10.4 Anders bekeken >

Hoofdstukken > Conflictlijnen

Er zijn ook heel andere manieren om tegen parabool, ellips en hyperbool aan te kijken. We laten enkele daarvan de revue passeren. Het is soms helemaal niet duidelijk dat de verschillende benaderingen dezelfde figuren opleveren. Het gaat te ver dit aan te tonen. Deze paragraaf heeft dan ook meer een beschrijvend karakter.

Kegelsneden

Twee lijnen $a$ en $k$ snijden elkaar. Als je $k$ om $a$ wentelt, ontstaat een kegel. In het dagelijks leven is een kegel een figuur met een top en een grondvlak. Nu (en in het algemeen in de wiskunde) heeft een kegel twee stukken die elkaars spiegelbeeld zijn in de top. Beide stukken zijn onbegrensd. (Om een goed plaatje te krijgen, tekenen we er wel een grondvlak en bovenvlak bij; bedenk echter dat de kegel daar niet ophoudt.)

Een kegelsnede is een figuur die je krijgt door een kegel met een vlak te snijden.

Afhankelijk van de hoek die het vlak maakt met de as van de kegel krijg je:

een ellips: dat is een gesloten snijkromme met één van de twee helften van de kegel.
een parabool: dat is een onbegrensde snijkromme met één van de twee helften van de kegel.
een hyperbool: die heeft twee onbegrensde takken; met elke helft van de kegel een.

In de figuur staat in een dwarsdoorsnede aangegeven hoe je moet snijden om de drie gevallen te krijgen.
Je zou kunnen zeggen dat de parabool het grensgeval is tussen ellips en hyperbool

Noem de hoek die het snijvlak met de as van de kegel maakt α. Noem de tophoek van de kegel. In de dwarsdoorsnede hiernaast zijn α en β aangegeven.

Voor welke α is de snijfiguur een cirkel?

Voor welke α is de snijfiguur een langgerekte, smalle ellips?

Hoe moet je een kegel snijden om twee rechte lijnen als snijfiguur te krijgen?

Wat merk je op over de snijkrommen als je de kegel snijdt met twee evenwijdige vlakken.

Een holle doorzichtige kunststoffen kegel ligt op tafel. Hij is gedeeltelijk gevuld met water. Zie figuur.

Wat is de vorm van het wateroppervlak?

Wat wordt die vorm als de kegel aan de linkerkant (bij de top) wordt opgetild?

En als hij aan de rechterkant (bij het grondvlak) wordt opgetild?

Een andere manier om kegelsneden zichtbaar te maken is met licht.

Laat in een donkere kamer een lichtkegel schuin op de vloer vallen. Het verlichte deel van de vloer is een kegelsnede.

Wat weet je van de lichtkegel ten opzichte van de vloer, als het verlichte deel een parabool is?

Hoe moet je de lichtkegel draaien om een ellips te krijgen. En hoe om een hyperbooltak te krijgen?

Van een staande schemerlamp laat de kap geen licht door. Zodoende wordt maar een deel verlicht van de muur waar de lamp bij staat.

Wat is de vorm van de lichtvlek op de muur?

Een bol ligt op tafel en wordt beschenen door een puntvormige lichtbron. De schaduw die de bol op tafel werpt, is een kegelsnede.

Wat weet je van de positie van de lichtbron ten opzichte van de bol als de schaduw een parabool is?

In de oudheid schreef Apollonius van Perga (ca 262 - ca 190 voor Chr) de Conica: acht boeken waarin hij de kegelsneden behandelde.

Opgerekte cirkel
Als je scheef op een cirkel kijkt, zie je een ellips. Probeer maar bij de rand van een emmer, een lampenkap, of de middencirkel op een voetbalveld. Je ziet de cirkel dan in één richting verkort en in de richting loodrecht daarop onverkort.

Omgekeerd, als een vorm in werkelijkheid een ellips is, kun je hem zien als cirkel door er vanuit een geschikte plek naar te kijken. Daarom worden fietsen opgerekt op het wegdek geschilderd.

"Oprekken en indrukken" is wiskundig "vermenigvuldigen ten opzichte van een lijn". Op de GR gaat dat eenvoudig.

