Ellipsen

Definitie
Gegeven zijn een punt $F$ en een cirkel $r$ met middelpunt $M$ ; $M$ ligt binnen $r$ .
De conflictlijn tussen $F$ en $r$ heet een ellips.
$F$ heet brandpunt en $r$ heet richtcirkel van de ellips.

De constructie van een ellips vanuit voetpunten
Een punt $P$ ligt op de ellips met brandpunt $F$ en richtcirkel $r$ als $d (P, F) = d (P, r)$ . Als je een punt $P$ op de ellips hebt, kun je zijn voetpunt $V$ op $r$ bepalen. Omdat $| P F | = | P V |$ , ligt $F$ op de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ , zie de figuur hieronder.

Omgekeerd kun je uitgaande van een voetpunt $V$ op $r$ het bijbehorende punt $P$ op de ellips bepalen.
Als volgt (zie de figuur hieronder:

Richt de loodlijn in $V$ op $r$ op (dat is de lijn van $V$ naar het middelpunt $M$ van $r$ ).
Teken de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .
Het snijpunt van deze twee lijnen is $P$ .

Teken een cirkel $r$ met straal $4$ cm en een punt $F$ op afstand $3$ cm van het middelpunt $M$ .
Kies vijf voetpunten op $r$ en voer bovenstaande constructie met elk van deze voetpunten uit. Schets daarna de ellips met $F$ als brandpunt en $r$ als richtlijn.

Dezelfde opdracht, maar nu met $F$ op afstand $1$ cm van het middelpunt $M$ van $r$ .

Het is duidelijk dat de lijn $F M$ symmetrieas is van de ellips.

Bereken van de twee ellipsen in de onderdelen a en b hoe lang het stuk van de symmetrieas is, binnen de ellips.

Zijn alle ellipsen gelijkvormig?

Bekijk nog eens bovenstaande constructie.

Leg uit dat $| P F | + | P M |$ voor elk punt $P$ op de ellips hetzelfde is.

We verwisselen de rollen van $F$ en $M$ .

Wat is de conflictlijn tussen het punt $M$ en de cirkel $r^{'}$ met middelpunt $F$ en dezelfde straal als $r$ ?

Je kunt de rollen van $F$ en $M$ verwisselen!
Een ellips heeft dus twee brandpunten en twee richtcirkels.

Als $F_{1}$ en $F_{2}$ de brandpunten zijn van een ellips, dan is voor elk punt $P$ op de ellips de som van zijn afstanden tot $F_{1}$ en $F_{2}$ hetzelfde: $| P F_{1} | + | P F_{2} | = R$ , waarbij $R$ de straal van de richtcirkels is. We noemen $R$ de ellipsconstante

De ellips heeft twee symmetrieassen: de lijn $F_{1} F_{2}$ en de middelloodlijn van lijnstuk $F_{1} F_{2}$ .
Deze symmetrieassen snijden de ellips in de zogenaamde toppen.
Het lijnstuk dat door de ellips van de lijn $F_{1} F_{2}$ wordt afgesneden heet de lange as.
Het lijnstuk dat door de ellips van de middelloodlijn van lijnstuk $F_{1} F_{2}$ wordt afgesneden heet de korte as.

Van een ellips is $| F_{1} F_{2} | = 24$ en is de ellipsconstante $26$ .

Bereken de lengte van de lange as.

Bereken de lengte van de korte as.

Een ellips is in een coördinatenstelsel getekend, zó dat de toppen $(17,0)$ , $(0,8)$ , $(‐ 17,0)$ en $(0, ‐ 8)$ zijn.

Wat is de ellipsconstante?

Bereken de coördinaten van de brandpunten.

De eigenschap dat de som van de afstanden tot de brandpunten voor punten op de ellips constant is, brengt ons op een andere constructiemethode voor de ellips.

Op het werkblad staan de brandpunten $F_{1}$ en $F_{2}$ van een ellips en iso-afstandslijnen van $F_{1}$ en $F_{2}$ bij afstanden $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ en $10$ .

Teken enkele punten van de ellips als de ellipsconstante $6$ is en schets daarna de ellips.

Doe dat ook als de ellipsconstante $10$ is.

Opmerking:

De constructie via de som van de afstanden tot de brandpunten is heel praktisch. Duw twee punaises op de plaatsen van de brandpunten en maak met een touwtje een lus. Leg de lus om de punaises en trek hem strak met een potlood. Door het potlood rond te bewegen, teken je een ellips.

De afstand van de brandpunten in opgave 44 is $4 \frac{1}{2}$ .

Hoe lang moet de lus zijn voor de ellips uit opgave 44a?

En voor de ellips uit opgave 44b?

De touwtjesconstructie wordt in Duitsland "die Gärtnerkonstruktion" genoemd.
Dit omdat deze wel door tuinlieden wordt gebruikt voor de aanleg van ovale bloemperken. De constructie werd het eerst beschreven door Anthemius van Tralles (6e eeuw), een van de bouwmeesters van de Hagia Sophia te Constantinopel.

Hyperbolen

Definitie
Gegeven zijn een punt $F$ en een cirkel $r$ met middelpunt $M$ ; $F$ ligt buiten $r$ .
De conflictlijn tussen $F$ en $r$ is een tak van een hyperbool. De punten $F$ en $M$ heten de brandpunten van de hyperbool. $r$ heet richtcirkel van de hyperbool.

