Hoeken, lijnen en inproduct

Een vector is een verschuiving over een afstand in een richting. Daarom is een pijl een goede manier om een vector aan te geven.
De vector die $A$ naar $B$ verplaatst geven we aan met $\vec{A B}$ .
Als $O$ de oorsprong, dan is $\vec{O A}$ de plaatsvector van $A$ , die we ook schrijven als: $\vec{a}$ .
De nulvector, genoteerd $\vec{0}$ , is de vector met lengte $0$ .

Je kunt vectoren optellen en met een getal vermenigvuldigen.

Er geldt: $\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}$ .

Een vectorvoorstelling van een lijn $k$ bestaat uit de plaatsvectoren van alle punten op $k$ .

Als $\vec{r}$ een vector evenwijdig aan lijn $k$ en $P$ een punt op $k$ is, dan is $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}$ (waarbij $t$ alle mogelijke getalwaarden aanneemt), een vectorvoorstelling (vv) van $k$ . Hierbij heet $\vec{p}$ de startvector en $\vec{r}$ de richtingsvector van de vv.

Veronderstel dat er een assenstelsel is gekozen. De vector die een punt $a$ eenheden in de $x$ -richting verschuift en $b$ in de $y$ -richting noteren we met $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ ; de getallen $a$ en $b$ noemen we kentallen
Als $P (p, q)$ en $\vec{r} = (\begin{array}{l} r \\ s \end{array})$ , dan is de bij $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}$ horende parametervoorstelling (pv) van $k$ :
$(x, y) = (p, q) + t \cdot (r, s)$ ; hiermee bedoelen we de punten $(x, y) = (p + t \cdot r, q + t \cdot s)$ .
Elk punt van $k$ is van de vorm $(p + t \cdot r, q + t \cdot s)$ voor zekere waarde van $t$ .

De lengte van $\vec{a} =$ $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ is $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Die lengte noteren we met $| \vec{a} |$ .

Als $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ en $\vec{y} = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})$ , dan is $\vec{x} \cdot \vec{y} = x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{2}$ het inproduct van $\vec{x}$ en $\vec{y}$ .
Er geldt: $\vec{x} \cdot \vec{y} = | \vec{x} | \cdot | \vec{y} | \cdot \cos (α)$ . Hierbij is $α$ de hoek tussen de vectoren $\vec{x}$ en $\vec{y}$ , zie figuur.
In het bijzonder geldt (als $\vec{x}$ en $\vec{y}$ niet de nulvector zijn):
$\vec{x} \cdot \vec{y} = 0 \Leftrightarrow$ de vectoren $\vec{x}$ en $\vec{y}$ staan loodrecht op elkaar.

De vectoren $(\begin{matrix} ‐ b \\ a \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} b \\ ‐ a \end{matrix})$ staan loodrecht op $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ .
De eerste vector krijg je door $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ $90 °$ linksom te draaien, de tweede door $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ $90 °$ rechtsom te draaien.
Een vector die loodrecht op een lijn staat heet normaalvector van die lijn.
Als $a x + b y = c$ een vergelijking van een lijn is, dan is $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ normaalvector van die lijn.

Gegeven zijn de punten $A (3,1)$ en $B (‐ 3,4)$ .

Geef een vv, een pv en een vergelijking van lijn $A B$ .

$P$ is het punt $(4,8)$ .

Geef een pv van de lijn door $P$ loodrecht op lijn $A B$ .

Bereken de coördinaten van het punt op lijn $A B$ dat het dichtst bij $P$ ligt.

Een pv van lijn $A B$ is: $(x, y) = (3 + 2 t,1 - t)$ . Dus elk punt van lijn $A B$ is van de vorm $(3 + 2 t,1 - t)$ voor zekere waarde van $t$ .

Druk de afstand van $(3 + 2 t,1 - t)$ tot $P$ in $t$ uit.

Bepaal met behulp van het antwoord op de vorige vraag het punt van lijn $A B$ dat het dichtst bij $P$ ligt.

Bereken de afstand van $P$ tot lijn $A B$ exact.

In de vorige opgave heb je op twee manieren de afstand van een punt tot een lijn bepaald.
In hoofdstuk 9, Rekenen aan lijnen hebben we een formule afgeleid om de afstand van een punt tot een lijn te berekenen.

