Isolijnen en conflictlijnen

Gegeven is een gebied.
De punten die buiten het gebied liggen, op afstand $x$ van de rand van het gebied, vormen de zogenaamde iso-x-afstandslijn.

Bij twee gebieden $V$ en $W$ vormen de punten die even ver van beide gebieden liggen, de conflictlijn van $V$ en $W$ .
Bij het tekenen van isolijnen en conflictlijnen is het handig om het volgende te weten.
- De conflictlijn van twee punten $A$ en $B$ is de middelloodlijn van lijnstuk $A B$ .
- De conflictlijn van twee snijdende lijnen $a$ en $b$ bestaat uit het tweetal bissectrices (deellijnen) van de hoeken die $a$ en $b$ met elkaar maken. Deze staan loodrecht op elkaar.

Soms zit er een knik in een punt $S$ van een isolijn of conflictlijn. Dan wordt er naar de grootte van de knik gevraagd.
Dat gebeurt bijvoorbeeld in een gemeenschappelijk punt van twee cirkels.
Bekijk op beide cirkels een boog met eindpunt $S$ . Onder de hoek die deze cirkelbogen met elkaar maken, verstaan we de hoek die de bijbehorende halve raaklijnen met elkaar maken, in de figuur α.
Neem aan dat de middelpunten van de cirkelbogen $M$ en $N$ zijn, dan geldt: $α + ∠ M S N = 180 °$ .

Parabool, ellips, hyperbool

Speciale gevallen van conflictlijnen zijn de parabool, ellips en de hyperbool.

Gegeven zijn een punt $F$ en een lijn of een cirkel $r$ , waarbij $F$ niet op $r$ ligt.
De conflictlijn tussen $F$ en $r$ is een

parabool als $r$ een rechte lijn is.
Het punt $F$ heet het brandpunt en de lijn $r$ heet de richtlijn van de parabool.
ellips als $r$ een cirkel is en $F$ binnen $r$ ligt.
Als $r$ middelpunt $M$ heeft, dan zijn $F$ en $M$ de brandpunten en $r$ richtcirkel van de ellips.
De straal van de richtcirkel heet de ellipsconstante.
hyperbooltak als $r$ een cirkel is en $F$ buiten $r$ ligt.
Als $r$ middelpunt $M$ heeft, is $F$ het brandpunt van de hyperbooltak en $r$ richtcirkel van de hyperbooltak.
Verwisselen we de plaatsen van $M$ en $F$ , dan is de conflictlijn het spiegelbeeld van de hyperbooltak in de middelloodlijn van het lijnstuk $M F$ .
De twee hyperbooltakken vormen samen de hyperbool met brandpunten $F$ en $M$ .
De straal van de richtcirkel heet de hyperboolconstante.

Constructie vanuit de voetpunten

Als je $r$ en $F$ kent, kun je de parabool, ellips of hyperbool construeren vanuit de voetpunten.
Een punt van een gebied $G$ dat het dichtst bij $P$ ligt, noemen we een voetpunt van $P$ op $G$ .

Als de conflictlijn een parabool is
Bij een punt $P$ , kun je zijn voetpunt $V$ op $r$ bepalen. Omdat $| P F | = | P V |$ , ligt $P$ op de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .
Omgekeerd kun je uitgaande van een voetpunt $V$ op $r$ het bijbehorende punt $P$ op de parabool bepalen. Als volgt.

Richt de loodlijn $k$ in $V$ op $r$ op.
Teken de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .
Het snijpunt $k$ met de middelloodlijn is $P$ .

Als de conflictlijn een ellips of hyperbool is
Een punt $P$ ligt op de ellips met brandpunt $F$ en richtcirkel $r$ als $d (P, F) = d (P, r)$ . Als je een punt $P$ op de ellips hebt, kun je zijn voetpunt $V$ op $r$ bepalen. Omdat $| P F | = | P V |$ , ligt $F$ op de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .

Omgekeerd kun je uitgaande van een voetpunt $V$ op $r$ het bijbehorende punt $P$ op de ellips bepalen.
Als volgt .

Richt de loodlijn in $V$ op $r$ op (dat is de lijn van $V$ naar het middelpunt $M$ van $r$ ).
Teken de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .
Het snijpunt van deze twee lijnen is $P$ .

Eigenschappen van parabool, ellips, hyperbool

$•$ Parabool
Een parabool heeft een symmetrieas, dat is de lijn door het brandpunt loodrecht op de richtlijn.
Het punt dat het dichtst bij de richtlijn ligt, ligt op de symmetrieas. Dat punt heet top,
Alle parabolen zijn gelijkvormig.

