1

2

De cirkel met middelpunt $M_{2}$ en straal $8$ noemen we $c_{3}$ .
$P$ ligt op de conflictlijn van $c_{1}$ en $c_{2}$ $\Leftrightarrow d (P, c_{1}) = d (P, c_{2}) \Leftrightarrow d (P, M_{1}) - 3 = d (P, c_{3}) - 3 \Leftrightarrow d (P, M_{1}) = d (P, c_{3})$
$P$ ligt op de conflictlijn van $M_{1}$ en $c_{3}$ . De conflictlijn is dus de ellips met $M_{1}$ als brandpunt en $c_{3}$ als richtcirkel.

3

De cirkel met middelpunt $M_{2}$ en straal $8$ noemen we $c_{3}$ . De cirkel met middelpunt $M_{2}$ en straal $2$ noemen we $c_{4}$ .

$P$ ligt op de conflictlijn binnen $c_{1}$ en buiten $c_{2}$
$\Leftrightarrow d (P, c_{1}) = d (P, c_{2}) \Leftrightarrow 3 - d (P, M_{1}) = 3 - d (P, c_{3}) \Leftrightarrow d (P, M_{1}) = d (P, c_{3})$
$\Leftrightarrow$ $P$ ligt op de conflictlijn van $M_{1}$ en $c_{3}$ en dit is de ellips met $M_{1}$ als brandpunt en $c_{3}$ als richtcirkel.
$P$ ligt op de conflictlijn buiten $c_{1}$ en binnen $c_{2}$
$\Leftrightarrow d (P, c_{1}) = d (P, c_{2}) \Leftrightarrow d (P, M_{1}) - 3 = d (P, c_{3}) - 3 \Leftrightarrow d (P, M_{1}) = d (P, c_{3})$
$\Leftrightarrow$ $P$ ligt op de conflictlijn van $M_{1}$ en $c_{3}$ en dit is de ellips met $M_{1}$ als brandpunt en $c_{3}$ als richtcirkel.
$P$ ligt op de conflictlijn binnen $c_{1}$ en binnen $c_{2}$
$\Leftrightarrow d (P, c_{1}) = d (P, c_{2}) \Leftrightarrow 3 - d (P, M_{1}) = 3 - d (P, c_{4}) \Leftrightarrow d (P, M_{1}) = d (P, c_{4})$
$\Leftrightarrow$ $P$ ligt op de conflictlijn van $M_{1}$ en $c_{4}$ en dit is de hyperbooltak met $M_{1}$ als brandpunt en $c_{4}$ als richtcirkel.
$P$ ligt op de conflictlijn buiten $c_{1}$ en buiten $c_{2}$
$\Leftrightarrow d (P, c_{1}) = d (P, c_{2}) \Leftrightarrow d (P, M_{1}) - 3 = d (P, c_{4}) - 3 \Leftrightarrow d (P, M_{1}) = d (P, c_{4})$ .
$\Leftrightarrow$ $P$ ligt op de conflictlijn van $M_{1}$ en $c_{4}$ en dit is de hyperbooltak met $M_{1}$ als brandpunt en $c_{4}$ als richtcirkel.

4

a

figuur bij opgave 77

b

De lijn evenwijdig aan $k$ , op afstand $3$ van $k$ , aan de andere kant van $k$ dan $M$ noemen we $k^{'}$ .
$P$ ligt op de conflictlijn van $k$ en $c \Leftrightarrow$
$d (P, k) = d (P, c) \Leftrightarrow d (P, k^{'}) - 5 = d (P, M) - 5 \Leftrightarrow d (P, k^{'}) = d (P, M)$
$P$ ligt op de conflictlijn van k' en $M$ .
De conflictlijn is dus de parabool met $M$ als brandpunt en $k^{'}$ als richtlijn.

c

Zie figuur.

5

a

b

De conflictlijn bestaat uit delen $b$ en $c$ van de bissectrices van $k$ en $h$ en een stuk parabool met brandpunt $P$ en richtlijn $k$ .
De 'overgangspunten' zijn $Q$ en $R$ , de snijpunten van de loodlijn in $P$ op $h$ met $b$ en $c$ .

6

De cirkel noemen we $c$ , het middelpunt van de cirkel noemen we $M$ , $A$ , $B$ en $C$ zijn hoekpunten van het vierkant. De middelloodlijn van $B C$ noemen we $k$ .
De conflictlijn bestaat achtereenvolgens uit:
- een stuk van de hyperbooltak met brandpunt $B$ en richtcirkel $c$ ;
- een stuk van de parabool met brandpunt $M$ en richtlijn $k$ ;
- een stuk van de hyperbooltak met brandpunt $A$ en richtcirkel $c$ .
De aansluitpunten $P$ en $Q$ liggen op de verlengden van zijden van het vierkante eiland.

