1

a

b

Het stuk 'links' van $P$ heeft als richtlijn de $x$ -as en brandpunt $L$ ,
het stuk tussen $P$ en $Q$ heeft als richtlijn $k$ met vergelijking $y = ‐ 2$ en brandpunt $M$ ,
het stuk 'rechts' van $Q$ heeft als richtlijn de $x$ -as en brandpunt $R$ .

c

De overgangspunten $P$ en $Q$ liggen op de lijn door $L$ en $R$ en liggen even ver van $M$ als van $k$ .
Dus $P = (‐ 4,2)$ en $Q = (4,2)$ .
(Dan ligt $P$ ook even ver van de $x$ -as en $L$ en $Q$ even ver van de $x$ -as en $R$ .)

2

a

b

Alle zijden van driehoek $B C T$ hebben lengte $2$ , dus boog $Q T$ heeft lengte
$\frac{30}{360} \cdot 2 π \cdot 2 = \frac{1}{3} π$ .
De lengte van de isolijn is dus:
$2 π \cdot 2 + 4 \cdot \frac{1}{3} π + 4 \cdot 1 \frac{1}{2} = 5 \frac{1}{3} π + 6$ .

3

a

$\frac{d y}{d x} = 2 x$ , dus de raaklijn heeft vergelijking $y = 2 p x + q$ voor zekere waarde van $q$ .
$(p, p^{2})$ ligt op de raaklijn, dus $q = ‐ p^{2}$ en de vergelijking is: $y = 2 p x - p^{2}$ . Voor het snijpunt met de $x$ -as geldt: $y = 0 \Leftrightarrow 2 p x = p^{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} p$ .

b

$V$ is het voetpunt van $P$ op de richtlijn $r$ en $G$ het voetpunt van $O$ .
Het snijpunt van de raaklijn in $P$ en lijn $F V$ noemen we $S$ .
De lijn door $S$ evenwijdig met de richtlijn gaat door $O$ omdat $O$ het midden van lijnstuk $F W$ is en $S$ het midden van lijnstuk $F V$ .
Dus $S = M$ !
De driehoeken $F O S$ en $V Q S$ zijn congruent (HZH), dus $S$ is het midden van lijnstuk $O Q$ .

4

a

Zie figuur 1 aan het einde van de opgave.

b

De conflictlijn bestaat uit twee stukken parabool. Beide hebben brandpunt $M$ . Het 'bovenste' stuk heeft richtlijn $r$ , het 'onderste' stuk heeft richtlijn $s$ , beide op afstand op afstand $3$ van $k$ .

c

Zie figuur 2 hieronder.
De gevraagde hoek is hetzelfde als hoek $W M V$ .
De projectie van $M$ op $k$ noemen we $N$ .
Uit de stelling van Pythagoras in driehoek $P N M$ volgt: $P N = \sqrt{5}$ , dus
$∠ W M V = \tan^{- 1} (\frac{1}{5} \sqrt{5}) + \tan^{- 1} (\sqrt{5}) \approx 89,1 °$ .

5

Teken de lijn $n$ door $A$ evenwijdig aan de as $m$ . Hierop moet het voetpunt $V$ van $A$ liggen.
Spiegel de lijn $n$ in de raaklijn $r$ , het beeld is $s$ . Op $s$ ligt het brandpunt.
Het brandpunt $F$ is dus het snijpunt van de as $m$ met $s$ .
$V$ vind je met de eigenschap $| A V | = | A F |$ .
De richtlijn gaat door $V$ en staat loodrecht op de as $m$ .

6

Spiegel $F$ in $r$ . Het beeld is het voetpunt $V$ van $P$ . De loodlijn $s$ in $V$ op lijn $P V$ is de richtlijn.

7

a

b

De richtlijnen zijn $r$ , $s$ en $t$ op afstand $2$ van $A B$ , $B C$ en $C D$ .
Het brandpunt is steeds $M$

c

Stel $∠ A B C = α$ , dan $∠ B C D = 180 ° - α$ .
Lijn $B P$ is bissectrice van hoek $A B C$ en lijn $C Q$ van hoek $B C D$ , dus $∠ P B C = \frac{1}{2} α$ en $∠ Q C B = 90 ° - \frac{1}{2} α$ .

8

a

De afstand tot land I noemen we $x$ , dan is de afstand tot land III ook $x$ en tot land II: $x \sqrt{2} - 2$ , dus $x = x \sqrt{2} - 2$ . dus $x = \frac{2}{\sqrt{2} - 1} = 2 + 2 \sqrt{2} \approx 4,83$ .

b

Eén stuk is een gedeelte van de parabool met brandpunt $M$ en richtlijn $k$ , een lijn die $2$ eenheden links van lijn $P S$ .
- de parabool gaat door punt $P$ ; - het tweede stuk is een gedeelte van de bissectrice van hoek $T S R$ ;
- het derde stuk is het spiegelbeeld van het eerste stuk (of een gedeelte van de parabool met brandpunt $M$ en richtlijn $n$ , een lijn die $2$ eenheden onder lijn $Q R$ ligt.

c

Het voetpunt van $P$ op $k$ noemen we $V$ en het snijpunt van lijn $V P$ met zijde $S P$ : $W$ .
De raaklijn aan het bovenstuk is deelt hoek $V P M$ doormidden. Dus vanwege symmetrie is de gevraagde hoek even groot als hoek $V P M$ .
In driehoek $W P M$ geldt: $| W P | = 2 + 2 \sqrt{2}$ en $| M P | = 4 + 2 \sqrt{2}$ . Noem de gevraagde hoek $α$ , dan $cos(α) = \frac{2 + 2 \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2}} = \frac{2 + 2 \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ , de gevraagde hoek is dus $45 °$ exact!