1

De bewegingsvergelijkingen van een punt $P$ zijn:
$(x, y) = (t + \cos (t), t + \sin (t))$ .
De baan van $P$ en lijn $m$ met vergelijking $y = x$ .
zijn in figuur 1 getekend.

figuur 1

a

Toon aan dat de snelheid van $P$ gelijk is aan $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2} \cdot \cos (t + \frac{1}{4} π)}$ .

(hint)

Gebruik de somformules.

b

Bereken de tijdstippen waarop de snelheid van $P$ minimaal is exact.
Hoe groot is die snelheid dan exact?

We bekijken opeenvolgende snijpunten van de baan met de lijn $m$ . Er zijn twee mogelijkheden voor de afstand tussen twee van die punten.

c

Toon dat aan en bereken die afstanden exact.

figuur 2

$P$ neemt deel aan twee bewegingen:
$P$ maakt de standaard cirkelbeweging om middelpunt $M$ en $M$ beweegt over lijn $m$ met bewegingsvergelijkingen $(x_{M} (t), y_{M} (t)) = (t, t)$ .
In figuur 2 is het punt $M$ en de cirkel met straal $1$ en middelpunt $M$ getekend.

d

Teken op het werkblad nauwkeurig de raaklijn aan de baan van $P$ op $t = 4$ . Benader eventuele wortels met de GR.
Licht je antwoord toe.

2

Hiernaast zijn de grafieken van de functies $f : x \to 2 x \sqrt{x} - x^{2}$ en $g : x \to 4 - 2 \sqrt{x}$ getekend.

a

Bereken de coördinaten van de punten van de grafiek van $f$ met een horizontale raaklijn.

b

Bereken exact de coördinaten van het punt ( $\neq O$ ) waarin de raaklijn aan de grafiek van $f$ door de oorsprong $O$ gaat.

c

Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door de $x$ -as en de grafiek van $f$ exact.

De grafiek van $f$ heeft een buigpunt.

d

Bereken de coördinaten van dat punt exact.

Het punt $(4,0)$ hebben de grafieken van $f$ en $g$ gemeen.

e

Bereken langs algebraïsche weg in één decimaal nauwkeurig de hoek waaronder de grafieken elkaar snijden in dit punt.

Behalve $(4,0)$ hebben de grafieken van $f$ en $g$ nog een ander punt gemeen.

f

Bereken de eerste coördinaat van dit punt exact.

3

Het punt $P (\cos (t), \sin (t))$ met $0 < t < \frac{1}{2} π$ ligt op de eenheidscirkel.
De rechthoek in de figuur hiernaast heeft $P$ als hoekpunt en een zijde raakt de eenheidscirkel in $(‐ 1,0)$ .
De oppervlakte van de rechthoek noemen we $O (t)$ .

a

Toon aan: $O (t) = \sin (2 t) + 2 \sin (t)$ .

b

Bereken de maximale oppervlakte van de rechthoek exact.

c

Bereken $\sin (t)$ exact als de rechthoek een vierkant is.

4

Gegeven is de lijn $k$ met vergelijking $x + 2 y = 10$ .
Verder is voor elk getal $p$ gegeven de lijn $l_{p}$ met vectorvoorstelling $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ ‐ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 3 \\ p \end{matrix})$ .

a

Bereken voor welke waarde van $p$ de lijnen $k$ en $l_{p}$ loodrecht op elkaar staan.

b

Bereken exact voor welke waarden van $p$ de hoek tussen de lijnen $k$ en $l_{p}$ $45 °$ is.

Voor elke waarde van $p$ met $p \neq ‐ \frac{3}{5}$ , is er een cirkel met middelpunt $O (0,0)$ die de lijn $l_{p}$ raakt.

c

Bereken exact voor welke waarde van $p$ deze cirkel de grootste straal heeft.

5

Hiernaast is driehoek $A B C$ getekend. De gegevens staan in de figuur.
Er geldt $\cos (α) = \frac{3}{4}$ .

a

Toon dat aan.