Lijn $k$ heeft vergelijking $a x + b y = c$ .
Dan is de afstand van $P (p_{1}, p_{2})$ tot $k$ :
$\frac{| a p_{1} + b p_{2} - c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Controleer met bovenstaande formule de afstand van $P$ tot lijn $A B$ uit de vorige opgave.

Op de $y$ -as liggen twee punten die afstand $10 \sqrt{5}$ tot lijn $A B$ hebben.

Bereken de coördinaten van die punten exact.

Gegeven zijn de lijnen $k : y = 2 x + 3$ , $m : y = ‐ \frac{1}{2} x + 6$ en $n : 2 x + 3 y = 6$ .

Hoe kun je onmiddellijk zien dat de lijnen $k$ en $m$ loodrecht op elkaar staan?

De hoek tussen de lijnen $k$ en $n$ noemen we α.

Bereken $\cos (α)$ exact met behulp van het inproduct.

Twee lijnen niet evenwijdig aan de coördinaat-assen zijn loodrecht dan en alleen dan als het product van hun richtingscoëfficiënten $‐ 1$ is.

Gegeven zijn de punten $A (2,3)$ , $B (8,5)$ en $C (1,1)$ .

Bereken hoek $B A C$ exact.

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

Gegeven is voor elke waarde van $a$ de driehoek $A B C$ met $A (a,0)$ , $B (‐ a,0)$ en $C (2,6)$ . Op de zijden $A C$ en $B C$ worden twee vierkanten getekend.
$M$ en $N$ zijn de middelpunten van deze vierkanten en $O (0,0)$ is het midden van $A B$ .

Laat zien dat geldt $\vec{O N} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} a + 4 \\ \frac{1}{2} a + 2 \end{matrix})$ .

Bewijs dat voor elke waarde van $a$ de lijnstukken $O M$ en $O N$ loodrecht op elkaar staan en even lang zijn.

Gegeven is de lijn $k$ met pv $(x, y) = (1, ‐ 1) + t \cdot (1,1)$ en de lijnen $m_{a}$ met pv $(x, y) = (5,8) + t \cdot (1, a)$ voor elke waarde van $a$ .

Bereken exact voor welke waarden van $a$ de lijn $m_{a}$ de lijn $k$ onder een hoek van $60 °$ snijdt. Gebruik het inproduct.

Jaap berekent de snijpunten van elke lijn $m_{a}$ met $k$ .

Welk(e) punt(en) van lijn $k$ krijgt hij zo niet?

We bekijken het stelsel vergelijkingen: ${\begin{cases} a x + 2 y = 6 \\ 2 x - 3 y = b \end{cases}$ , voor alle mogelijke waarden van $a$ en $b$ .

Voor welke waarden van $a$ en $b$ heeft het stelsel geen oplossing?
En oneindig veel oplossingen?

Gegeven zijn de lijnen $k : a x - 4 y = a + b$ en $m : 2 x + b y = 1$ , voor alle mogelijke getallen $a$ en $b$ .

Voor welke $a$ en $b$ vallen de lijnen $k$ en $m$ samen?

(hint)

Bepaal eerst de eerste coördinaat van het punt waar de waaier doorheen gaat.

Neem een waarde van $b$ . Door $a$ te variëren, vormen de lijnen $k$ een lijnenbundel.

Voor welke waarde van $b$ krijg je een waaier door een punt met tweede coördinaat $6$ ?

Speciale lijnen en punten in een driehoek

In de vorige paragraaf hebben we nog eens de begrippen zwaartelijnen, het zwaartepunt, middelloodlijnen, hoogtelijnen, het hoogtepunt en bissectrices van een driehoek herhaald. De volgende voorbeelden gaan hierover.

Voorbeeld:

Gegeven is driehoek $A B C$ met $A (‐ 2, ‐ 3)$ , $B (2,1)$ en $C (‐ 1,4)$ .

