Functies transformeren

Gegeven een functie $f$ .

Neem aan: $g (x) = f (a x)$ met $a \neq 0$ .
De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ horizontaal met $\frac{1}{a}$ te vermenigvuldigen.
Neem aan: $g (x) = a \cdot f (x)$ .
De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ verticaal met $a$ te vermenigvuldigen.
Neem aan: $g (x) = f (x + a)$ met $a > 0$ .
Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar links te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x - a)$ met $a > 0$ .
Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar rechts te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x) + a$ met $a > 0$ . Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar boven te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x) - a$ met $a > 0$ . Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar beneden te schuiven.

De grafiek van een functie en die van zijn inverse functie vormen elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
Een functie $f$ en zijn inverse functie $g$ neutraliseren elkaars werking, dat wil zeggen:
$x \to f (x) = u \to g (u) = x$ en $x \to g (x) = s \to f (s) = x$ .
De inverse functie van een functie $f$ noteren we wel als $f^{‐ 1}$ of $f_{inv}$ .

Voorbeeld:

In de figuur hiernaast is de grafiek van de functie
$f : x \to \sqrt[3]{x - 2} + 1$ en zijn inverse $g$ getekend.
Er geldt:
$f : x \to$ Min $2$ $\to$ [Derdemachtswortel] $\to$ [Plus $1$ ] $\to f (x)$ , dus $g : x \to$ [Min $1$ ] $\to$ [Tot de derde] $\to$ [Plus $2$ ] $\to g (x)$ , dus
$g (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$

De grafiek van $f$ ontstaat uit die van de $\sqrt[3]{}$ -functie door:
$2$ eenheden naar rechts te schuiven en $1$ omhoog.

Opmerking:

Let op!
Als je twee horizontale of twee verticale transformaties achter elkaar uitvoert, is de volgorde van belang.

Voorbeeld:

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x^{2}$ .
Als je grafiek van de functie eerst $1$ eenheid omhoog schuift en vervolgens verticaal met $2$ vermenigvuldigt, krijg je de grafiek van de functie $g$ met $g (x) = 2 x^{2} + 2$ .
Als je eerst verticaal met $2$ vermenigvuldigt en vervolgens $1$ eenheid omhoog schuift, krijg je de grafiek van de functie $h$ met $h (x) = 2 x^{2} + 1$ .

Gegeven is de functie $f : x \to 2 \sqrt{x + 2}$ .
De grafiek van $f$ ontstaat uit de grafiek van de $\sqrt{}$ -functie door een verticale vermenigvuldiging en een horizontale verschuiving.

Welke?

De grafiek van $f$ ontstaat ook uit de grafiek van de $\sqrt{}$ -functie door eerst horizontaal te vermenigvuldigen en daarna horizontaal te verschuiven.

Hoe?

De grafiek van $f$ ontstaat ook uit de grafiek van de $\sqrt{}$ -functie door eerst horizontaal te verschuiven en daarna horizontaal te vermenigvuldigen.

Hoe?

Geef een formule voor de inverse functie van $f$ .

De functie $f$ met $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ is niet inverteerbaar, dat wil zeggen heeft geen inverse functie.

Waarom niet?

Het domein van $f$ kun je in twee stukken verdelen waarop $f$ wel een inverse heeft.

Hoe bijvoorbeeld?

Geef op elk van de stukken een formule voor de inverse functie. (Controleer met de GR.)

(hint)

Splits het kwadraat af.

Opmerking:

Een functie is niet inverteerbaar als een uitvoer meer dan één keer voorkomt.

We bekijken de functies sin, cos en tan. Geen van drieën is inverteerbaar.

Wat is het grootst mogelijke domein met het getal $0$ waarop de sinus-functie inverteerbaar is? En de tangens-functie?

Bij de cosinus-functie heb je twee mogelijkheden voor het grootst mogelijke domein met het getal $0$ waarop de functie inverteerbaar is.

Welke?

Opmerking:

Als domein waarop de sinus-, cosinus- en tangens-functie geïnverteerd worden, neemt de GR achtereenvolgens $[‐ \frac{1}{2} π, \frac{1}{2} π]$ , $[0,π]$ en $〈 ‐ \frac{1}{2} π, \frac{1}{2} π 〉$ .

De grafiek van de functie $f$ ontstaat uit de grafiek van de functie $y = e^{x}$ door $1$ eenheid naar links te schuiven en verticaal met $3$ te vermenigvuldigen.

Geef een formule voor $f (x)$ .

De grafiek van $f$ wordt gespiegeld in de lijn $y = x$ . Je krijgt de grafiek van de functie $g$ .

Geef een formule voor $g (x)$ .

De grafiek van de functie $f$ , met $f (x) = {(x + 1)}^{2} - 2$ wordt gespiegeld in de lijn $y = 1$ , zie de figuur links. Je krijgt de grafiek van de functie $g$ .

Geef een formule voor $g (x)$ .

De grafiek van $h$ krijg je door die van $f$ te spiegelen in het punt $P (1, ‐ 1)$ , zie de figuur midden.

Geef een formule voor $h (x)$ .

Gegeven is de functie $p$ met $p (x) = x^{3} - 3 x$ .
Als je de grafiek van $p$ spiegelt in de lijn $y = 1$ , krijg je de grafiek van de functie $q$ , zie de figuur rechts.

Geef een formule voor $q (x)$ .

