in de kubus.

figuur 1

figuur 2

Druk die afstand uit in $h$ .

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam exact.

We gaan op zoek naar een primitieve van de functie $h$ met $h (x) = x \sqrt{2 x + 1}$ .

Differentieer de functie $P : x \to {\sqrt{2 x + 1}}^{5}$ .

Uit het antwoord van a volgt dat de functie
$H : x \to a \cdot P (x) + b {\sqrt{2 x + 1}}^{3}$ een primitieve van de functie $h$ is voor zekere waarden van $a$ en $b$ .

Bereken die waarden van $a$ en $b$ exact.

figuur 1

figuur 2

In figuur 1 zie je het bovenste van een toren van de stadsmuur van Rothenburg ob der Tauber. We berekenen de inhoud van een lichaam dat lijkt op het dak van de toren.
Door dat lichaam steken we een as. De doorsnede van het lichaam op hoogte $h$ loodrecht op de as is een vierkant waarvan de hoekpunten alle vier dezelfde afstand $a$ tot de as hebben.
Er geldt: $h = 3 - \sqrt{3 a - 3}$ . De grafiek van het verband tussen $a$ en $h$ staat in figuur 2.
Voor de 'onderkant' van het lichaam geldt: $h = 0$ en voor de 'bovenkant' $h = 3$ .
De oppervlakte van de doorsnede op hoogte $h$ noemen we $O (h)$ .

Toon aan: $O (h) = \frac{1}{18} {({(h - 3)}^{2} + 3)}^{2}$ .

Bereken de inhoud van het lichaam exact.