Bovendien geldt $\cos (γ) = \frac{1}{8}$ .
Als je α en γ op de GR berekent, lijkt γ twee keer zo groot als α. Om aan te tonen dat $γ = 2 α$ is het voldoende om aan te tonen dat $\cos (γ) = \cos (2 α)$ .

b

Toon exact aan dat $\cos (γ) = \cos (2 α)$ .

c

Bereken exact de oppervlakte van driehoek $A B C$ .

(hint)

\sin (α)

bereken je exact met

\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1

.

6

Gegeven is de parabool $p_{1}$ met vergelijking $y = \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 2 \frac{1}{2}$ .
Het beeld van $p_{1}$ bij spiegelen in de lijn $y = x$ is $p_{2}$ .
De punten $(2,2)$ en $(‐ 2, ‐ 2)$ hebben $p_{1}$ en $p_{2}$ gemeenschappelijk, zie de figuur hiernaast.

Het lijkt erop dat de twee parabolen in het punt $(‐ 2, ‐ 2)$ een gemeenschappelijke raaklijn hebben.

a

Toon aan dat dit inderdaad het geval is.

Beide parabolen sluiten een vlakdeel in. Dat is in de figuur hiernaast gekleurd.

b

Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel exact.

De lijn $k$ met pv $(x, y) = (‐ t + 1, t - \frac{1}{2})$ snijdt de twee parabolen van rechtsonder naar linksboven in de punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ .

c

Bereken de afstand $B C$ exact.

De parabool $p_{1}$ wordt ten opzicht van $O (0,0)$ vermenigvuldigd met een factor $f$ . Hierbij is $(3,3)$ het beeldpunt van $(‐ 2, ‐ 2)$ .
Een vergelijking van het beeld van $p_{1}$ is: $y = c {(x - a)}^{2} + b$ .

d

Bereken de getallen $a$ , $b$ en $c$ exact.

7

Voor elk getal α met $0 \leq α < 2 π$ is gegeven de lijn met vergelijking $\cos (α) \cdot x + \sin (α) \cdot y = 1$ .
Bijvoorbeeld $α = \frac{1}{4} π$ geeft de lijn $\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot x + \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot y = 1$ ofwel $x + y = \sqrt{2}$ .

figuur 1

figuur 2

In figuur 1 zijn de lijnen $m_{α}$ getekend met $α = k \cdot \frac{2}{9} π$ voor $k = 0, \dots,17$ .

a

Stel exact vergelijkingen op van de lijnen $m_{α}$ die door $(3,0)$ gaan.

Voor elke $α$ raakt de lijn $m_{α}$ de cirkel met vergelijking
$x^{2} + y^{2} = 1$ .

b

Toon dat aan.

In figuur 2 zijn de lijnen $m_{α}$ getekend met $α = k \cdot \frac{1}{6} π$ voor $k = 0, \dots,11$ . Deze $12$ lijnen begrenzen een twaalfpuntige ster. In de figuur is de ster gekleurd.

De uiteinden van deze ster liggen op een cirkel met middelpunt $O (0,0)$ .

c

Stel exact een vergelijking van deze cirkel op.

(hint)

Kies twee lijnen waarvan het snijpunt op die cirkel ligt.
Bij het kiezen is het handig te weten dat

(\begin{matrix} \cos (α) \\ \sin (α) \end{matrix})

normaalvector van

m_{α}

is en dat het punt

(\cos (α), \sin (α))

op

m_{α}

ligt.

8

Voor elke waarde van $a$ is $f_{a} : x \to \frac{x^{2} + 3 x + a}{| x | - 2}$ .

figuur 1

figuur 2

figuur 3

In figuur 1 staat voor een bepaalde waarde van $a$ de grafiek van $f_{a}$ .
Die grafiek heeft één verticale asymptoot, rechts van de $x$ -as.

a

Bepaal $a$ exact. Licht je antwoord toe.

b

Welk punt van de grafiek van $f_{a}$ is in dit geval perforatie?
Schrijf de bijbehorende limiet op.