De zwaartelijn uit $B$
Het midden van zijde $A C$ is: $(‐ 1 \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .
De lijn door de punten $(‐ 1 \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ en $B$ heeft richtingsvector $(\begin{matrix} 3 \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix})$ ofwel $(\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix})$ .
Een vv van de zwaartelijn is dus: $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix})$ .
De middelloodlijn van zijde $A B$
Het midden van $A B$ is $(0, ‐ 1)$ , een richtingsvector van lijn $A B$ is $(\begin{array}{l} 4 \\ 4 \end{array})$ , dit een normaalvector van de middelloodlijn van $A B$ .
Een vergelijking van die middelloodlijn is dus: $x + y = ‐ 1$ .
De hoogtelijn uit $B$
Een richtingsvector van lijn $A C$ is $(\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix})$ , dit is een normaalvector van de hoogtelijn, dus een vergelijking van de hoogtelijn is $x + 7 y = c$ voor een of ander getal $c$ . Omdat $B$ op de hoogtelijn ligt, vind je als vergelijking: $x + 7 y = 9$ .
De bissectrice van hoek $A$
Om een richtingsvector van de bissectrice van een hoek te vinden maken we gebruik van het volgende.
In een ruit delen de diagonalen de hoeken midden door.

$\vec{A C} = (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix})$ en $\vec{A B} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix})$ . Er geldt $| \vec{A C} | = 5 \sqrt{2}$ en $| \vec{A B} | = 4 \sqrt{2}$ , dus even lange richtingsvectoren van de lijnen $A C$ en $A B$ zijn dus $(\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix})$ en $\frac{5}{4} \vec{A B} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix})$ .
De som van deze twee vectoren $(\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 12 \end{matrix})$ is richtingsvector van de bissectrice, dus ook $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ .
Een vv van de bissectrice is dus $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ ‐ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

Het zwaartepunt van driehoek $A B C$
Noem het zwaartepunt van de driehoek $Z$ , dan
$\vec{B Z} = \frac{2}{3} \cdot (\begin{matrix} ‐ 3 \frac{1}{2} \\ ‐ \frac{1}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \frac{1}{3} \\ ‐ \frac{1}{3} \end{matrix})$ , dus $Z = (2 - 2 \frac{1}{3},1 - \frac{1}{3}) = (‐ \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ .
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel vind je door twee bissectrices te snijden.
Eén bissectrice is de lijn met vv $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ . De bissectrice van hoek $B$ heeft vergelijking $y = 1$ , dus het middelpunt van de ingeschreven cirkel is: $(0,1)$

$A B C$ is de driehoek van het voorbeeld en $M$ is het punt $(0,1)$ .

Ga exact na dat de afstand van $M$ tot alledrie de zijden van de driehoek hetzelfde is.

Hiernaast is driehoek $O A B$ getekend met $A (4,0)$ en $B (‐ 3,4)$ .

Bepaal exact de middelpunten van de cirkels met straal $4$ die de lijn $O B$ en de $x$ -as raken.

Bereken het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $O A B$ exact.

Het massazwaartepunt

In deze en de voorgaande paragraaf hebben we gesproken over het zwaartepunt van een driehoek. Je zou dit het meetkundig zwaartpunt kunnen noemen. Daarnaast hebben we in V4 deel 2 hoofdstuk 5 ook het massazwaartepunt (ook wel fysisch zwaartepunt genoemd) behandeld.

Voorbeeld:

In de punten $A (‐ 3,4)$ , $B (0, ‐ 2)$ en $C (4,0)$ bevinden zich massa's van grootte $2$ , $1$ en $3$ .
Het massasysteem in $A$ en $B$ kunnen we vervangen door een massa van grootte $3$ in het punt $M$ op lijnstuk $A B$ zó, dat $A M : M B = 1 : 2$ , dus $M = (‐ 2,2)$ .
Het massasysteem van de massa's in $M$ en $C$ kunnen we vervangen door een massa van grootte $6$ in $Z$ op lijnstuk $C M$ zó, dat $C Z : M Z = 3 : 3$ .
Dus $Z = (1,1)$ is het massazwaartepunt (fysisch zwaartepunt) van het massasysteem in de punten $A$ , $B$ en $C$ .

In V4 deel 2 hoofdstuk 5 hebben we de volgende stelling afgeleid.

Stelling
De massa’s $a_{1}$ , $a_{2}$ , … , $a_{n}$ bevinden zich op de plaatsen
$A_{1}$ , $A_{2}$ , … , $A_{n}$ . Het zwaartepunt noemen we $Z$ .
Dan: $\vec{O Z} = \frac{a_{1}}{a} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \vec{O A_{2}} + ... + \frac{a_{n}}{a} \vec{O A_{n}}$ .
Hierbij is $a = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$ .

