Afspraak
In driehoek $A B C$ noemen we

de grootte	van hoek $A$	α
	van hoek $B$	β
	van hoek $C$	γ
de lengte	van zijde $A B$	$c$
	van zijde $A C$	$b$
	van zijde $B C$	$a$

Merk op dat:
de zijde met lengte $a$ tegenover hoek $A$ ligt,
de zijde met lengte $b$ tegenover hoek $B$ en
de zijde met lengte $c$ tegenover hoek $C$ .

Verder noemen we
het hoogtelijnstuk uit $A$ : $h_{A}$
het hoogtelijnstuk uit $B$ : $h_{B}$
het hoogtelijnstuk uit $C$ : $h_{C}$ .

Sinusregel
$\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b} = \frac{sin (γ)}{c}$ .

Cosinusregel
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos$ (α)
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos$ (β)
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos$ (γ)

Een regel om de oppervlakte van een driehoek te berekenen
De oppervlakte van driehoek $A B C$ =
$\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot$ sin(α) = $\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot$ sin(β) = $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot$ sin(γ)

Om lengten van lijnstukken te berekenen gebruik je de Stelling van Pythagoras, gelijkvormigheid en congruentie.
Verder worden de volgende stellingen bekend verondersteld.

Stelling van Thales
In een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die rechthoekige driehoek.

Omgekeerde stelling van Thales
Als het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek op een zijde ligt, dan is de hoek tegenover die zijde recht.

De omgekeerde stelling van Thales wordt ook wel als volgt geformuleerd. Vanuit een punt van een cirkel "zie je" een middellijn onder een hoek van $90 °$ .

De omgeschreven cirkel ven een driehoek gaat door de hoekpunten van een driehoek.
De ingeschreven cirkel ven een driehoek raakt de zijden van een driehoek.

Speciale lijnen in een driehoek

Een zwaartelijn in een driehoek gaat door een hoekpunt en het midden van de tegenoverliggende zijde.
De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt, het zwaartepunt van de driehoek.
Het zwaartepunt van een driehoek verdeelt de zwaartelijnen in de verhouding $2 : 1$ .
Een middelloodlijn in een driehoek gaat door het midden van een zijde en staat loodrecht op die zijde.
Een middelloodlijn bestaat uit de punten die even ver van de hoekpunten op die zijde afliggen.
De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt. Dit punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek.
Een hoogtelijn in een driehoek gaat door een hoekpunt en staat loodrecht op de tegenoverliggende zijde.
De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt, het hoogtepunt van de driehoek.
Een bissectrice in een driehoek verdeelt een hoek van de driehoek in twee even grote hoeken.
De punten op een bissectrice liggen even ver van de benen van de hoek.
De drie bissectrices van een driehoek gaan door één punt, het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek.

Raken

figuur 1

We zeggen: een cirkel $c$ raakt een lijn $k$ als $c$ en $k$ precies één punt, het raakpunt, gemeen hebben.
Als $c$ middelpunt $M$ heeft en het raakpunt $P$ is, dan staat lijn $M P$ loodrecht op $k$ . Zie figuur 1. Vanuit een punt $P$ buiten een cirkel worden de twee raaklijnen aan de cirkel getekend. De raakpunten zijn $R$ en $S$ . Dan zijn de lijnstukken $P R$ en $P S$ even lang. Zie figuur 2.

Twee cirkels raken elkaar als ze in een gemeenschappelijk punt, het raakpunt, een gemeenschappelijke raaklijn hebben. Deze raaklijn staat loodrecht op de verbindingslijn van de twee middelpunten. Zie figuur 3.

figuur 2

figuur 3

Gegevens zie figuur: $A C = 3$ , $P A = 2$ , hoek $A C B = 45 °$ en hoek $A B C = 75 °$ .

Bereken de andere zijden van driehoek $A B C$ in één decimaal nauwkeurig.

Bereken $P C$ exact.

Bereken de oppervlakte van driehoek $A P C$ exact.

In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $a$ en $b$ ligt een vierkant. Twee zijden van het vierkant liggen op de rechthoekszijden en één hoekpunt op de schuine zijde, zie figuur.

Druk de zijden van het vierkant uit in $a$ en $b$ .

Driehoek $A B C$ is een $30 ‐ 60 ‐ 90 ‐$ graden driehoek.
$A B = 4$ en op zijde $B C$ ligt een punt $D$ zó, dat $A D = 5$ , zie figuur.

Bereken $B D$ exact.

Bereken hoek $A D C$ in graden nauwkeurig.

In de figuur zijn drie cirkels getekend met middellijnen $A B$ , $B C$ en $A C$ . Verder geldt: $B D = 16$ , $C E = 40$ en $B C = 30$ .

Bereken $A B$ exact.

Driehoek $A B C$ is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $1$ .
Lijnstuk $P Q$ verdeelt de driehoek in twee stukken met gelijke oppervlakte.
We vragen ons af wat de minimale lengte van lijnstuk $P Q$ is. Lijnstuk $C P$ noemen we $x$ .

Toon aan dat $P Q$ minimaal is voor die waarde van $x$ waarvoor $f (x) = x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} - 1$ minimaal is.

(hint)

Druk de coördinaten van $P$ en $Q$ in $x$ uit.

Bereken de minimale lengte van $P Q$ exact.

$A B C D$ is een rechthoek met $A D = 1$ . Verder is hoek $A P D = 45 °$ en $D P = D C$ .

Laat met de figuur zien dat $\tan (22 \frac{1}{2} °) = \sqrt{2} - 1$ .

(hint)

Toon aan:

∠ P C B = 22 \frac{1}{2} °

In driehoek $A B C$ zijn $A D$ en $B E$ hoogtelijnen. Verder is $M$ het midden van zijde $A B$ .

Toon aan dat de lijnstukken $M D$ en $M E$ even lang zijn.

In een rechthoekige driehoek wordt een middenparallel evenwijdig aan één van de rechthoekszijden getekend. Zo wordt de driehoek verdeeld in een driehoek en een rechthoekig trapezium. Het rechthoekige trapezium heeft een ingeschreven cirkel, dat wil zeggen een cirkel die de vier zijden van het trapezium raakt.

Bepaal de verhouding van de rechthoekszijden.

(hint)

Noem de straal van de cirkel

r

en de afstand van het middelpunt tot de verticale lijn

x

. Gebruik de stelling van Pythagoras in de twee rechthoekige driehoeken (met basis

x

en basis

x + 2

). Je hebt nu twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Hieronder zie je een cirkel met twee lijnstukken die loodrecht op elkaar staan.

Bereken exact de straal van de cirkel.