1

$f^{'} (x) = 20 {(2 x + 3)}^{9}$ ; $g^{'} (x) = 10 {(\sqrt{2 x} + 3)}^{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x}}$ ;
$h^{'} (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ ; $k^{'} (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{2}} \cdot {(\frac{2 x}{x + 1})}^{2}$ ;
$m^{'} (x) = 2^{x} + x \cdot 2^{x} \cdot \ln (2)$ ; $n^{'} (x) = 4 {(1 + x \cdot 2^{x})}^{3} (2^{x} + x \cdot 2^{x} \cdot \ln (2))$ ;
$p^{'} (x) = e^{x} \cdot \cos (e^{x})$ ; $q^{'} (x) = 2 x \cdot \sin (e^{x}) + x^{2} \cdot e^{x} \cdot \cos (e^{x})$ ;
$r^{'} (x) = ‐ \frac{2}{x {(\ln (x) - 1)}^{2}}$ ; $s^{'} (x) = 2 x \cdot \ln (x^{2} + 1) + \frac{2 x^{3}}{x^{2} + 1}$

2

$f (x) = 6 x^{1 \frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ , dus $f^{'} (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} - x^{‐ \frac{1}{2}} = x^{‐ \frac{1}{2}} (9 x - 1) = \frac{9 x - 1}{\sqrt{x}}$
$g^{'} (x) = \frac{(\sqrt{x} + 1) - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot x}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}} = \frac{2 \sqrt{x} + 2 - \sqrt{x}}{2 {(\sqrt{x} + 1)}^{2}}$
$h^{'} (x) = 1 + \tan^{2} (x) + 1$

3

a

$f^{'} (x) = \sqrt{2 x + 6} + \frac{x}{\sqrt{2 x + 6}}$ en $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow ‐ \sqrt{2 x + 6} = \frac{x}{\sqrt{2 x + 6}} \Leftrightarrow 2 x + 6 = ‐ x$ , dus $x = ‐ 2$ . De raaklijn is horizontaal in $(‐ 2, ‐ 2 \sqrt{2})$ .

b

$f^{'} (x) = 1 \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{2 x + 6} + \frac{x}{\sqrt{2 x + 6}} = 1 \frac{1}{2}$ $3 x + 6 = 1 \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 6}$ , dus ${(2 x + 4)}^{2} = 2 x + 6$ $\Leftrightarrow x = ‐ 1$ of $x = ‐ 2 \frac{1}{2}$ . Alleen $x = ‐ 1$ voldoet, dus de lijn moet door $(‐ 1, ‐ 2)$ gaan , dus $p = ‐ \frac{1}{2}$ .

4

a

$f (x) = 0 \Leftrightarrow \sin (x) \cos (x) + \sin (x) = 0$ , dus $\cos (x) = ‐ 1$ of $\sin (x) = 0$ . Dus $x = k \cdot π$ , met $k$ geheel.

b

$f^{'} (x) = 2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ , dus $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow$ $\cos (2 x) = \cos (x + π)$ , dus $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow$ $2 x = \pm (x + π) + k \cdot 2 π$ , met $k$ geheel. Dus $x = \frac{1}{3} π + k \cdot \frac{2}{3} π$ .
De punten zijn: $(\frac{1}{3} π + k \cdot 2 π,1 \frac{1}{2} \sqrt{3})$ , $(1 \frac{2}{3} π + k \cdot 2 π,‐1 \frac{1}{2} \sqrt{3})$ en $(π + k \cdot 2 π,0)$ , met $k$ geheel.

5

$f^{'} (x) = ‐ \frac{1}{4} e^{‐ \frac{1}{4} x} \cdot \sqrt{2 x + 1} + \frac{e^{‐ \frac{1}{4} x}}{\sqrt{2 x + 1}}$ , dus $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \sqrt{2 x + 1} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} \Leftrightarrow 2 x + 1 = 4$ , dus $x = 1 \frac{1}{2}$ .