We nemen nu $a = 0$ . Je krijgt de grafiek van de functie
$f_{0} : x \to \frac{x^{2} + 3 x}{| x | - 2}$ .
De grafiek van deze functie staat in figuur 2. Deze grafiek heeft vier asymptoten.

c

Geef van de verticale asymptoten een vergelijking.

Eén van de scheve asymptoten heeft vergelijking $y = x + 5$ .

d

Toon dat aan.

e

Geef een vergelijking van de andere scheve asymptoot en schrijf de bijbehorende limiet op.

De lijn $y = 14$ en de grafiek van $f_{0}$ sluiten een vlakdeel in. Dit vlakdeel is in figuur 3 gekleurd.

f

Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel exact.

9

Hiernaast is de grafiek van de functie $f : x \to 3 \cdot \sin^{3} (x)$ getekend.

De functie $F$ met $F (x) = \cos^{3} (x) + a \cos (x)$ is een primitieve van $f$ voor zekere waarde van $a$ .

a

Bereken $a$ exact.

b

Bereken de oppervlakte onder de grafiek van $f$ op het interval $[0, π]$ exact.

De buigpunten van de grafiek van $f$ die niet op de $x$ -as liggen op de lijn $y = \pm b$ voor een of ander positief getal $b$ .

c

Bereken $b$ exact.

10

Voor $r > 0$ zijn gegeven de cirkelbeweging van het punt $P$ met bewegingsvergelijkingen $(x_{P}, y_{P}) = (r \cdot \sin (t), r \cdot \cos (t))$ en de beweging van het punt $Q$ met bewegingsvergelijkingen: $(x_{Q}, y_{Q}) = (r \cdot \sin (t) + \sin (2 t), r \cdot \cos (t))$ .
In beide gevallen nemen we $‐ π < t \leq π$ .

Hierboven zijn de banen van $P$ en $Q$ voor enkele waarden van $r$ getekend. Zij hebben voor alle waarden van $r$ in ieder geval vier gemeenschappelijke punten.

a

Toon dat aan.

b

Bereken exact voor welke waarden van $r$ de baan van $Q$ de $x$ -as onder een hoek van $45 °$ snijdt.

In de volgende twee onderdelen veronderstellen we: $r = 1$ .

In de figuur links is de baan van $Q$ getekend voor dat geval.
De punten van de baan van $Q$ voldoen aan de vergelijking
$x^{2} = 1 + 4 y + 3 y^{2} - 4 y^{3} - 4 y^{4}$ .

c

Toon dat aan.

d

Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat door het vlakdeel begrensd door de baan van $Q$ om de $y$ -as te wentelen.

11

Gegeven zijn de lijnen $k$ en $m$ met de volgende vergelijkingen:
$k : 15 x - 8 y = 110$ en $m : 3 x - 4 y = ‐ 38$ .
In de figuur zijn deze lijnen in een assenstelsel getekend. Ook is met een stippellijn de lijn met vergelijking $y = x$ getekend.

Op de lijn $y = x$ ligt het punt $M (‐ 5 \frac{1}{3}, ‐ 5 \frac{1}{3})$ . De cirkel met middelpunt $M$ die raakt aan de lijnen $k$ en $m$ is $c_{1}$ . Het raakpunt met lijn $m$ is $A$ .

a

Bereken exact de coördinaten van $A$ .

Er is nog een cirkel met middelpunt op de lijn $y = x$ die raakt aan $k$ en $M$ . In de figuur is deze cirkel met middelpunt $N$ getekend.

b

Bereken exact de coördinaten van $N$ .

12

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x \sqrt{x} + 3 \sqrt{x}$ . Op de $x$ -as ligt een punt $A$ , op de grafiek van $f$ een punt $B$ en op de $x$ -as een punt zódat rechthoek $O A B C$ door de grafiek van $f$ in twee stukken verdeeld wordt die zich verhouden als $7 : 8$ , waarbij hoekpunt $C$ in het kleinste stuk ligt.

a

Bereken de lengte van de zijde $O A$ exact.

b

Bereken de coördinaat van het buigpunt van de grafiek van $f$ exact.

c

Wat is het verschil tussen de grafiek van de functie $f$ en de grafiek van de functie $g : x \to \sqrt{x {(x + 3)}^{2}}$ ?

