1

a

$α = 90 °$

b

Voor α iets groter dan β

c

Door de top van de kegel

d

Die zijn gelijkvormig (ze ontstaan uit elkaar door een vermenigvuldiging vanuit de top van de kegel).

2

a

Een stuk parabool

b

Een stuk hyperbool

c

Een (stuk) ellips

3

a

De bovenste rand van de lichtkegel is evenwijdig aan de vloer.

b

De lichtkegel moet steiler omlaag schijnen.
De lichtkegel moet minder steil omlaag schijnen.

c

Een deel van een hyperbool

4

De lichtbron bevindt zich op dezelfde hoogte als het hoogste punt van de bol.

5

a

-

b

Bijvoorbeeld $(x (t), y (t)) = (4 \cdot \cos (t),3 \cdot \sin (t))$

6

a

Volgens de theorie uit 6v krijg je: $\frac{y}{a} = \frac{1}{4} \cdot {(\frac{x}{a})}^{2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{4 a} \cdot x^{2}$

b

Dan $a = \frac{1}{4}$ , dus de richtlijn heeft verglijking $y = ‐ \frac{1}{4}$ en het brandpunt is $(0, \frac{1}{4})$ .

7

a

Voor elk punt $P$ op de ellips geldt: $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 20$ . Stel je voor dat je een koordje van $F_{1}$ via $P$ naar $F_{2}$ gespannen hebt. Als $P$ in $B$ ligt, dan zit het koordje dubbel over het stuk van $B$ naar $F_{2}$ . $| A F_{1} | = | B F_{2} |$ , dus de lange as is gelijk aan de ellipsconstante $20$ .
Als $P$ in $D$ ligt, zie je dat de schuine zijde van driehoek $O D F_{1}$ de helft van de ellipsconstante is, dus $10$ . De korte as is dus $2 \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 12$ .

b

$a = 10$ en $b = 6$

c

Het linkerlid van de gelijkheid is $| P F_{1} |$ en het rechterlid $20 - | P F_{2} |$ .

d

$\sqrt{{(x + 8)}^{2} + y^{2}}$	$=$	$20 - \sqrt{{(x - 8)}^{2} + y^{2}}$	kwadrateren
$x^{2} + 16 x + 64 + y^{2}$	$=$	$400 - 40 \sqrt{{(x - 8)}^{2} + y^{2}} + x^{2} - 16 x + 64 + y^{2}$	Vereenvoudigen
$32 x - 400$	$=$	$‐ 40 \sqrt{{(x - 8)}^{2} + y^{2}}$	delen door $‐ 8$
$50 - 4 x$	$=$	$5 \sqrt{{(x - 8)}^{2} + y^{2}}$

e

$50 - 4 x$	$=$	$5 \sqrt{{(x - 8)}^{2} + y^{2}}$	kwadrateren
$2500 - 400 x + 16 x^{2}$	$=$	$25 (x^{2} - 16 x + 64)$	vereenvoudigen
$900$	$=$	$9 x^{2} + 25 y^{2}$

Beide leden delen door $900$ geeft het gewenste resultaat.

8

In de 'standaardvorm' schrijven: $4 x^{2} + y^{2} = 16 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ , dus in dit geval liggen de brandpunten op de $y$ -as met $e^{2} = 16$ en $e^{2} - d^{2} = 4$ , dus $e = 4$ en $d^{2} = 12$ , dus $d = 2 \sqrt{3}$ .
De eerste ellips heeft brandpunten $(\pm 2 \sqrt{3},0)$ .
$x^{2} + 4 y^{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}$ , dus voor de tweede ellips geldt:
$e^{2} = 1$ en $e^{2} - d^{2} = \frac{1}{4}$ , dus $d = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ . De brandpunten van de tweede ellips zijn $(\pm \frac{1}{2} \sqrt{3},0)$ .

9

a

$x^{2} - y^{2} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = x^{2} - 1 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{x^{2} - 1}$ , dus $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

b

$d$ en $e$ zoals hierboven, dan $e = 1$ en $e^{2} - d^{2} = ‐ 1$ , dus $d = \sqrt{2}$ .
De hyperboolconstante is dus $2$ en $F = (\sqrt{2},0)$ .

c

Het middelpunt $M$ van de richtcirkel is $(‐ \sqrt{2},0)$ . Zo te zien is $R$ het punt $(0, \sqrt{2})$ . Je verifieert eenvoudig dat hoek $M R F$ recht is. De middelloodlijn van lijnstuk $R F$ is de middenparallel in driehoek $M R F$ evenwijdig aan lijn $R F$ , dus gaat door $O$ en heeft richtingscoëfficiënt $‐ 1$ , dus is de lijn $y = ‐ x$ .