We kunnen de vraag in het voorbeeld hierboven ook oplossen met deze stelling.
Je vindt: $\vec{z} = \frac{2}{6} \cdot (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 4 \end{matrix}) + \frac{1}{6} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ ‐ 2 \end{matrix}) + \frac{3}{6} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ , dus $Z = (1,1)$ .

$A$ , $B$ en $C$ en de massa's in die punten zijn als in het voorbeeld hiervoor.
De massa in $A$ wordt over lijn $A B$ verschoven. Het zwaartepunt verschuift dan ook.

Welke baan beschrijft het zwaartepunt? Bewijs je antwoord.

Neem aan dat de massa in $A$ eenparig over lijn $A B$ beweegt.

Wat is het verband tussen de snelheid waarmee de massa in $A$ beweegt en de snelheid van het zwaartepunt?

Hieronder staan in een assenstelsel een L en een 8 getekend. De hoekpunten zijn alle roosterpunten.

Neem de figuren over en teken voor beide figuren nauwkeurig het zwaartepunt. Licht je werkwijze toe.

Bereken voor beide figuren exact de coördinaten van het zwaartepunt.

Het verticale stuk van de ‘poot’ van de letter L wordt verlengd naar boven.

Bereken exact op welke hoogte deze bovenkant van de letter L ligt als het zwaartepunt op hoogte $5$ ligt.

Cirkels

De cirkel met middelpunt $M (a, b)$ en straal $r$ heeft vergelijking ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Voorbeeld:

Middelpunt van een cirkel bepalen
Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 3$ .
Het middelpunt en de straal van de cirkel vind je door bovenstaande vergelijking terug te schrijven in de vorm: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , de zogenaamde middelpuntsvorm.
Dat gaat met kwadraatafsplitsen.
$x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 3$ $\Leftrightarrow$ ${(x + 2)}^{2} - 4 + {(y - 1)}^{2} - 1 = 3$ $\Leftrightarrow$ ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$
Het middelpunt is $(‐ 2,1)$ en de straal $2 \sqrt{2}$ .

Gegeven zijn twee cirkels $C_{1}$ en $C_{2}$ met vergelijking
${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ en ${(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} = s^{2}$ ,
dan is ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} - r^{2} = {(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} - s^{2}$ de vergelijking van een lijn $k$ die loodrecht op de verbindingslijn van de twee middelpunten staat.
Als de cirkels twee snijpunten hebben (figuur links), is $k$ de lijn door die snijpunten;
als de cirkels elkaar raken (figuur midden), is $k$ de lijn die de twee cirkels raakt in het (gemeenschappelijke) raakpunt.

Voorbeeld:

De gemeenschappelijke punten van twee cirkels berekenen
Gegeven zijn de cirkels met vergelijking
$x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 3 = 0$ en $x^{2} + y^{2} - 14 x + 39 = 0$ .
Dan is $x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 3 = x^{2} + y^{2} - 14 x + 39$ te vereenvoudigen tot $y = 2 x - 9$ , een vergelijking van de lijn $k$ door de twee snijpunten.
De snijpunten vind je door $k$ met één van de twee cirkels te snijden
${\begin{cases} y = 2 x - 9 \\ x^{2} + y^{2} - 14 x + 39 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} y = 2 x - 9 \\ x = 4 of x = 6 \end{cases}$ , dus de snijpunten zijn $(4, ‐ 1)$ en $(6,3)$ .

Voorbeeld

Raaklijn aan een cirkel met gegeven richting
Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 3 = 0$ .
De raaklijnen aan de cirkel evenwijdig aan de lijn $k$ met vergelijking $x + 3 y = 0$ vind je als volgt.
Het middelpunt $M$ van de cirkel is $(3,2)$ . Het raakpunt van de cirkel met een lijn evenwijdig aan $k$ ligt op de lijn door $M$ loodrecht op $k$ .
Een raakpunt is dus van de vorm $(x, y) = (3,2) + t \cdot (1,3)$ . De snijpunten van deze lijn met de cirkel vind je door voor $x = 3 + t$ en voor $y = 2 + 3 t$ in te vullen in de vergelijking van de cirkel. Dit geeft de raakpunten $(4,5)$ en $(2, ‐ 1)$ . Je krijgt de lijnen $x + 3 y = 19$ en $x + 3 y = ‐ 1$ .