6

$f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 8 \cos (x)$ , dus $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \cos^{3} (x) = ‐ \frac{1}{8} \Leftrightarrow \cos (x) = ‐ \frac{1}{2}$ , dus $x = \frac{2}{3} π + k \cdot 2 π$ of $x = ‐ \frac{2}{3} π + k \cdot 2 π$ met $k$ geheel.

7

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sqrt{2} \cdot \sin (x)$ ; $\sin (x) \neq 0$ , dus $\cos (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} π$ . $f^{'} (\frac{1}{4} π) = 1$ en $g^{'} (\frac{1}{4} π) = 2$ .
De gevraagde hoek is $\tan^{‐ 1} (2) - \tan^{‐ 1} (1) = 63 - 45 = 18$ graden.

8

Neem aan dat ze elkaar raken in een punt met eerste coördinaat $a$ , dan $f (a) = g (a)$ en $f^{'} (a) = g^{'} (a)$ , dus $\tan (a) + 1 = a + p$ en $\frac{1}{\cos^{2} (a)} = 1$ .
Uit de tweede vergelijking volgt: $a = k \cdot π$ voor alle gehele waarden van $k$ .
Als je dit in de eerste vergelijking invult, krijg je: $1 = k \cdot π + p$ , dus $p = 1$ of $p = 1 - π$ .

9

a

$A (1,1)$ en $C (0,1)$ . De eerste coördaat van $D$ is oplossing van de vergelijking $x + \sqrt{1 - x} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{1 - x} = ‐ x$ , dus $1 - x = x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{‐ 1 \pm \sqrt{5}}{2}$ . Dus $D = (‐ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{5},0)$ .
$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$ , dus $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}$ , dus $B = (\frac{3}{4},1 \frac{1}{4})$ .

b

$f_{p} (0) = 1$ voor alle $p$ , dus $P = (0,1)$ .

c

$f^{'} (0) = \frac{1}{2}$ , dus moet: ${f_{p}}^{'} (0) = ‐ 2$ .
${f_{p}}^{'} (x) = 1 - \frac{p}{2 \sqrt{1 - p x}}$ , dus $1 - \frac{1}{2} p = ‐ 2$ , dus $p = 6$ .

10

$f^{″} (x) = \frac{3}{8} x^{4} - \frac{12}{8} x^{2}$ en $f^{″} (x) = 0 \Leftrightarrow x = ‐ 2, 2 of 0$ .
$f^{″} (x)$ wisselt van teken in $‐ 2$ en in $2$ , maar niet in $0$ .
De buigpunten zijn: $(‐ 2, ‐ 1 \frac{1}{5})$ en $(2, ‐ 1 \frac{1}{5})$ .

11

$Y_{1} = \frac{1}{2} x^{4} - 1 \frac{1}{2} x^{2} + 5 x$ ; $y_{2} = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x^{2}} = 1 + 2 x^{‐ 1} + 3 x^{‐ 2}$ , dus $Y_{2} = x + 2 \ln | x | - \frac{3}{x}$ ;
$Y_{3} = \frac{1}{2} e^{2 x}$ ; $y_{4} = 2 e^{‐ 2 x}$ , dus $Y_{4} = ‐ e^{‐ 2 x}$ ;
$Y_{5} = \frac{1}{3} {\sqrt{2 x + 7}}^{3}$ ; $Y_{6} = \sqrt{2 x + 7}$ ;
$Y_{7} = ‐ 2 \cos (\frac{1}{2} x)$ ; $y_{8} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x)$ , dus $Y_{8} = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)$ ;
$y_{9} = x + 4 + \frac{8}{x - 2}$ , dus $Y_{9} = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x + 8 \ln | x - 2 |$ ;
$y_{10} = 3 x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ , dus $Y_{10} = 1 \frac{1}{5} x^{2} \sqrt{x} + \frac{2}{3} x \sqrt{x}$ .

