1

a

Zie figuur 1 hieronder.

b

Zie figuur 2 hieronder.

c

Noem de "uiterste punten" van de ellips $P$ en $Q$ en de bijbehorende voetpunten $V$ en $W$ , met $P$ het dichtst bij $F$ .
Neem aan $| F M | = 1$ .
Uit $| V P | + | P F | = 3$ en $| V P | = | P F |$ volgt: $| P F | = 1 \frac{1}{2}$ .
Uit $| W Q | + | Q F | = 5$ en $| W Q | = | Q F |$ volgt: $| Q F | = 2 \frac{1}{2}$ .
Dus $| P Q | = | P F | + | Q F | = 4$ .
Als $| F M | = 3$ vind je op dezelfde manier dat $| P Q | = 4$ .

d

Nee in de twee voorbeelden zie al dat dit niet zo is.
De verhouding van de lange en de korte as is niet voor elke ellips hetzelfde. Die verhouding varieert zelfs van $1 : 1$ (bij een cirkel) tot $1 :$ willekeurig groot getal (bij een "lange-platte" ellips).

2

a

Noem de straal van de cirkel $R$ .
Dan geldt: $| P F | + | P M | = x + R - x = R$ .

b

Die bestaat ook uit de punten $P$ waarvoor geldt:
$| P F | + | P M | = R$ . Het is dus precies dezelfde ellips.

3

a

Stel dat lijn $F_{1} F_{2}$ de ellips in $P$ en $Q$ snijdt.
Stel $| P F_{1} | = x$ , dan vanwege symmetrie: $| Q F_{2} | = x$ . Er geldt: $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 26$ , dus $| P F_{2} | = 26 - x$ .
Dan $| P Q | = | P F_{2} | + x = 26 - x + x = 26$ .
Dus de lange as heeft lengte $26$ .

b

Neem aan dat $R$ op de korte as ligt en het snijpunt van de assen $O$ is.

Dan $| R F_{1} | = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$ en $| O F_{1} | = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ vanwege symmetrie.
Uit de stelling van Pythagoras volgt dan dat $| O R | = \sqrt{13 - 12^{2}} = 5$ , dus de korte as heeft lengte $10$ .

4

a

$34$

b

Zeg $R$ is het punt $(0,8)$ en $F$ (op de $x$ -as) is een van de brandpunten, dan $| R F | = \frac{1}{2} \cdot 34 = 17$ .
Uit de stelling van Pythagoras in driehoek $O F R$ volgt dan: $| O F | = \sqrt{17^{2} - 8^{2}} = 15$ . Dus de brandpunten zijn $(\pm 15,0)$ .

5

a

figuur bij 44a

b

figuur bij 44b

6

a

$10 \frac{1}{2}$

b

$14 \frac{1}{2}$

7

figuur bij 46

8

a

De straal van $r$ noemen we $R$ .
Dan $| P M | - | P F | = R$ .

b

Die is tegengesteld aan de straal van de richtcirkel.

c

Die zijn elkaars spiegelbeeld in de middelloodlijn van lijnstuk $F M$ .

9

a

Dat is de cirkel met middelpunt $F_{1}$ en straal $4$ .

b

De toppen noemen we $P$ en $Q$ en $| P F_{1} | = x$ .
Er geldt: $| P F_{2} | - | P F_{1} | = 4$ , dus $| P F_{2} | = 4 + x$ . Vanwege symmetrie geldt ook $| P F_{2} | = 6 - x$ , dus $6 - x = 4 + x \Leftrightarrow x = 1$ , dus de as heeft lengte $4$ .

10

a

Verderop vind je het antwoord.

b

-

c

Neem aan: $R_{1}$ het voetpunt is van een punt $P$ van de hyperbooltak. Dan ligt $P$ op de lijn $M R_{1}$ . Die lijn staat loodrecht op lijn $R_{1} F$ (want $R_{1} F$ is raaklijn aan de cirkel). Dus de middelloodlijn van lijnstuk $F R_{1}$ is evenwijdig met lijn $M R_{1}$ , dus ligt $P$ niet op de middelloodlijn. Dus $d (P, F) \neq d (P, r)$ .

d

$a_{1}$ en $M R_{1}$ zijn evenwijdig (zie c). Dus is $a_{1}$ middenparallel in driehoek $F M R_{1}$ . Omdat $a_{1}$ door het midden van lijnstuk $R F$ , gaat $a_{1}$ ook door het midden van lijnstuk $M F$ .

e

Als $Q$ op $a_{1}$ ligt, is $| Q F | = | Q R_{1} |$ .
Het snijpunt van lijn $Q M$ met de richtcirkel noemen we $V$ . Dan volgt uit de driehoeksongelijkheid dat
$| M R_{1} | + | Q R_{1} | > | Q M |$ , dus $| V Q | < | Q R_{1} |$ , want
$| M R_{1} | = | M V |$ . Dus $d (Q, F) > d (Q, r)$ .

11

a

b

De lijn $R F$ ligt geheel buiten $r$ (op het punt $R$ na), want $R F$ is raaklijn aan $r$ . Dus ligt $G$ buiten $r$ . Dus is $d (B, r) > | B G |$ .
En $| B G | = | B F |$ , want $B$ ligt op de middelloodlijn van lijnstuk $F G$ . Dus $d (B, r) > | B F |$ .

c

$d (A, r) < | A R | = | A F |$ .

d

$A$ ligt links van de conflictlijn (dat is de kant waar $r$ ook ligt) en $B$ ligt rechts van de conflictlijn (dat is de kant waar $F$ ook ligt). De conflictlijn van $r$ en $F$ loopt dus tussen $A$ en $B$ door. Het snijpunt van de conflictlijn met lijnstuk $A B$ is een punt dat tussen de lijnen $a$ en $b$ ligt.