Voorbeeld

Raaklijn vanuit een punt aan een cirkel
Gegeven is de cirkel met middelpunt $(‐ 2,1)$ en straal $\sqrt{5}$ .
De raaklijnen vanuit het punt $P (5,0)$ aan de cirkel vind je als volgt.
De raaklijn heeft een pv van de vorm $(x, y) = (5,0) + t \cdot (1, a)$ voor zekere waarde van $a$ . Als je voor $x = 5 + t$ en $y = t a$ in de vergelijking ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ van de cirkel invult vind je: $(1 + a^{2}) t^{2} + (14 - 2 a) t + 45 = 0$ .
Deze vergelijking in $t$ moet één oplossing hebben, dus de discriminant $176 a^{2} + 56 a - 16 = 0$ . Dat is het geval als $a = ‐ \frac{1}{2}$ of $a = \frac{2}{11}$ .
De gevraagde raaklijnen zijn dus de lijnen met pv
$(x, y) = (5,0) + t \cdot (‐ 2,1)$ en met pv $(x, y) = (5,0) + t \cdot (11,2)$ .

Raaklijnen vanuit een punt aan de cirkel anders
Gegeven is de cirkel $c$ met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 3$ .
Het middelpunt van de cirkel noemen we $M$ .

Bereken de coördinaten van $M$ en de straal van $c$ .

$P$ is het punt $(4, ‐ 1)$ .
De punten $A$ en $B$ liggen op $c$ zó, dat de lijnen $P A$ en $P B$ de cirkel raken. Er gaat een cirkel $d$ door de punten $A$ , $B$ , $P$ en $M$ .

Geef een vergelijking van $d$ . Licht je antwoord toe.

(hint)

Gebruik de stelling van Thales.

Bereken de coördinaten van $A$ en $B$ exact door de cirkels $c$ en $d$ te snijden.

Je kunt nu vergelijkingen van de raaklijnen vanuit $P$ aan $c$ opstellen. Het zijn de lijnen $P A$ en $P B$ .

Een cirkel gaat door $A (2,2)$ en $B (6,0)$ . Het middelpunt ligt op de lijn $x + y = 20$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt van de cirkel.

Een cirkel met middelpunt op de lijn $k$ met vergelijking $y = x - 2$ raakt de lijn $m$ met vergelijking $3 x - 4 y + 16 = 0$ in het punt $A (‐ 4,1)$ .

Bereken de straal van de cirkel exact.

Lijn $k$ heeft vergelijking $x - 2 y + 4 = 0$ . Een cirkel met straal $\sqrt{5}$ raakt $k$ . Het middelpunt van de cirkel ligt op de lijn $m$ met vergelijking $7 x - 4 y + 3 = 0$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt van de cirkel.

Gegeven lijn $k$ : $3 x + 4 y = 24$ en punt $A (3,0)$ . Een cirkel met het middelpunt boven de $x$ -as raakt de $x$ -as in $A$ . Bovendien raakt de cirkel lijn $k$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt van de cirkel.

Bewegen

Samengestelde bewegingen

Een punt neemt aan twee bewegingen tegelijk deel. De snelheidsvector waarmee het punt als gevolg daarvan op een bepaald moment beweegt, vind je door de snelheidsvectoren van die twee bewegingen afzonderlijk, op dat moment op te tellen.

Een punt $S$ beweegt ten opzichte van de oorsprong volgens ${\begin{cases} x = f (t) \\ y = g (t) \end{cases}$ .
Een punt $J$ beweegt ten opzichte van het punt $S$ volgens: ${\begin{cases} x = a (t) \\ y = b (t) \end{cases}$ .
Dan beweegt $J$ ten opzichte van de oorsprong volgens:
${\begin{cases} x = f (t) + a (t) \\ y = g (t) + b (t) \end{cases}$ .