We gaan uit van de eenheidscirkel met bewegingsvergelijkingen: $(x (t), y (t)) = (\cos (t), \sin (t))$ . Zorg voor een vierkant scherm.
We vermenigvuldigen de eenheidscirkel met factor $a$ ten opzichte van de $y$ -as (met $a > 0$ ).

Teken voor enkele waarden van $a$ de krommen met bewegingsvergelijkingen $(x (t), y (t)) = (a \cdot \cos (t), \sin (t))$ .

Geef bewegingsvergelijkingen van een ellips met lange as $8$ en korte as $6$ .

Vergelijkingen

In de onderbouw heb je met parabolen, ellipsen en hyperbolen gewerkt. Daar zijn ze met behulp van vergelijkingen gedefinieerd. In wiskunde b (paragraaf 13.7) heb je gezien dat een parabool gedefinieerd als conflictlijn eenzelfde figuur oplevert als een kwadratische functie.
In het volgende gaan we ook vergelijkingen opstellen voor ellipsen en hyperbolen.
In opgave 38 heb je gezien dat een parabool met richtlijn $y = ‐ 1$ en brandpunt $(0,1)$ vergelijking $y = \frac{1}{4} \cdot x^{2}$ heeft.

Uit wiskunde b hoofdstuk 16 paragraaf 6 Vergelijking aanpassen citeren we het volgende.

Vergelijking aanpassen

Gegeven een figuur waarvan je een vergelijking kent.
Om een vergelijking van de beeldfiguur te krijgen vervang je in de vergelijking van het origineel:

$x$ door $x - a$ en $y$ door $y - b$ bij verschuiving over de vector $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ .
$x$ door $\frac{1}{p} \cdot x$ bij horizontale vermenigvuldiging met $p$ en
$y$ door $\frac{1}{p} \cdot y$ bij verticale vermenigvuldiging met $p$ .
$y$ door $x$ en $x$ door $y$ bij spiegelen in de lijn $y = x$ en
$y$ door $‐ x$ en $x$ door $‐ y$ bij spiegelen in de lijn $y = ‐ x$ .

De parabool met richtlijn $y = ‐ 1$ en brandpunt $(0,1)$ heeft vergelijking $y = \frac{1}{4} \cdot x^{2}$ .
Je vermenigvuldigt deze parabool vanuit $O (0,0)$ met $a$ , $a \neq 0$ . Een vergelijking van de parabool is: $y = \dots \cdot x^{2}$ .

Welke uitdrukking in $a$ moet er ingevuld worden?

Bij welk brandpunt en welke richtlijn heeft de conflictlijn vergelijking $y = x^{2}$ ?

Een ellips heeft brandpunten $F_{1}$ en $F_{2}$ , met $| F_{1} F_{2} | = 16$ en ellipsconstante $20$ .
We brengen een assenstelsel aan zó dat de lange as op de $x$ -as ligt en de korte as op de $y$ -as. Het snijpunt van de assen is de oorsrong $O$ . De snijpunten met de lange as noeme we $A$ en $B$ en met de korte as $C$ en $D$ , zie figuur.

Bereken de lengte van de assen exact.

Neem aan: een vergelijking van de ellips is van de vorm:
${(\frac{x}{a})}^{2} + {(\frac{y}{b})}^{2} = 1$ met $a$ en $b$ positief.

Wat is dan $a$ en $b$ ?

In het vervolg bewijzen we dat een punt $P (x, y)$ op de conflictlijn aan de vergelijking ${(\frac{x}{10})}^{2} + {(\frac{y}{6})}^{2} = 1$ voldoet.

Waarom geldt: $\sqrt{{(x + 8)}^{2} + y^{2}} = 20 - \sqrt{{(x - 8)}^{2} + y^{2}}$ ?

Laat zien dat deze gelijkheid leidt tot:
$50 - 4 x = 5 \sqrt{{(x - 8)}^{2} + y^{2}}$ .

Herleid deze gelijkheid tot: ${(\frac{x}{10})}^{2} + {(\frac{y}{6})}^{2} = 1$ .