Krommen transformeren

Parameterkrommen transformeren

Verschuiven over de vector $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ :	$(x, y) \to (x + a, y + b)$
Vermenigvuldigen ten opzichte van de $x$ -as met factor $p$ :	$(x, y) \to (x, p y)$
Vermenigvuldigen ten opzichte van de $y$ -as met factor $p$ :	$(x, y) \to (p x, y)$
Puntvermenigvuldigen ten opzichte van $O$ met factor $p$ :	$(x, y) \to (p x, p y)$
Spiegelen in de $x$ -as:	$(x, y) \to (x, ‐ y)$
Spiegelen in de $y$ -as:	$(x, y) \to (‐ x, y)$
Spiegelen in de lijn $y = x$ :	$(x, y) \to (y, x)$
Spiegelen in de lijn $y = ‐ x$ :	$(x, y) \to (‐ y, ‐ x)$
Spiegelen in $O (0,0)$	$(x, y) \to (‐ x, ‐ y)$

De kromme $K$ heeft pv $(x, y) = (t + \frac{1}{t},1 - \frac{1}{t})$ .
De kromme $L$ ontstaat uit $K$ door horizontaal met $\frac{1}{2}$ te vermenigvuldigen.

Geef een pv van $L$ . Controleer je antwoord met de GR.

De kromme $M$ ontstaat uit $K$ door te spiegelen in de lijn $y = x$ .

Geef een pv van $M$ . Controleer je antwoord met de GR.

Voor punten $(x (t), y (t))$ van de kromme $K$ geldt: $x (‐ t) = ‐ x (t)$ en $y (‐ t) = ‐ y (t)$ .

Wat betekent dat voor $K$ ?

Hoe bewijs je dat $K$ symmetrisch is in de $x$ -as?

Vergelijking aanpassen

Gegeven een figuur waarvan je een vergelijking kent.
Om een vergelijking van de beeldfiguur te krijgen vervang je in de vergelijking van het origineel:

$x$ door $x - a$ en $y$ door $y - b$ bij verschuiving over de vector $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ .
$x$ door $\frac{1}{p} \cdot x$ bij horizontale vermenigvuldiging met $p$ en
$y$ door $\frac{1}{p} \cdot y$ bij verticale vermenigvuldiging met $p$ .
$y$ door $x$ en $x$ door $y$ bij spiegelen in de lijn $y = x$ en
$y$ door $‐ x$ en $x$ door $‐ y$ bij spiegelen in de lijn $y = ‐ x$ .

Voorbeeld:

Als je de parabool met vergelijking $y = x^{2}$ verschuift over de vector $(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ , krijg je de parabool met vergelijking
$y - 3 = {(x - 2)}^{2}$ , dus met vergelijking $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ .

Voorbeeld:

Je kunt bovenstaande ook gebruiken om een formule voor de inverse functie te vinden, want de inverse is het beeld na spiegeling in de lijn $y = x$ .
In opgave 63b heb je een formule voor de inverse functie van
$y = 3 \cdot e^{x + 1}$ bepaald.
Een vergelijking voor de inverse functie is dus: $x = 3 \cdot e^{y + 1}$ .
Om hieruit een formule voor de inverse functie te vinden, moet je de vergelijking nog schrijven in de vorm: $y = \dots$ .
Dat gaat zo.

$x$	$=$	$3 \cdot e^{y + 1}$	deel beide kanten door $3$
$\frac{x}{3}$	$=$	$e^{y + 1}$	Neem van beide kanten de $\ln$ .
$y + 1$	$=$	$\ln (\frac{x}{3})$	Trek aan beide kanten $1$ af.
$y$	$=$	$\ln (\frac{x}{3}) - 1$

Gegeven is het verband $y = 2 x^{2} + 4 x - 3$ .
De grafiek is hiernaast getekend met zijn spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
Het verband voor punten $(x, y)$ van het spiegelbeeld is
$x = 2 y^{2} + 4 y - 3$ .

Druk voor de punten van het spiegelbeeld $y$ uit in $x$ , als volgt:
$y = \dots \pm \sqrt{\dots}$ .

(hint)

Splits kwadraat af of gebruik de

a b c

-formule

Opmerking:

Gegeven is de functie $f : x \to 2 x^{2} + 4 x - 3$ .
Uit de vorige opgave volgt:
als $x > ‐ 1$ , dan $f^{‐ 1} (x) = 1 + \sqrt{\frac{1}{2} x + 2 \frac{1}{2}}$ ,
als $x < ‐ 1$ , dan $f^{‐ 1} (x) = 1 - \sqrt{\frac{1}{2} x + 2 \frac{1}{2}}$ .
Vergelijk dat met wat je in opgave 61 hebt gedaan.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

Bepaal een formule voor $f^{‐ 1} (x)$ .

Gegeven is de kromme met de volgende parametervoorstelling:
${\begin{matrix} x (t) = 2 - \frac{1}{t} \\ y (t) = t^{2} + \frac{1}{t} \end{matrix}$

Een vergelijking van de kromme is $y = 2 - x + \frac{1}{{(2 - x)}^{2}}$ .

Toon dit langs algebraïsche weg aan.

(hint)

Schrijf met de formule voor de $x$ -coördinaat eerst $t = ...$ en vul dit bij de $y$ -coördinaat in.

Bereken de vergelijkingen van de twee asymptoten van de kromme.

De kromme wordt eerst verschoven over de vector $(\begin{matrix} ‐ 4 \\ 3 \end{matrix})$ en daarna horizontaal vermenigvuldigd ten opzichte van de $y$ -as met factor $3$ .

Geef een vergelijking en parametervoorstelling van de beeldfiguur. (Je hoeft niet te vereenvoudigen.)

We kunnen dezelfde beeldfiguur ook krijgen door eerst een vermenigvuldiging en daarna een translatie uit te voeren.

Welke vermenigvuldiging en translatie zijn dat?