$•$ Ellips
Als $F_{1}$ en $F_{2}$ de brandpunten zijn van een ellips, dan is voor elk punt $P$ op de ellips de som van zijn afstanden tot $F_{1}$ en $F_{2}$ hetzelfde: $| P F_{1} | + | P F_{2} | = R$ , waarbij $R$ de ellipsconstante (de straal van de richtcirkel) is.
De ellips heeft twee symmetrieassen: de lijn $F_{1} F_{2}$ en de middelloodlijn van lijnstuk $F_{1} F_{2}$ .
Deze symmetrieassen snijden de ellips in de zogenaamde toppen.
Het lijnstuk dat door de ellips van de lijn $F_{1} F_{2}$ wordt afgesneden heet de lange as.
Het lijnstuk dat door de ellips van de middelloodlijn van lijnstuk $F_{1} F_{2}$ wordt afgesneden heet de korte as.

$•$ Hyperbool

Een hyperbool met brandpunten $F_{1}$ en $F_{2}$ heeft twee symmetrieassen: de lijn $F_{1} F_{2}$ en de middelloodlijn van het lijnstuk $F_{1} F_{2}$ . De eerste symmetrieas snijdt de hyperbool in de zogenaamde toppen. Het verbindingslijnstuk tussen de toppen heet de as van de hyperbool.
Voor elk punt $P$ op de hyperbool is het absolute verschil van zijn afstanden tot $F_{1}$ en $F_{2}$ hetzelfde: $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = R$ , waarbij $R$ hyperboolconstante (de straal van de richtcirkels) is.
Neem aan: de raaklijnen vanuit $F_{1}$ aan de richtcirkel met middelpunt $F_{2}$ raken de richtcirkel in $R$ en $S$ .
De middelloodlijnen van de lijnstukken $R F$ en $S F$ zijn dan de asymptoten van de hyperbool.

In een assenstelsel

Je kunt een assenstelsel aanbrengen. In dat geval krijgt een parabool, ellips, hyperbool een vergelijking.
$•$ Parabool
Als het brandpunt $F (0, c)$ en richtlijn $y = ‐ c$ is, dan is een vergelijking $x^{2} = 4 c y$ .
Zie wiskunde b, hoofdstuk 13 paragraaf 7.

$•$ Ellips
Neem aan: een ellips heeft ellipsconstante $2 e$ en en de afstand van de brandpunten is $2 d$ .
Dan $e > d$ en de lengte van de lange as is $2 e$ en van de korte as $2 \sqrt{e^{2} - d^{2}}$ .
Als je een assenstelsel aanbrengt zó, dat de brandpunten op de $x$ -as liggen en de $y$ -as de middenloodlijn van de brandpunten is, dan is een vergelijking van de ellips:
$\frac{x^{2}}{e^{2}} + \frac{y^{2}}{e^{2} - d^{2}} = 1$ .
$•$ Hyperbool
Neem aan: een hyperbool heeft hyperboolconstante $2 e$ ; de afstand van de brandpunten tot elkaar is $2 d$ . Dan $e < d$ .
Als je een assenstelsel aanbrengt zó, dat de $x$ -as door de brandpunten gaat en de $y$ -as middelloodlijn van de brandpunten is, dan is een vergelijking van de hyperbool:
$\frac{x^{2}}{e^{2}} + \frac{y^{2}}{e^{2} - d^{2}} = 1$ .

De raaklijneigenschap

Raaklijnstelling
Gegeven is de parabool, ellips, hyperbool met $F$ als brandpunt en $r$ als richtlijn, richtcirkel.
$P$ is een punt daarop en $V$ is het voetpunt van $P$ op $r$ . Dan is de raaklijn in $P$ middelloodlijn van lijnstuk $V F$ en deze maakt gelijke hoeken met de lijnen $P F$ en $P V$ . De raaklijnstelling heeft de volgende gevolgen.
$•$ Parabool
De raaklijn in een punt $P$ van een parabool maakt gelijke hoeken met de lijn die $P$ verbindt met het brandpunt en de lijn door $P$ loodrecht op de richtlijn. Zie figuur 1.
$•$ Ellips, hyperbool
De raaklijn in een punt van een ellips of hyperbool maakt gelijke hoeken met de lijnen die dat punt verbinden met beide brandpunten. Zie figuur 2 en 3.

figuur 1

figuur 2

figuur 3