De constructie van een hyperbool vanuit voetpunten
Een punt $P$ ligt op de hyperbool met brandpunt $F$ en richtcirkel $r$ als $d (P, F) = d (P, r)$ . Als je een punt $P$ op de hyperbooltak hebt, kun je zijn voetpunt $V$ op r bepalen. Omdat $| P F | = | P V |$ , ligt $P$ op de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .
Omgekeerd kun je uitgaande van een voetpunt $V$ op $r$ het bijbehorende punt $P$ op de hyperbooltak bepalen.

Teken een cirkel $r$ met straal $3$ cm en een punt $F$ buiten $r$ op afstand $2$ cm van $r$ .
Kies vijf voetpunten op $r$ en zoek de bijbehorende punten van de hyperbool.
Maak een schets van de hyperbooltak.

Bekijk nog eens de constructie in de vorige opgave.

Leg uit dat $| P M | - | P F |$ voor elk punt $P$ op de hyperbooltak hetzelfde is.

We verwisselen de rollen van $F$ en $M$ . De conflictlijn tussen het punt $M$ en de cirkel $r^{'}$ met middelpunt $F$ en dezelfde straal als $r$ is ook een hyperbooltak.

Wat weet je van $| P M | - | P F |$ voor de punten $P$ op deze conflictlijn?

We hebben nu twee hyperbooltakken.

Wat hebben die met elkaar te maken?

De twee hyperbooltakken samen vormen de hyperbool met brandpunten $F$ en $M$ . Een hyperbool heeft dus twee brandpunten en twee richtcirkels.

Als $F_{1}$ en $F_{2}$ de brandpunten zijn van een hyperbool, dan is voor elk punt $P$ op de hyperbool het absolute verschil van zijn afstanden tot $F_{1}$ en $F_{2}$ hetzelfde: $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = R$ , waarbij $R$ de straal van de richtcirkels is.
We noemen haar de hyperboolconstante.

Een hyperbool met brandpunten $F_{1}$ en $F_{2}$ heeft twee symmetrieassen: de lijn $F_{1} F_{2}$ en de middelloodlijn van het lijnstuk $F_{1} F_{2}$ . De eerste symmetrieas snijdt de hyperbool in de zogenaamde toppen. Het verbindingslijnstuk tussen de toppen heet de as van de hyperbool.

Hiernaast en op het werkblad staat een hyperbooltak met zijn brandpunten $F_{1}$ en $F_{2}$ en een symmetrieas. Gegeven: $| F_{1} F_{2} | = 6$ en de hyperboolconstante van de hyperbool is $4$ .

Teken op het werkblad de richtcirkel.

Hoe lang is de as?

Hiernaast staat een tak van een hyperbool met zijn brandpunt $F$ en een stuk van zijn richtcirkel $r$ . Bij elk punt $P$ op de hyperbooltak bepalen we zijn voetpunt op de richtcirkel. Deze voetpunten tezamen vormen een boog van de richtcirkel.

Geef op het werkblad zo goed mogelijk die boog aan.

Teken in de tweede figuur op het werkblad de raaklijnen uit $F$ aan de richtcirkel

Noem de raakpunten $R_{1}$ en $R_{2}$ .

Leg uit dat $R_{1}$ en $R_{2}$ geen voetpunten van punten op de hyperbooltak kunnen zijn.

Kennelijk zijn $R_{1}$ en $R_{2}$ de eindpunten van de cirkelboog uit a.

De middelloodlijnen van de lijnstukken $F R_{1}$ en $F R_{2}$ noemen we $a_{1}$ en $a_{2}$ .

Bewijs dat $a_{1}$ en $a_{2}$ door het midden van lijnstuk $M F$ gaan.

Bewijs dat elk punt $Q$ van $a_{1}$ dichter bij de richtcirkel ligt dan bij het brandpunt.

(hint)

Gebruik de driehoeksongelijkheid in driehoek

M Q R_{1}

In opgave 49e heb je gezien dat de hyperbooltak geheel aan één kant van $a_{1}$ ligt. In de volgende opgave bewijzen we dat de hyperbooltak willekeurig dicht bij $a_{1}$ komt. Bijgevolg is de lijn $a_{1}$ asymptoot van de hyperbooltak.

In de figuur hieronder is $r$ de richtcirkel ( $M$ is zijn middelpunt) en $F$ het brandpunt van een hyperbooltak. Getekend is een raaklijn uit $F$ aan $r$ ; het raakpunt heet $R$ . $a$ is de middelloodlijn van lijnstuk $F R$ ; $b$ is een lijn parallel aan $a$ , aan de kant van $F$ .

We willen bewijzen dat er tussen $a$ en $b$ nog punten van de hyperbooltak liggen. (Omdat $b$ willekeurig dicht bij $a$ gekozen kan worden, is $a$ bijgevolg asymptoot van de hyperbooltak.)

Teken op het werkblad het spiegelbeeld $G$ van $F$ in $b$ . Bepaal vervolgens de snijpunten $A$ en $B$ van lijn $M G$ met respectievelijk $a$ en $b$ .

Bewijs dat $d (B, r) > | B F |$ , dus dat $B$ aan die kant van de conflictlijn ligt waar $F$ ook ligt.

Bewijs dat $d (A, r) < | A F |$ , dus dat $A$ aan die kant van de conflictlijn ligt waar $r$ ook ligt.

Leg uit hoe uit b en c volgt dat er een punt is van de hyperbooltak tussen $a$ en $b$ .

Een hyperbooltak heeft richtcirkel $r$ en brandpunt $F$ .
De raaklijnen vanuit $F$ aan $r$ raken de richtcirkel in $R$ en $S$ .
De middelloodlijnen van de lijnstukken $R F$ en $S F$ zijn de asymptoten van de hyperbooltak.

Opmerking:

Deze lijnen zijn ook de asymptoten van de gehele hyperbool.