16.5 Geparametriseerde krommen >

Hoofdstukken > Examentraining

Een punt is op tijdstip $t$ in $(x (t), y (t))$ . De baan die het punt beschrijft is een geparametriseerde kromme $K$ .
We noteren dit ook als: $K : {\begin{cases} x (t) \\ y (t) \end{cases}$ .
$(x (t), y (t))$ heet een parametrisering of parametervoorstelling (pv) van $K$ .

Zo is bijvoorbeeld $(\cos (t), \sin (t))$ een parametrisering van de eenheidscirkel.

De vector $(\begin{array}{l} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array})$ is de snelheidsvector waarmee het punt beweegt.
Bij een gladde kromme is de snelheidsvector richtingsvector van de raaklijn aan de baan ,als deze niet $\vec{0}$ is.
De vector $(\begin{array}{l} x^{″} (t) \\ y^{″} (t) \end{array})$ is de versnellingsvector.
De (grootte van de) snelheid waarmee het punt beweegt is $\sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}}$ en van de versnelling $\sqrt{{(x^{″} (t))}^{2} + {(y^{″} (t))}^{2}}$ .

Voorbeeld:

Hiernaast is de kromme $K$ getekend met pv
$(x (t), y (t)) = (t^{3} - 2 t^{2}, t^{2})$ .

De snijpunten met de $y$ -as vind je als volgt:
$t^{3} - 2 t = 0 \Leftrightarrow t = 0 of t = 2$ . Dit geeft de punten $(0,0)$ en $(0,4)$ .
De snelheidsvector is $(\begin{matrix} 3 t^{2} - 4 t \\ 2 t \end{matrix})$ .
Op $t = 1$ is het bewegende punt in $(‐ 1,1)$ . De snelheidsvector is dan $(\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$ , dus de raaklijn in $(‐ 1,1)$ heeft richtingscoëffiënt $‐ 2$ .
De snelheid op tijdstip $t$ is: $\sqrt{9 t^{4} - 24 t^{3} + 20 t^{2}}$ .

De raaklijn aan $K$ is horizontaal als $y^{'} (t) = 0$ en $x^{'} (t) \neq 0$ , dus in geen enkel punt (buiten eventueel $(0,0)$ ).

De raaklijn is verticaal als $x^{'} (t) = 0$ en $y^{'} (t) \neq 0$ , dus als $t = 1 \frac{1}{3}$ , dus in het punt $(‐ \frac{32}{27}, \frac{16}{9})$ .

We gaan verder met de kromme $K$ uit het voorbeeld.

De lijn $y = a$ snijdt de kromme $K$ in twee punten die afstand $6$ tot elkaar hebben.

Bereken $a$ exact.

Ga na dat de punten $(x, y) = (a \sqrt{a} - 2 a, a)$ op $K$ liggen.

Je krijgt op die manier niet alle punten van $K$ .

Welke niet?

Ga na dat de punten $(x, y) = (‐ t \sqrt{t} - 2 t, t)$ op $K$ liggen en met de punten uit onderdeel a de hele kromme $K$ vormen.

Ga na dat de krommen met pv $(x, y) = (‐ t \sqrt{t} - 2 t, t)$ en $(x, y) = (t \sqrt{t} - 2 t, t)$ beide dezelfde raaklijn hebben in $O (0,0)$ hebben.

Een kogeltje beweegt volgens: ${\begin{cases} x = \frac{2 t^{2} + 3 t}{t + 2} \\ y = t^{2} \end{cases}$ .
De baan $B$ is hiernaast getekend.

Bepaal $\lim_{t ↓ ‐ 2} x (t)$ en $\lim_{t ↓ ‐ 2} y (t)$ .
Wat betekenen deze limieten voor de baan?

Het kogeltje komt twee keer in hetzelfde punt.

Bereken de coördinaten van dit punt exact.

Behalve in $O$ snijdt de baan de $y$ -as in nog een ander punt.

Geef langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn aan de baan in dat punt.

Een kogeltje beweegt volgens
${\begin{cases} x = \cos (2 t) \\ y = \tan (t) \end{cases}$ , met $‐ \frac{1}{2} π < t < \frac{1}{2} π$ .
De baan is hiernaast getekend. Deze is symmetrisch in de $x$ -as

Bewijs dat.

De baan heeft een asymptoot.

Geef een vergelijking hiervan. Licht je antwoord toe met limieten.

Toon aan dat de punten van de baan voldoen aan de vergelijking $y^{2} + 1 = \frac{2}{x + 1}$ .

De bewegingsvergelijkingen van het punt $P$ zijn:
$(x_{P}, y_{P}) = (t^{2} - 2 t, t^{2} + 2 t)$ . De baan van $P$ is hiernaast getekend.
Behalve in $O$ snijdt de baan de $x$ -as in nog een ander punt.

Bereken de hoek waaronder de baan de $x$ -as snijdt in graden nauwkeurig.

Het punt $Q$ doorloopt dezelfde baan, maar ligt één tijdseenheid vóór op $P$ .

Geef de bewegingsvergelijkingen van $Q$ .

Bereken exact op welk tijdstip $t$ de punten $P$ en $Q$ het dichtst bij elkaar zijn.

De kromme $K$ wordt geparametriseerd door
$(x, y) = (t + \cos (t), t + \sin (t))$ .
Hiernaast is de baan getekend met de lijn $y = x$ .

Bereken exact de eerste twee tijdstippen na $0$ waarop de beweging in verticale richting gaat.

Bereken exact de eerste twee tijdstippen na $0$ waarop de beweging evenwijdig met de lijn $y = x$ is.