7

De lijnen waarop de kusten liggen noemen we $p$ , $q$ , $r$ en $s$ . De hoekpunten van de kusten noemen we $A$ en $B$ .
De conflictlijn bestaat uit twee paraboolstukken, het ene stuk met brandpunt $A$ en richtlijn $r$ , het andere met brandpunt $B$ en richtlijn $q$ ; verder: een deel $b$ van een bissectrice van de lijnen $p$ en $r$ en een deel $b$ van een bissectrice van de lijnen $p$ en $r$ en een deel $c$ van een bissectrice van de lijnen $q$ en $s$ .
De overgangspunten zijn $P$ , $Q$ en $R$ , waarbij
$P$ het snijpunt van $b$ en $q$ is,
$R$ het snijpunt van $r$ en $c$ is, en
$Q$ het midden van lijnstuk $A B$ is.

8

a

De conflictlijn bestaat uit vier stukken parabool, elk met brandpunt $E$ en met de vier zijden van het vierkant als richtlijnen. De aansluitpunten $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ liggen op de diagonalen van het vierkant.

b

De projectie van $R$ op de bovenzijde van het vierkant noemen we $V$ . Dan is $E V$ evenwijdig met een diagonaal van het vierkant. De raaklijn in $R$ staat daar loodrecht op.
De raaklijn in $R$ aan het stuk parabool "rechts" is verticaal, want $R$ is de top van dat stuk parabool.
De hoek tussen de stukken parabool in $R$ is dus $135 °$ .

9

a

$R$ is het snijpunt van de lijn door $F_{1}$ evenwijdig met lijn $F_{2} F_{4}$ en de de lijn door $F_{2}$ evenwijdig met lijn $F_{1} F_{3}$ .
Omdat $d (R, lijn F_{2} F_{4}) = d (R, lijn F_{1} F_{3}) = 2$ , ligt $R$ zowel op $p_{1}$ als op $p_{2}$ .
De raaklijn in $R$ aan $p_{1}$ en ook aan $p_{2}$ is de bissectrice van hoek $F_{1} R F_{2}$ . Dus raken $p_{1}$ en $p_{2}$ elkaar in $R$ , want ze hebben een gemeenschappelijke raaklijn in dat punt.

b

We bewijzen dat $S F_{4}$ raaklijn aan de parabool in het punt $S$ is.
Het voetpunt van $S$ op lijn $F_{2} F_{4}$ noemen we $T$ . Dan zijn de driehoeken $F_{4} F_{1} S$ en $F_{4} T S$ , congruent, want
$| S F_{1} | = | T S |$ , $| S F_{4} | = | S F_{4} |$ en de hoeken $S T F_{4}$ en $F_{1} S F_{4}$ zijn recht (ZZR). Dus is de lijn $S F_{4}$ bissectrice van hoek $F_{1} S T$ , dus raaklijn aan $p_{1}$ in $S$ .

c

Breng een assenstelsel aan met $F_{2}$ en $F_{4}$ op de $x$ -as en $F_{1}$ en $F_{3}$ op de $y$ -as zodat $F_{2} = (2,0)$ .
De top van $p_{1}$ is dan $(0,1)$ , dus een vergelijking van $p_{3}$ is dan: $y = a \cdot x^{2} + 1$ voor zeker getal $a$ . Omdat $(2,2)$ op $p_{3}$ ligt, geldt: $a = \frac{1}{4}$ .
De oppervlakte tussen $p_{3}$ en de $x$ -as is dus: $\int_{‐ 2}^{2} (\frac{1}{4} \cdot x^{2} + 1) d x = {[x + \frac{1}{12} x^{3}]}_{‐ 2}^{2} = 5 \frac{1}{3}$ .
De oppervlakte van $V$ met daaruit weggelaten $G$ $= 4 \cdot (8 - 5 \frac{1}{3}) = 10 \frac{2}{3}$ .
De verhouding van de oppervlakten van $G$ en $V$ is $(16 - 10 \frac{2}{3}) : 16 = 1 : 3$ .

10

a

$y = ‐ 3$

b

Er geldt $d (C, F) = d (C, r) = 6$ , dus $C = (6,3)$ .

c

Een vergelijking heeft de vorm $y = a \cdot x^{2}$ , voor zeker getal $a$ . Het punt $C$ ligt op $p$ , dus: $a = \frac{1}{12}$ .
Een vergelijking is $y = \frac{1}{12} \cdot x^{2}$