12

a

$F^{'} (x) = a \cdot e^{x} + (a x + b) \cdot e^{x}$ $= (a x + a + b) \cdot e^{x}$ , dus $a = 1$ en $a + b = 2$ , dus $a = b = 1$ .

b

$G^{'} (x) = (a + (a x + b) \ln (2)) \cdot 2^{x}$ $= (a \ln (2) \cdot x + a + b \ln (2)) \cdot 2^{x}$ , dus $a \ln (2) = 1$ en $a + b \ln (2) = 0$ . Dus: $a = \frac{1}{\ln (2)}$ en $b = ‐ \frac{1}{\ln^{2} (2)}$ .

13

a

$1$ en $4$

b

$4 - 1 = 3$

c

$f (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ , dus $\int_{‐ 1}^{5} (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) d x = {[\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x]}_{‐ 1}^{5} = 3$

14

Zie figuur op de volgende bladzijde links. De rechthoek heeft oppervlakte $2 p \sqrt{p}$ .
De oppervlakte van het deel van de rechthoek onder de parabool is $\int_{‐ \sqrt{p}}^{\sqrt{p}} x^{2} d x = {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{‐ \sqrt{p}}^{\sqrt{p}} = \frac{2}{3} p \sqrt{p}$ .
Dus $1 \frac{1}{3} p \sqrt{p} = 20 \Leftrightarrow p = \sqrt[3]{225}$ .

15

a

$\int_{0}^{4} f (x) d x =$ $\int_{0}^{3} (2 - x) d x +$ $\int_{3}^{4} (x - 4) d x$ $= {[2 x - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{3} + {[\frac{1}{2} x^{2} - 4 x]}_{3}^{4}$ $= 1 \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1$ .

b

Zie figuur hieronder rechts.

figuur bij opgave 45

figuur bij opgave 46

c

De integraal is de gesigneerde oppervlakte, dus
$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$ .

16

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ ; de oppervlakte is: $\int_{‐ 2}^{‐ 1} f (x) d x - \int_{‐ 1}^{1} f (x) d x$ ${[\frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{‐ 2}^{‐ 1} - {[\frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{‐ 1}^{1}$ $= \frac{5}{12} + 2 \frac{2}{3} = 3 \frac{1}{12}$ .

17

Het snijpunt van de lijn $x + y = 4$ met de grafiek van $y = 3 \sqrt{x}$ is $(1,3)$ .
De oppervlakte is $\int_{0}^{1} (4 - x - 3 \sqrt{x}) d x - \int_{1}^{4} (4 - x - 3 \sqrt{x}) d x$ $= {[4 x - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x \sqrt{x}]}_{0}^{1} - {[4 x - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x \sqrt{x}]}_{1}^{4} =$ $1 \frac{1}{2} - (‐ 8 - 1 \frac{1}{2}) = 11$ .

18

$π \int_{‐ \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} {(\frac{1}{2} \sqrt{3 - x^{2}})}^{2} d x = π \int_{‐ \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (\frac{3}{4} - \frac{1}{4} x^{2}) d x = π {[\frac{3}{4} x - \frac{1}{12} x^{3}]}_{‐ \sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$ $= π \sqrt{3}$

19

$U = \int_{0}^{1} π x^{2} d y = \int_{0}^{1} π y d y = π \cdot {[\frac{1}{2} y^{2}]}_{0}^{1} = \frac{1}{2} π$ .
Noem het omwentelingslichaam dat je krijgt door het vlakdeel om de $x$ -as te wentelen $T$ , dan is $2 \cdot T + V$ de inhoud van een cilinder met hoogte $2$ en straal van de grondcirkel $1$ .
Dus $V = 2 π - 2 \cdot \int_{0}^{1} π x^{4} d x = 2 π - 2 \cdot π \cdot {[\frac{1}{5} x^{5}]}_{0}^{1} = 1 \frac{3}{5} π$ .
$W$ is de inhoud van het omwentelingslichaam dat je krijgt door het vlakdeel ingesloten door de parabool $y = x^{2} - 1$ en de $x$ -as om de $x$ -as te wentelen.
Dus $W = \int_{‐ 1}^{1} π {(x^{2} - 1)}^{2} d x = π \cdot {[\frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3} + x]}_{‐ 1}^{1} = 1 \frac{1}{15} π$ .