Snelheid en versnelling

Een bewegend punt $P$ bevindt zich op tijdstip $t$ in $(f (t), g (t))$ .
Op tijdstip $t$ is:
$(\begin{array}{l} f^{'} (t) \\ g^{'} (t) \end{array})$ de snelheidsvector, $(\begin{array}{l} f^{″} (t) \\ g^{″} (t) \end{array})$ de versnellingsvector,
$\sqrt{f^{'} {(t)}^{2} + g^{'} {(t)}^{2}}$ de grootte van de snelheid.
De raaklijn in $P$ aan de baan heeft richtingsvector $(\begin{array}{l} f^{'} (t) \\ g^{'} (t) \end{array})$ .
In het bijzonder:
de raaklijn in $P$ is horizontaal als $g^{'} (t) = 0$ en $f^{'} (t) \neq 0$ ;
de raaklijn in $P$ is verticaal als $f^{'} (t) = 0$ en $g^{'} (t) \neq 0$ ;
als $f^{'} (t) = g^{'} (t) = 0$ , moet je nader onderzoek doen.

Gegeven is de kromme $K$ met pv $(x, y) = (\frac{1}{t} - 2, t^{3} - 3 t)$ .
Hiernaast is $K$ getekend.

Bereken exact de punten waar de raaklijn aan $K$ horizontaal of verticaal is.

Wat weet je van $(x, y)$ als $t \to \infty$ ? En als $t ↓ 0$ ?
Wat is je conclusie?

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $K$ met de $x$ -as en de $y$ -as exact.

Geef langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn aan $K$ in het snijpunt met de $y$ -as.

Een wiel met diameter $4$ rolt zonder slippen in de positieve richting over de $x$ -as. Op tijdstip $t = 0$ is het middelpunt $M$ van het wiel op de $y$ -as.
We volgen het punt $P$ op het wiel dat op $t = 0$ in $(0,1)$ is.
Voor de baan $B$ van $P$ maakt het niet uit hoe snel het wiel rolt. Neem aan, die snelheid is $2$ eenheden per seconde. De baan is hieronder getekend.

Het punt $P$ neemt gelijktijdig aan twee bewegingen deel: het beweegt om het middelpunt $M$ van het wiel en $M$ beweegt over de lijn $y = 2$ .
Zie internet voor een animatie.

Geef de bewegingsvergelijkingen van $P$ .

Geef een formule voor de snelheidsvector en de grootte van de snelheid waarmee $P$ beweegt op tijdstip $t$ .

Bereken exact op welke tijdstippen de snelheid van $P$ gelijk is aan $\sqrt{3}$ .

De bovenstaande figuur staat ook op het werkblad.

Construeer een richtingsvector van de raaklijn in $P$ aan de baan. Licht je werkwijze toe.

Bereken exact onder welke hoek de raaklijn aan de baan in het punt waar $P$ zich op tijdstip $t = 1 \frac{2}{3} π$ bevindt.

Hoe groot is de versnelling op tijdstip $t$ en in welke richting is die gericht?

${\begin{cases} x = 10 \cos (t) \\ y = 10 \sin (t) \end{cases} met 0 \leq t \leq 2 π$ beschrijft de cirkelbeweging met middelpunt $O (0,0)$ en straal $10$ .
We veranderen de straal in $10 + \sin (16 t)$ , dan krijgen we een lobvormige cirkel $L$ : ${\begin{cases} x = (10 + \sin (16 t)) \cdot \cos (t) \\ y = (10 + \sin (16 t)) \cdot \sin (t) \end{cases}$ .
Die is hiernaast getekend. De figuur staat ook op het werkblad.

Teken op het werkblad nauwkeurig het punt van $L$ dat hoort bij $t = 1 \frac{1}{4} π$ . Licht je werkwijze toe.

Wat is de grootste en wat de kleinste afstand van punten van $L$ tot $O$ ?

Hoe verandert de lobvormige cirkel als we het getal $16$ vervangen door $12$ ? En als we het vervangen door $‐ 16$ ?

Hiernaast is de baan $B$ getekend met bewegingsvergelijkingen ${\begin{cases} x = \frac{1}{4} t^{2} - 3 t \\ y = t + \frac{4}{t} - 5 \end{cases}$ , waarbij $t > 0$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt van $B$ met de $y$ -as exact.

Geef $\lim_{t ↓ 0} x (t)$ en $\lim_{t ↓ 0} y (t)$ . Wat is je conclusie?

Bereken de coördinaten van de punten waar de raaklijn aan de baan horizontaal of verticaal is.

Bereken langs algebraïsche weg de hoek die de baan met de $y$ -as maakt in graden nauwkeurig.

We gaan verder met de vorige opgave. De baan snijdt zichzelf in $S$ , zie figuur.

Bereken de coördinaten van $S$ exact.