13

Voor elke positieve waarde van $a$ is de kromme $K_{a}$ geparametriseerd door $(x, y) = (\cos (t), \sin^{2} (t) + a \sin (t))$ . We nemen $‐ π < t \leq π$ . Hieronder is voor enkele waarden van $a$ de kromme $K_{a}$ getekend.

a

Toon aan: $K_{a}$ snijdt de $y$ -as voor elke $a$ loodrecht.

b

Bereken exact voor welke waarden van $a$ de kromme $K_{a}$ slechts twee punten met een horizontale raaklijn heeft.

We nemen $a = 1$ . Je krijgt dan de kromme die in de figuur in het midden is getekend.
Een lijn evenwijdig met de $y$ -as snijdt de kromme in twee punten die afstand $\sqrt{3}$ tot elkaar hebben.

c

Bereken de coördinaten van die punten exact.

14

In de figuur hiernaast is de lijn $k$ door $A (6,0)$ getekend die een hoek van $30 °$ met de negatieve $x$ -as maakt. De lijn door $O (0,0)$ en het punt $P (\cos (t), \sin (t))$ snijdt $k$ in $Q$ .
De lengte van lijnstuk $O Q$ noemen we $f (t)$ .
We nemen $‐ \frac{1}{6} π < t < \frac{5}{6} π$ .

De grafiek van $f$ heeft twee verticale asymptoten.

a

Welke? Licht je antwoord toe.

b

Bepaal de minimale waarde van $f (t)$ en de waarde van $t$ waarop die bereikt wordt.

Er geldt: $f (t) = \frac{6}{\cos (t) + \sqrt{3} \cdot \sin (t)}$ .

c

Toon dat aan.

d

Bereken de minimale waarde van $f (t)$ exact met differentiëren.

e

Bereken $a$ exact.

15

Hiernaast zijn voor verscheidene waarden van $p$ de functies $f_{p}$ getekend met $f_{p} (x) = (x - p) e^{x}$ .
In een andere kleur is de grafiek van een functie $g$ getekend waarop de 'toppen' van de grafieken van $f_{p}$ liggen.

a

Geef op exacte wijze een formule voor $g (x)$ .

De grafiek van één van de functies $f_{p}$ snijdt de $x$ -as onder een hoek van $60 °$ .

b

Bereken die waarde van $p$ exact.

c

Bereken exact voor welke waarde van $p$ het buigpunt van de grafiek van $f_{p}$ op de lijn $y = ‐ 4$ ligt.

16

In de figuur is de grafiek van de functie $f$ met
$f (x) = x (2 - \ln (x))$ getekend, het punt $A (0,3)$ en de raaklijn in $A$ aan de grafiek van $f$ .

a

Bereken exact de maximale waarde van $f (x)$ .

b

Bepaal exact een vergelijking van de raaklijn door $A$ aan de grafiek van $f$ .

(hint)

Een vergelijking van de raaklijn is

y = a x + 3

.Noem de eerste coördinaat van het raakpunt

b

en druk de helling van de raaklijn op twee manieren uit in

a

en

b

.

Er zijn getallen $a$ en $b$ zó, dat de functie
$F$ met $F (x) = a x^{2} \ln (x) + b x^{2}$ een primitieve van $f$ is.

c

Bereken $a$ en $b$ exact.

d

Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de $x$ -as, de lijn $x = 1$ en de grafiek van $f$ , rechts van de lijn $x = 1$ .

Voor elke waarde van $p$ is $f_{p} : x \to x (p - \ln (x))$ .

e

Bewijs dat de grafiek van $f_{p}$ de $x$ -as voor elke waarde van $p$ onder dezelfde hoek snijdt.

