10.6  Gemengde opgaven >

Tot nu toe
We kennen nu de conflictlijn in de volgende situaties:

  1. twee punten;

  2. twee snijdende lijnen;

  3. een lijn en een punt dat niet op de lijn ligt;

  4. een cirkel en een punt daarbinnen;

  5. een cirkel en een punt daarbuiten.

Als bijzondere gevallen kun je ook nog de conflictlijn bekijken van:

  1. twee evenwijdige lijnen;

  2. een lijn en een punt daarop;

  3. een cirkel en een punt daarop;

maar die gevallen zijn flauw.

Hoe teken je in de praktijk?
Van deze conflictlijnen teken je de karakteristieke dingen:

  1. van een parabool is dat de top,

  2. van een ellips zijn dat de toppen op de lange as,

  3. van een hyperbooltak zijn dat de top en de asymptoten.

Met enkele (2 à 4) extra punten kun je dan de conflictlijn heel behoorlijk tekenen. Als twee typen conflictlijnen op elkaar aansluiten (we spreken dan van een samengestelde conflictlijn) moet je duidelijk de aansluitpunten aangeven.
Sommige situaties kun je terugvoeren tot een van de bovenstaande.
We geven een voorbeeld.

Voorbeeld:

Twee cirkels, buiten elkaar
Gegeven zijn twee cirkels c 1 en c 2 , met middelpunten M 1 en M 2 en stralen 3 en 5 . Gevraagd wordt de conflictlijn van c 1 en c 2 .

De cirkel met middelpunt M 2 en straal 2 noemen we c 3 .

Dan geldt:
P ligt op de conflictlijn van c 1 en c 2 d ( P , c 1 ) = d ( P , c 2 ) d ( P , M 1 ) 3 = d ( P , c 3 ) 3 P ligt op de conflictlijn van M 1 en c 3 .
Dus: een punt ligt even ver van c 1 als van c 2 als en alleen als het even ver van M 1 als van cirkel c 3 ligt.
De conflictlijn is dus de hyperbooltak met M 1 als brandpunt en c 3 als richtcirkel.

1

Maak een tekening van de situatie in het voorbeeld met d ( M 1 , M 2 ) = 9 .
Teken vervolgens de conflictlijn.

2

Twee cirkels, binnen elkaar
Gegeven zijn twee cirkels c 1 en c 2 met middelpunten M 1 en M 1 en stralen 3 en 5 . Verder d ( M 1 , M 2 ) = 1 1 2 .

Maak een tekening van de situatie en teken de conflictlijn van c 1 en c 2 .
Licht je antwoord toe met een redenering zoals in het voorbeeld.

3

Twee snijdende cirkels

Gegeven zijn twee cirkels c 1 en c 2 met middelpunten M 1 en M 2 en stralen 3 en 5 . Er geldt: d ( M 1 , M 2 ) = 6 1 2 .

Maak een tekening van de situatie en teken de conflictlijn van c 1 en c 2 .
Onderscheid vier gevallen:

  1. punten binnen c 1 en buiten c 2 ,

  2. punten buiten c 1 en buiten c 2 ,

  3. punten binnen c 1 en binnen c 2 ,

  4. punten buiten c 1 en buiten c 2 .

4

Cirkel en lijn
Gegeven is een cirkel c met straal 3 en middelpunt M en een lijn k met d ( M , k ) = 5 .

a

Maak een tekening van de situatie.

b

Beschrijf de conflictlijn van k en c zo precies mogelijk.

c

Schets de conflictlijn in je tekening.

5

Halve lijn en lijn
Gegeven zijn de lijn k met vergelijking y = 0 , het punt P ( 0,2 ) en de halve lijn h met beginpunt P met richtingscoëfficiënt 2 . h ligt 'boven' de y -as

a

Teken k en h in een rooster en de conflictlijn van k en h .

De conflictlijn bestaat uit twee halve lijnen en een deel van een parabool.

b

Beschrijf elk van de stukken precies en ook de punten waar de stukken op elkaar aansluiten.

6

Cirkel en vierkant
De zee wordt verdeeld tussen een cirkelvormig en een vierkant eiland volgens het naastebuurprincipe. De diameter van het cirkelvormige eiland en de zijde van het vierkante eiland zijn gelijk; het cirkelvormige eiland ligt midden voor het vierkant eiland. De conflictlijn bestaat uit drie delen.

Teken op het werkblad de conflictlijn. Licht je tekening toe.

7

De zee wordt verdeeld tussen twee landen volgens het naastebuurprincipe. Van de landen lopen twee kustlijnen oost-west en twee kustlijnen noord-zuid. De kustlijnen die noord-zuid lopen, liggen in elkaars verlengde.

Maak een tekening in een assenstelsel. Neem voor de hoekpunten van de landen ( 0,2 ) en ( 0, 2 ) met de kusten op de y -as of evenwijdig met de x -as.
Beschrijf vervolgens de conflictlijn met de overgangspunten zo precies mogelijk.
Teken de conflictlijn.

8

Hiernaast zie je een vierkant met zijde 8 en een punt E dat respectievelijk de afstanden 2 , 4 , 6 en 4 tot de zijden van het vierkant heeft. De punten die buiten of op het vierkant liggen, vormen een gebied L .

a

Neem de figuur over en teken de conflictlijn van E en L en beschrijf welke vorm de verschillende delen van de conflictlijn hebben.

b

Bewijs dat de conflictlijn niet overal glad is.

9

Vier parabolen
Gegeven is een vierkant F 1 F 2 F 3 F 4 waarvan de diagonalen lengte 4 hebben. De vier parabolen p 1 , p 2 , p 3 en p 4 hebben respectievelijk het punt F 1 , F 2 , F 3 en F 4 als brandpunt en als richtlijn die diagonaal van het vierkant, waar het betreffende brandpunt niet op ligt. Zie onderstaandefiguur.

a

Bewijs dat de parabolen p 1 en p 2 elkaar raken.

Parabool p 1 snijdt de zijde F1F2 in het punt S.

b

Bewijs dat de raaklijn in S aan p 1 door F4 gaat.

Het raakpunt van de parabolen p 1 en p 2 noemen we R 12 . Evenzo zijn R 23 , R 34 , en R 41 de raakpunten van p 2 en p 3 , van p 3 en p 4 , en van p 4 en p 1 . De punten R 12 , R 23 , R 34 en R 41 zijn de hoekpunten van een vierkant V . De vier parabolen p 1 , p 2 , p 3 en p 4 sluiten een gebied G in.

c

Bereken de verhouding van de oppervlakten van G en van het vierkant V .

10

In een assenstelsel is een parabool p getekend met brandpunt F en een rechthoek met hoekpunten A en B op de x -as en C en D op de parabool p op dezelfde hoogte als het brandpunt F .
De top van de parabool is O ( 0,0 ) .

a

Geef een vergelijking van de richtlijn r .

b

Geef de coördinaten van C .

c

Geef een vergelijking van p .