-

Nee

Nee

Nee. Een hoekpunt van de rechthoek ligt op afstand $1$ van de buiteniso-afstandslijn en op afstand $\sqrt{2}$ van de binneniso-afstandslijn.

Die bestaat uit $12$ lijnstukken gelijk aan de zijde van lengte $2-\frac{1}{3}\sqrt{3}$ van het rechthoekig trapezium in de figuur en $6$ cirkelbogen van $120°$ en straal $1$.
Dus de lengte is: $12(2-\frac{1}{3}\sqrt{3})+6\cdot \frac{1}{3}\cdot 2\text{π}=24-4\sqrt{3}+4\text{π}$.

Die bestaat uit de oppervlakte van $12$ trapezia en $6$ cirkelsectoren van $\text{120}°$ met straal $1$.
De oppervlakte van een trapezium is $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot (2+2-\frac{1}{3}\sqrt{3})$.
De gevraagde oppervlakte is dus $6\cdot 1\cdot (2+2-\frac{1}{3}\sqrt{3})+6\cdot \frac{1}{3}\cdot \text{π}\cdot 1^2=24-2\sqrt{3}+2\text{π}$.

$90+5\text{π}$, $70+10\text{π}$

$1000+25\text{π}$, $1800+100\text{π}$

Het snijpunt van de lijn $EM$ met boog $AB$ noemen we $X$ en de afstand van $X$ tot $M$ noemen we $r$. Dan moete we de iso-$r$-afstandslijn tot de kust tekenen.
Die bestaat uit twee cirkelbogen door $M$ de een met middelpunt $E$ en de ander met middelpunt $F$ en een cirkelboog met middelpunt $M$ en straal $6-r$.

$L$ ligt op de cirkel met middelpunt $E$, ligt dus op de iso-$x$-afstandslijn waarbij
$x=\left|LE\right|-\left|AE\right|$.
$L$ ligt ook een cirkel met middelpunt $M$ waarbij $\left|ML\right|+x=6$.
Dus $\left|LM\right|+\left|LE\right|=6-x+x+\left|AE\right|=9$.

De punten $X$ en $Y$, zie figuur.

De punten op de conflictlijn 'links' van $X$ liggen even ver van $k$ als van $p$, dus op de bissectrice van $k$ en $p$.
De punten rechts van $Y$ liggen op de bissectrice van $k$ en $q$.

$135°$
Voor uitleg, zie volgend onderdeel.

De gevraagde hoek is $\text{α}+2\text{β}$.
Er geldt: $\text{α}+4\text{β}=180°$, dus $\text{α}+2\text{β}=\text{α}+\frac{1}{2}(180°-\text{α})=\frac{1}{2}\text{α}+90°$.

Zie figuur bij het volgend onderdeel.

Op de bissectrice van de hoek van de inham, vanaf het hoekpunt tot aan de loodrechte projectie van het linker beginpunt van de inham op de bissectrice.

Het gebied buiten een driehoek en het middelpunt van de ingeschreven cirkel van die driehoek.

Het gebied buiten een cirkel en het middelpunt van die cirkel.

De binnenzee wordt verdeeld door de drie bissectrices van de de driehoek.

Dat zijn de bissectrices van de hoeken van de binnenzee. De bissectrices gaan door één punt.

Die zijn even groot.

Voor punten op dat lijnstuk zijn de punten die het dichtst bij land liggen loodrechte verbindingslijnstukken naar de kustlijn van $A$ en $C$. Aangezien deze even lang moeten zijn, liggen die punten op de bissectrice van die twee kustlijnen.

Zie figuur 1 hieronder. De 'grenzen' zijn middelloodlijnen van zijden van het trapezium.

Neem aan: $V$ is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$, ligt dus even ver de punten $A$, $B$ en $C$.
Omdat de middelloodlijn van $AB$ symmetrieas van het trapezium is, is deze lijn ook middelloodlijn van $CD$, dus ligt $V$ even ver van $C$ als van $D$.

Zie figuur 2. De lijnen $AD$ en $BC$ snijden elkaar in $W$. Dan $\angle AWB=180°-2\cdot 59°=62°$, dus $M$ en $N$ zijn de middens van de opstaande zijden van het trapezium. Dan $\angle MVN=180°-62°=118°$, dus de gevraagde hoeken zijn: $\frac{1}{2}\cdot 118°=59°$, $59°$, $180°-59°=121°$ en $121°$.

Zie figuur 1.
$P$ is het snijpunt van de middelloodlijn van lijnstuk $SF$ met lijn $SM$.

Zie figuur 2.
Teken de cirkel met middelpunt $M$ en een straal die half zo groot is als de straal van de gegeven cirkel. De punten $T$ zijn snijpunt van die cirkel en de middelloodlijn van $MF$. De gevraagde punten $S$ zijn de snijpunten van een lijn $MT$ met de oorspronkelijke cirkel.

-

-

De drie figuren die je getekend hebt zijn gelijkvormig.