17

In de figuur hiernaast zijn getekend de grafieken van de functies $f : x \to \sqrt[3]{3 \frac{1}{4} - x^{3}}$ en $g : x \to 1 - x$ .
Verder is de lijn met vergelijking $y = x$ gestippeld.
Eén van de snijpunten van de grafieken van $f$ en $g$ is $A$ .

a

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van $f$ en $g$ exact.

b

Geef langs algebraïsche weg een formule voor de inverse functie van $f$ .
Wat betekent je antwoord voor de grafiek van $f$ ?

18

Op de eenheidscirkel in figuur 1 ligt het punt $P (\cos (t), \sin (t))$ , met $0 < t < \frac{1}{4} π$ . Het spiegelbeeld van $P$ in de lijn $y = x$ is $Q$ . De gekleurde band wordt begrensd door twee vierkanten waarop de spiegelbeelden van $P$ en $Q$ in de $x$ -as, $y$ -as of $O$ liggen.

figuur 1

figuur 2

figuur 3

a

Toon aan dat de oppervlakte van die band gelijk is aan $4 \cos (2 t)$ .

In figuur 2 nemen we $0 < t < \frac{1}{2} π$ .
De gelijkbenige driehoek heeft hoekpunten $P (\cos (t), \sin (t))$ , het spiegelbeeld van $P$ in de $y$ -as en $(0, ‐ 1)$ .
De oppervlakte van de driehoek noemen we $O (t)$ .
Er geldt: $O (t) = \cos (t) + \frac{1}{2} \sin (2 t)$ .

b

Toon dat aan.

We bekijken de functie $y = \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (2 x)$ met domein $[0,2 π]$ .

c

Bereken exact de coördinaten van de punten op de grafiek van deze functie met een horizontale raaklijn.

In figuur 3 is $S (1,0)$ het startpunt van de standaard cirkelbeweging. Het punt $P$ is weer $(\cos (t), \sin (t))$ , dus boog $S P$ heeft lengte $t$ .
We nemen $0 < t < π$ .

d

Toon aan: de lengte van lijnstuk $S P$ is: $2 \sin (\frac{1}{2} t)$ .

19

$c$ is de cirkel met middelpunt $M$ en straal $r$ . $P$ is een punt buiten $c$ . Een lijn door $P$ snijdt $c$ in twee punten $A$ en $B$ .

a

Bewijs: $P A \cdot P B = P M^{2} - r^{2}$ .

(hint)

Noem de loodrechte projectie van

M

op lijn

P A

N

en pas de stelling van Pythagoras toe.

Neem aan: $P = (5, ‐ 5)$ , $M = (3,6)$ en $c$ de cirkel met middelpunt $M$ en straal $r = 5 \sqrt{2}$ .
Een lijn door $P$ snijdt $c$ in $A$ en $B$ zó, dat $A B = 10$ . Neem aan dat $A$ het dichtst bij $P$ ligt.

b

Bereken de exacte afstand van $P$ tot $A$ .

c

Bereken exact de coördinaten van $A$ (twee mogelijkheden).

20

In de figuur hieronder staan de cirkels $a$ , $b$ en $c$ met middelpunt $A (‐ 3,0)$ , $B (7,0)$ en $C$ . De straal van $a$ is $4$ , die van $b$ is $5$ en die van $c$ is $1$ .

Cirkel $c$ wordt om $b$ gerold, $b$ en $c$ raken elkaar dus.

In de figuur links raakt $c$ ook $a$ .

a

Bereken in dit geval de eerste coördinaat van $C$ exact.

In de figuur rechts is de cirkel zó gerold, dat lijn $A C$ cirkel $b$ raakt.

b

Bereken in dit geval de eerste coördinaat van $C$ .

21

Een familie exponentiële functies
Voor $n = 1, 2, 3, \dots$ is $f_{n}$ de functie gedefinieerd door
$f_{n} (x) = e^{\frac{x}{n}}$ .
In figuur hieronder links zijn de grafieken van $f_{1}$ tot en met $f_{5}$ getekend.
Voor elke $n$ raakt de lijn met vergelijking $y = \frac{e}{n} \cdot x$ de grafiek van $f_{n}$ .

a

Bewijs dit.