Een ellips heeft ellipsconstante $2 e$ ; de afstand van de brandpunten tot elkaar is $2 d$ .
Dan $e > d$ en de lengte van de lange as is $2 e$ en van de korte as $2 \sqrt{e^{2} - d^{2}}$ .
Als je een assenstelsel aanbrengt zó, dat de brandpunten op de
$x$ -as liggen en de $y$ -as de middenloodlijn van de brandpunten is, dan is een vergelijking van de ellips: $\frac{x^{2}}{e^{2}} + \frac{y^{2}}{e^{2} - d^{2}} = 1$

De rekenpartij in opgave 57 gaat in het algemeen zo.
Gegeven een ellips met ellipsconstante $2 e$ en afstand tussen de brandpunten $2 d$ .
Dan $e > d$ . Breng een assenstelsel aan zoals hierboven.
Neem aan dat $(x, y)$ op de conflictlijn ligt, dan
$\sqrt{{(x + d)}^{2} + y^{2}} = 2 \cdot e - \sqrt{{(x - d)}^{2} + y^{2}}$ .
Kwadrateren geeft:
$x^{2} + 2 x d + d^{2} + y^{2} = 4 \cdot e^{2} - 4 e \sqrt{{(x - d)}^{2} + y^{2}} + x^{2} - 2 x d + d^{2} + y^{2}$ Als je dit vereenvoudigt krijg je:
$e \sqrt{{(x - d)}^{2} + y^{2}} = e^{2} - x d$ .
Dit kwadrateer je weer:
$e^{2} (x^{2} - 2 x d + d^{2} + y^{2}) = e^{4} - 2 e^{2} x d + x^{2} d^{2}$ .
Als je dit vereenvoudigt, krijg je:
$(e^{2} - d^{2}) x^{2} + e^{2} y^{2} = e^{4} - e^{2} d^{2}$ ,
dus (deel door $e^{4} - e^{2} d^{2}$ ): $\frac{x^{2}}{e^{2}} + \frac{y^{2}}{e^{2} - d^{2}} = 1$ .

Bepaal de coördinaten van de brandpunten van de ellipsen met vergelijking:
$x^{2} + 4 y^{2} = 16$ en van $x^{2} + 4 y^{2} = 1$ .

Een hyperbool heeft hyperboolconstante $2 e$ ; de afstand van de brandpunten tot elkaar is $2 d$ . Dan $e < d$ .
Breng een assenstelsel aan zó, dat de $x$ -as door de brandpunten gaat en de $y$ -as middelloodlijn van de brandpunten is.
Als $(x, y)$ op de conflictlijn ligt, dan $\frac{x^{2}}{e^{2}} + \frac{y^{2}}{e^{2} - d^{2}} = 1$ .

Gegeven is de hyperbool met vergelijking $x^{2} - y^{2} = 1$ . Hiernaast is de grafiek getekend.
Het stuk met punten $(x, y)$ met $y \geq 0$ is grafiek van een functie $f$ .

Geef een formule voor $f (x)$ .

In paragraaf 15.4 van Vwo wiskunde b, hebben we gezien dat de functie $f$ twee asymptoten heeft.
In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe je de asymptoten van de hyperbool ook kunt vinden. Je vindt er bijvoorbeeld een als volgt. Teken de lijn door het brandpunt $F$ die de richtcirkel aan de 'bovenkant' in $R$ raakt, dan is de middelloodlijn van lijnstuk $F R$ een asymptoot.
In de figuur is de richtcirkel en het brandpunt $F$ getekend die als conflictlijn de rechtertak van de hyperbool heeft.

Bereken de hyperboolconstante en de coördinaten van $F$ .

Bereken de coördinaten van $R$ en geef een formule voor de middelloodlijn van $F R$ .

Vouwen

Neem een rechthoekig stuk papier. Teken daarop een punt $F$ . Kies een van de randen van het papier. Maak scherpe vouwen zo dat die rand door $F$ gaat. Als je voldoende vouwen hebt, wordt de parabool zichtbaar met $F$ als brandpunt en de rand van het papier als richtlijn.
Door een cirkelrand te vouwen op een punt $F$ , kun je een ellips en een hyperbool zichtbaar maken. Zie figuur 1.
De plaatjes zijn afkomstig uit Pythagoras, jrg 20, nr2.

figuur 1

figuur 2

In figuur 2 zie je een hyperbolische parabool, gevouwen uit een vierkant stuk papier (origami).