20

a

Het snijpunt van $f$ en $k_{4}$ : $4 x = \frac{1}{x}$ $\to$ $x = \frac{1}{2}$ ;
inhoud = $π \cdot \int_{0}^{\frac{1}{2}} {(4 x)}^{2} d x + π \cdot \int_{\frac{1}{2}}^{4} {(\frac{1}{x})}^{2} d x = π \cdot {[\frac{16}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{1}{2}} + π \cdot {[‐ \frac{1}{x}]}_{\frac{1}{2}}^{4} = \frac{2}{3} π + \frac{1}{4} π = \frac{11}{12} π$

b

Het snijpunt van $f$ en $k_{p}$ : $p x = \frac{1}{x}$ $\to$ $x = \sqrt{\frac{1}{p}}$ ;
Tot het snijpunt: oppervlakte = $\int_{0}^{\sqrt{\frac{1}{p}}} p x d x = {[\frac{1}{2} p x^{2}]}_{0}^{\sqrt{\frac{1}{p}}} = \frac{1}{2}$ ;
Vanaf het snijpunt: oppervlakte = $\int_{\sqrt{\frac{1}{p}}}^{p} \frac{1}{x} d x = {[\ln | x |]}_{\sqrt{\frac{1}{p}}}^{p} = \ln (p) - \ln (\sqrt{\frac{1}{p}}) = \ln (p) - \ln (p^{‐ \frac{1}{2}}) = \ln (p) + \frac{1}{2} \ln (p) = 1 \frac{1}{2} \ln (p)$ ;
$\frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2} \ln (p) = 4$ $\to$ $\ln (p) = 2 \frac{1}{3}$ $\to$ $p = e^{2 \frac{1}{3}}$

c

$A (\sqrt{\frac{1}{p}}, \sqrt{p})$ en $B (p, \frac{1}{p})$ ;
Omdat $C$ op de $x$ -as ligt, zal $B$ het midden zijn als de $y$ -coördinaat van $B$ de helft is van de $y$ -coördinaat van $A$ : $\frac{1}{p} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{p}$ $\to$ $p^{3} = 4$ $\to$ $p = \sqrt[3]{4}$

21

a

$\sqrt{h^{2} + {(2 - h)}^{2}} = \sqrt{2 h^{2} - 4 h + 4}$

b

Die is $\int_{0}^{2} π (2 h^{2} - 4 h + 4) d h$ $= π {[\frac{2}{3} h^{3} - 2 h^{2} + 4 h]}_{0}^{2} = 5 \frac{1}{3} π$ .

22

a

$P^{'} (x) = 10 (2 x + 1) \sqrt{2 x + 1}$ .

b

$P^{'} (x) = (20 x + 10) \sqrt{2 x + 1}$ , dus $H^{'} (x) = a \cdot P^{'} (x) + 3 b \sqrt{2 x + 1} =$ $(20 a x + 10 a + 3 b) \sqrt{2 x + 1}$ , dus $20 a = 1$ en $10 a + 3 b = 0$ , dus $a = \frac{1}{20}$ en $b = ‐ \frac{1}{6}$ .

23

a

Er geldt: $O (h) = \frac{1}{2} a^{2}$ .
Uit $h = 3 - \sqrt{3 a - 3}$ volgt $a = \frac{1}{3} {(h - 3)}^{2} + 1$ , dus $O (h) = \frac{1}{18} {({(h - 3)}^{2} + 3)}^{2}$ .

b

De inhoud is $\int_{0}^{3} O (h) d h = \int_{0}^{3} (\frac{1}{18} {(h - 3)}^{4} + \frac{1}{3} {(h - 3)}^{2} + \frac{1}{2}) d h =$
${[\frac{1}{90} {(h - 3)}^{5} + \frac{1}{9} {(h - 3)}^{3} + \frac{1}{2} h]}_{0}^{3} = 7,2$ .