In de figuur hierboven rechts is het vlakdeel begrensd door de grafieken van $f_{1}$ , $f_{2}$ en de lijn $y = 4$ gekleurd.

b

Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel exact.

22

Voor elk positief getal $n$ is de functie $f_{n}$ op het interval $[0, π]$ gedefinieerd door $f_{n} (x) = \sin (x) + \frac{1}{n} \cdot \sin (n x)$ . In de figuur hieronder is de de grafiek van de functie $f_{n}$ voor zekere waarde van $n$ op $[0, π]$ getekend en de grafiek van de functie $x \to \sin (x)$ .

a

Bepaal die waarde van $n$ . Licht je antwoord toe.

We bekijken de raaklijnen aan de grafiek van $f_{n}$ in de eindpunten $(0,0)$ en $(π,0)$ .
Voor even waarden van $n$ zijn die raaklijnen evenwijdig.

b

Toon dat aan en bereken die oppervlakte exact.

Voor elke waarde van $n$ ligt de grafiek van $f_{n}$ boven de $x$ -as.

c

Druk de oppervlakte onder de grafiek van $f_{n}$ in $n$ uit. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Maak in je antwoord onderscheid tussen $n$ even en $n$ oneven.

23

In de figuur is de lijn $k$ getekend met vergelijking $y = 2 x - 3$ en het punt $A (3,1)$ . Een cirkel met straal $2 \sqrt{5}$ gaat door $A$ en raakt $k$ ,

Bereken de coördinaten van het middelpunt van die cirkel exact.

24

De hoogtelijnen in een driehoek gaan door één punt.
In deze opgave bewijzen we deze stelling.
De kiezen het assenstelsel en de eenheid zó, dat een van de hoekpunten $O (0,0)$ is en een $(1,0)$ . Dit hoekpunt noemen we $A$ . Het derde hoekpunt is $B (a, b)$ , met $b \neq 0$ .

De hoogtelijn $h_{O}$ uit $O$ heeft vergelijking $(a - 1) x + b y = 0$ .

a

Leg dat uit.

b

Geef een vergelijking van de hoogtelijn $h_{B}$ uit $B$ en druk het snijpunt van de hoogtelijnen $h_{O}$ en $h_{B}$ uit in $a$ en $b$ .

c

Geef een vergelijking van de hoogtelijn $h_{A}$ uit $A$ en ga na dat het snijpunt dat je in het vorige onderdeel gevonden hebt op deze lijn ligt.

25

Machten van sinus en cosinus
Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = {(1 - \sqrt{x})}^{2}$ met $0 \leq x \leq 1$ .
Verder is gegeven het lijnstuk $A B$ met $A (1,0)$ en $B (0,1)$ . Zie de figuur hiernaast.
Tussen de grafiek van $f$ en het lijnstuk $A B$ worden verticale verbindingslijnstukken getekend. In de figuur zijn enkele verbindingslijnstukken getekend.
De lengte van een verticaal verbindingslijnstuk wordt gegeven door de formule $L = ‐ 2 x + 2 \sqrt{x}$ .

a

Toon dat aan.

b

Bereken exact de maximale lengte van zo’n verbindingslijnstuk.

Voor elk positief geheel getal $n$ bekijken we de baan $K_{n}$ van een punt dat beweegt volgens $(x (t), y (t)) = (\cos^{n} (t), \sin^{n} (t))$ , met $0 \leq t \leq \frac{1}{2} π$ . In de figuur hiernaast zijn vier banen getekend.

Gegeven een punt $P$ van $K_{6}$ .

c

Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan $K_{6}$ in punt $P$ gelijk is aan $‐ \tan^{4} (t)$ .

In een punt $P$ van $K_{6}$ heeft de raaklijn aan $K_{6}$ richtingscoëfficiënt $‐ 9$ .

d

Bereken de coördinaten van $P$ exact.