De hoekpunten van de rechthoek die op de parabool liggen noemen we $P$ en $Q$.
$P$ ligt op de parabool, dus $\left|PV\right|=\left|FV\right|$. Verder: $\left|QF\right|=\left|PF\right|$, dus de verhouding is $2:1$.

Teken de cirkels met middelpunt $P$ en $Q$ die de richtlijn raken. Hun snijpunten zijn de mogelijke brandpunten.

Zie figuur. Merk op dat de lijn door het brandpunt loodrecht op de richtlijn symmetrieas van de parabool is en dat de top van de parabool op de symmetrieas ligt op gelijke afstand van het brandpunt en de richlijn.

Zie figuur 1.

Zie figuur 2.
'Links' van $Y$ is de conflictlijn de bissectrice van hoek KLM, 'tussen' $X$ en $Y$ deel van de parabool met brandpunt $K$ en richtlijn de kustlijn van land $A$ en 'rechts' van $X$ de middenparallel van de oost-west-kustlijnen.

$\left|PK\right|=\left|PD\right|$ want $P$ ligt op de conflictlijn en $\left|KE\right|=\left|PD\right|=30$, Dus $\left|PE\right|=\left|PF\right|$.

$(\mathrm{1,3})$, $(\mathrm{3,1})$ en $(\mathrm{7,3})$

Brandpunt in beide gevallen $(\mathrm{3,3})$ en richtlijnen $x=\mathrm{‐}1$ en $y=\mathrm{‐}1$.

De afstand punt $(\mathrm{2,}y)$ tot de $x$-as is $y$, dus de afstand tot de cirkel is ook $y$, dus de afstand tot $(\mathrm{3,3})$ is $y+1$.
De afstand van $(\mathrm{2,}y)$ tot $(\mathrm{3,3})$ is $\sqrt{1+{(y-3)}^2}$.
Dus: $y+1=\sqrt{1+{(y-3)}^2}$.
Deze vergelijking lossen we op:

De oplossing van deze vergelijking is dus $y=1\frac{1}{8}$.

Het andere punt heeft een $y$-coördinaat groter dan $3$. Het ligt even ver van de $y$-as als van de cirkel. De afstand tot de $y$-as is $2$, dus de afstand tot $(\mathrm{3,3})$ is $3$.
Dus: $3=\sqrt{1+{(y-3)}^2}\iff {(y-3)}^2=8\iff y-3=\pm 2\sqrt{2}$, dus $y=3+2\sqrt{2}$.

$(\mathrm{0,0})$ ; de $y$-as

De afstand van $(x,y)$ tot de lijn $y=\mathrm{‐}1$ is $|y+1|$ en de afstand tot $(\mathrm{0,1})$ is $\sqrt{x^2+{(y-1)}^2}$.
herschrijven:
$|y+1|=\sqrt{x^2+{(y-1)}^2}\iff y^2+2y+1=x^2+{(y-1)}^2\iff$
$y^2+2y+1=x^2+y^2-2y+1\iff$ $y=\frac{1}{4}{x}^2$.

Een punt op $P$ is van de vorm $(a,\frac{1}{4}{a}^2)$. Als je dit punt met $\frac{1}{4}$ ten opzichte van $O$ vermenigvuldigt, krijg je het punt $(\frac{1}{4}a,\frac{1}{16}{a}^2)$. Dit punt voldoet aan de vergelijking $y=x^2$.
Je krijgt ook alle punten van de parabool met vergelijking $y=x^2$ , want $\frac{1}{4}a$ neemt alle waarden aan als $a$ dat doet.

De parabool met richtlijn $y=\mathrm{‐}1$ en brandpunt $(\mathrm{0,1})$ moet je met $\frac{1}{4}$ ten opzichte van $O$ vermenigvuldigen om de standaard-parabool te krijgen. Dus de richtlijn heeft vergelijking $y=\mathrm{‐}\frac{1}{4}$ en het brandpunt is $(\mathrm{0,}\frac{1}{4})$.

Stel de richtlijn heeft vergelijking $y=\mathrm{‐}a$, met $a>0$, dan is het brandpunt $(\mathrm{‐}\mathrm{2,}a-2)$, want de top van de parabool is $(\mathrm{‐}\mathrm{2,}\mathrm{‐}1)$. Een punt van de parabool is bijvoorbeeld $(\mathrm{0,1})$. De afstand van $(\mathrm{0,1})$ tot de lijn $y=\mathrm{‐}a$ is hetzelfde als de afstand van $(\mathrm{0,1})$ tot $(\mathrm{‐}\mathrm{2,}a-2)$, dus $a+1=\sqrt{2^2+{(a-3)}^2}$ ;
dit geeft $a=1\frac{1}{2}$, dus het brandpunt is $(\mathrm{‐}\mathrm{2,}\mathrm{‐}\frac{1}{2})$ en de richtlijn heeft vergelijking $y=\mathrm{‐}1\frac{1}{2}$.