10.5  De raaklijneigenschap >
1
  1. Dit volgt uit: d ( Q , V ) + d ( M , V ) > d ( Q , W ) + d ( M , W ) , driehoeksongelijkheid in driehoek Q V M en d ( M , V ) = d ( M , W ) .

  2. Want Q ligt op de middelloodlijn van lijnstuk V F .

  3. Uit 1 en 2 volgt dat de conflictlijn aan die kant van m waar F ligt. Dus is m steunlijn van de conflictlijn.

2

Het snijpunt van lijn V F met m noemen we N .

  1. | V N | = | N F | , want N op m ,

  2. | V P | = | P F | , want P op m ,

  3. | P N | = | P N |

Uit 1, 2 en 3 volgt dat de driehoeken V P N en F P N congruent zijn (ZZZ), dus is m bissectrice vann hoek V P F .

3
a

Zie figuur 1 hieronder. De punten zijn P en Q . Hun afstand tot F is d ( k , r ) .

b

Het voetpunt van P op r noemen we V .
Hoek V P F is recht, dus de bissectrice van deze hoek maakt een hoek van 45 ° met k .

c

Zie figuur 2. De gevraagde punten zijn R en S , de snijpunten van l met de cirkel met middelpunt F en straal d ( F , r ) .

d

Zie figuur 2. Het voetpunt van R noemen we W en het midden van lijnstuk R W is M . Dan is R M F een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde twee keer zo lang is als de korte rechthoekszijde, dus R F M = 30 ° . Dus is driehoek R F W gelijkzijdig. De bissectrice van hoek F R W maakt dus een hoek van 60 ° met l .

e

Zie figuur 3. U is het raaklunt van m met de parabool. Het voetpunt van U is X , de projectie van F op m is Y en het snijpunt van de raaklijn met r is Z .
Dan Z U X = 60 ° en F U Z = Z U X , dus F U Y = 30 ° . Dus als F Y = x , dan F U = 2 x en U X = F U = 2 x .

4
a

De gevraagde punten zijn S en T .

b

De rechthoekszijden van driehoek S M F zijn x en 4 . Volgens de stelling van Pythagoras is de schuine zijde dan 16 + x 2 . Verder geldt: | S M | + | V S | = 8 .

c

x + 16 + x 2 = 8 16 + x 2 = 8 x ; kwadrateren geeft: 16 + x 2 = 64 16 x + x 2 , dus x = 3 .

d

tan ( M S F ) = 4 3 , dus M S F = 53,13 ° en de gevraagde hoek is bissectrice van hoek V S F , dus 1 2 ( 180 ° M S F ) = 63 ° .

5
a

Eén van de gevraagde punten is P , het andere is het spiegelbeeld van P in lijn M F .

b

De zijden van de rechthoekige driehoek M P F zijn x , x + 2 en 4 . Dus ( x + 2 ) 2 = x 2 + 16 x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 16 , dus x = 3 .
Dus M P F = tan 1 ( 4 3 ) = 53,34 ° en de gevraagde hoek is 1 2 53,34 ° = 27 ° .

6
a

Lijn P Q is evenwijdig met de as met P op de parabool. Het voetpunt van P is V . De raaklijn in P is de bissectrice van hoek F P V .
Dan α = β (overstaande hoeken) en β = γ (raaklijn is bissectrice), dus α = γ . Dus als een lichtstraal evenwijdig aan de as invalt, gaat de teruggekaatste straal door F .

b

Er geldt: | Q P | + | F P | = | Q P | + | V P | = d ( Q , r ) .

7

r is de richtcirkel met middelpunt M van de ellips, F het brandpunt, P een punt van de ellips met voetpunt V .
Er geldt: α = γ (overstaande hoeken) en β = γ , want de raaklijn is bissectrice van hoek F P V . Dus β = γ .
Dat betekent: als een lichtstraal vanuit M op P valt, dan wordt hij teruggekaatst in de richting van F .

8

Maak een ellipsvormige spiegel (een omwentelingsellipsoïde). Maak een opening in het ene brandpunt van de ellips, waardoor het licht op de spiegel valt. Waar op de spiegel, doet er niet toe: de lichtstraal wordt overal weerkaatst naar het andere brandpunt.

9
a

-

b

De lange as van de ellips

c

Dan is de limietbaan ook de lange as.

10
a

In de richting van het andere brandpunt (waar bal F niet ligt).

b

Langs de lijn FB, weg van F . Dan gaat de baan van B via een band door het andere brandpunt en dan via weer een band naar F .

c

Als de baan van de bal door het rechter brandpunt gaat, treft hij bal F al na één band. Als de bal achter het rechter brandpunt gaat, gaat hij ook achter F door. Als de bal voor het rechter bandpunt langs gaat, gaat hij ook voor F langs. Het kan dus niet.

11
a
b

De as van de hyperbool

c

Dan is de limietbaan ook de as.

12
a

De voetpunten van A en B noemen we V en W . De middelloodlijnen van de lijnstukken F V en F W zijn de raaklijnen in A en B aan de parabool.

b

Zie figuur. Het snijpunt van de raaklijnen noemen we S . Er geldt: 2 α + 2 β = 180 ° (hoekensom in vierhoek V W B A ), dus α + β = 90 ° . Dus is hoek A S B recht (hoekensom in driehoek A S B ).

c

Let op dat je er niet vanuit gaat dat A V S = 90 ° !
De driehoeken A F S en A V S zijn congruent, want | A V | = | A F | , | A S | = | A S | en V A S = F A S (ZHZ).
Net zo zijn de driehoeken W B S en F B S congruent.
Dus V S A + F S A + W S B + F S B = 2 F S A + 2 F S B = 2 A S B = 180 ° .

13
a

Uit de raaklijneigenschap volgt dat de raaklijn een bissectrice van de lijnen A F 1 en A F 2 is en ook van de lijnen B F 1 en B F 2 .

b

De hoeken van driehoek A F 2 B zijn: 180 ° 2 α , 180 ° 2 β en A F 2 B .
Dus A F 2 B = 2 α + 2 β 180 ° , dus α + β = 90 ° + 1 2 A F 2 B .
De hoekensom in driehoek A S B levert: A S B = 180 ° ( α + β ) = 90 ° 1 2 A F 2 B .

14
a

Uit de raaklijneigenschap volgt dat de raaklijn een bissectrice van de lijnen A F 1 en A F 2 is (en ook van de lijnen B F 1 en B F 2 .

b

Zie figuur, A F 2 B is daar δ genoemd.
1. γ = 180 ° 2 β δ (hoekensom driehoek A F 2 B ),
2 . γ = 180 ° 2 α (gestrekte hoek),
3. δ = 2 α 2 β (uit 1. en 2.),
4. α + γ = 180 ° α (hoeken bij A ),
5. A S B = 180 ° α β γ (hoekensom driehoek A S B ),
6. A S B = α β (uit 4. en 5.)
Uit 3. en 6. volgt het gevraagde.