Voor een bepaalde waarde van $n$ liggen de punten van $K_{n}$ op de grafiek van $f$ en voor een bepaalde waarde van $n$ liggen de punten van $K_{n}$ op het lijnstuk $A B$ .

e

Onderzoek welke twee waarden van $n$ dit zijn en toon met behulp van formules de juistheid van je bewering aan.

26

Verschuivend zwaartepunt
Een kubusvormige bak met deksel heeft binnenmaten $10$ bij $10$ bij $10$ cm en weegt $1$ kilogram.
Het zwaartepunt van de bak ligt in het centrum van de bak, dus $5$ cm boven het midden van de bodem.
De bak wordt met water gevuld tot een hoogte van $h$ cm. Het zwaartepunt van het water (de bak niet meegerekend) ligt in het centrum van het water, boven het midden van de bodem. De hoogte (in cm) waarop het zwaartepunt van het geheel (bak en water samen) ligt, noemen we $h$ .
Er geldt: $z = \frac{h^{2} + 100}{2 h + 20}$ .

a

Toon aan:

b

Bereken algebraïsch voor welke waarden van $h$ `geldt:
$z < 4 \frac{1}{2}$ . Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

c

Bereken exact voor welke waarde van $h$ de afstand van het zwaartepunt van bak met water tot de bodem minimaal is.

27

figuur 1

figuur 2

Een kogeltje is op tijdstip $t$ tussen $0$ en $2 π$ in $(x (t), y (t)) = (\cos (2 t) - \sin (t), \sin (2 t) + \cos (t))$ . We vatten de beweging van het kogeltje op als een samengestelde beweging van de beweging $(x (t), y (t)) = (\cos (2 t), \sin (2 t))$ en de beweging $(x (t), y (t)) = (‐ \sin (t), \cos (t))$ .

In figuur 1 is de eenheidscirkel getekend met daarop de punten $A$ , $B$ en $S (1,0)$ .
$A = (\cos (2 t), \sin (2 t))$ voor een zekere waarde van $t$ . Neem aan dat de lijnen $A S$ en $O B$ evenwijdig zijn.

a

Toon aan dat $B = (‐ \sin (t), \cos (t))$ .

(hint)

Teken de middelloodlijn van $A S$ en bedenk dat ${(a, b)}_{L} = (‐ b, a)$ .

b

Teken op het werkblad de plaats van het kogeltje bij de gegeven waarde van $t$ .

In figuur 2 is de baan $K$ van het kogeltje getekend met daarop een punt $C$ . De eenheidscirkel staat (in een andere kleur) in de figuur.

c

Construeer de raaklijn aan $K$ in het punt $C$ . Licht je werkwijze toe.

d

Bereken exact op welk tijdstippen de afstand van het kogeltje tot $O$ gelijk is aan $\sqrt{3}$ .

e

Bereken de maximale waarde van $p$ waarvoor de lijn $x = p$ de baan $K$ raakt.

28

Een ligfietser trapt de pedalen rond. We bekijken de veranderende hoek α tussen het bovenbeen $A B$ en het onderbeen $B C$ .
Het punt $C$ beweegt over de eenheidscirkel.
$A$ is het punt $(5,0)$ . We nemen $A B = B C = 3$ . α hangt af van hoek $C O A$ , we noemen die $t$ .
We nemen $0 \leq t \leq π$ .

Er geldt: $\cos (α) = ‐ \frac{4}{9} + \frac{5}{9} \cos (t)$ .

a

Toon dat aan.

(hint)

Gebruik tweemaal de cosinusregel.

b

Geef langs algebraïsche weg de maximale hoek $α$ exact en de minimale in twee decimalen (in graden).

Door het punt $A$ over de $x$ -as te verschuiven, veranderen de waarden die α aan kan nemen.

c

Hoe moet je $A$ verschuiven als $60 °$ graden de minimale waarde van α is?
Wat is in dat geval de maximale waarde van α?